Теория функций комплексной переменной. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2.8. ln√2+ π

( = 0,±1,±2, ).

= 0,±1,±2, ).

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

567 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

7.9. |

(

))

Вычислить несобственные интегралы:

7.10. ∫

∞

(

)

7.11. ∫

∞

(

)

Ответы

1.1. а) 2(cos

sin

) = 2e ; б) 2(cos

sin

) = 2e

;

в) 2(cos

sin

) = 2e

; г) 2

cos −

sin(−

) = 2e

;

д) √34

cos

arctg

+ sin

arctg

= √34

1.2.а) 1728; б) 1.

1.3.±√3+ ,− .

1.4.Окружность, внешность круга, внутренность круга радиуса 2 с центром в начале координат.

1.5.Окружность, внешность круга, внутренность круга радиуса 1 с центром в точке = 2.

1.6.Окружность, внешность круга, внутренность круга радиуса 2 с центром в точке = .

1.7.Кольцо, образованное концентрическими окружностями с центром в точке

=−2 и радиусами 1 и 2, исключая окружность радиуса 1.

1.8.Прямая 4 +2 +3 = 0.

1.9.Полуплоскость ≥ 0.

1.10. Полоса	−2 ≤	.
1.11. Полоса	−2 ≤	≤ 2
1.11. Полоса	0 ≤	< 1 .

1.12. Сектор между лучами

= 0,,

= ,

≥ 0, включая.

луч = , ≥ 0.

1.13. Сектор между лучами

1.14. Ось абсцисс

= 0.

= −

≤ 0

1.15. а) 4 cos

sin

= 4e

;

б) 5√2

cos −

+arctg

sin

− +arctg

= 5√2

(1+

)

1+ √3

: tg

= −

√

1.16. а)

; б) -

указание

√

1.17. ±cos

sin

, ±

cos

sin

1.18. Кольцо, образованное концентрическими окружностями с центром в точке

и радиусами 1 и 2, исключая сами окружности.

1.19. Круг с центром в точке

и радиуса 2, исключая точку

1.20.

Внешность круга с

центром в точке

и радиуса 2.

= −

= 0.

1.21. Внутренность полосы между прямыми

1.22. Открытая полуплоскость слева от прямой

1.23. Внутренность круга радиуса 2 с центром в

точке

= 1

= 2

2.1.

Прямая

−

,+1 = 0

без точки

1.24.

−

2.2.

= 3

=.1 − 3 +

= −

sin.

2.4.

cosy,,

2.3.

= sin

= sh

cos

2.5.

= π,

= −

2.6. + .

√ √

2.7.ch .


2.10.				( = 0,±1,±2, ).
2.11.	√	(	) (		= 0,±1,±2, ).
2.12. −π	2		+		+2π ( , = 0,±1,±2, ).
2.12. −π	2		+		+2π ( , = 0,±1,±2, ).
2.13. 2	±			π −	ln(√2±1) ( = 0,±1,±2, ).
2.13. 2	±			π −	ln(√2±1) ( = 0,±1,±2, ).

2.14.= π(2 +1) + ln2 ( = 0,±1,±2, ).

2.15.	= 2	− 2y +				, = 4 y+ .
2.16.	= −	(	)		,	= −	(	)	.
	= −	(	)			= −	(	)
2.18.	=	cosy,,				= −	sin ..
2.17.	= cos	ch				= −sin	sh
2.19.	= ch1,		=	.
2.19.	= ch1,		=	.

2.20.(2 +1) ( = 0,±1,±2, ).

2.21.		2	+		( = 0,±1,±2, ).
2.21.		2	+		( = 0,±1,±2, ).
2.22.		(		)	.
2.23.		= 2		π(,	= 0,±1,±2, )	π	+ln3 ( = 0,±1,±2,.		)	.
3.1.		= 2			= (2 +1)		+ln3 ( = 0,±1,±2,.		)
	Дифференцируема только в одной точке							= 0
	Дифференцируема только в одной точке

3.2.Дифференцируема во всех точках комплексной плоскости.

3.3.Не дифференцируема ни в одной точке.

3.4. Вся плоскость,

′

3.5. Вся плоскость,

′

= 2 cos 2

′

= 2 +1 .

= π

(

= 0,±1,±2, ),

= −

3.6. Вся плоскость, кроме точек

3.7. Вся плоскость, кроме точек

= ±

′

= −

( )

(

)

3.8.

( ) = 2

( )

3.9.

( ) =

+ .

3.10.Не дифференцируема ни в одной точке.

3.11.Дифференцируема во всех точках комплексной плоскости.

3.12. Вся плоскость, кроме′			точек = 2π ( = 0,±1,±2, ), ′ =	(	)	.
3.13. Вся плоскость,		= sh .
3.15.	( ) = +2.	− 1
3.14.		.

( ) = −

4.1.− .

4.2. ( − 1).

4.3.2+2 .

4.4.−4+ .

4.5.-2.

4.6.7+19 .

4.7.( −1) .

4.8.2 .

4.9.a) 2 ; б) 0.

4.10.2.

4.11.− .

4.12.0.

4.13.− .

4.14.( −1).

4.15.1 −cos1 − (1−sin1).

4.16. .

4.17. a) 0; б) −8 .

5.1.= 1.

5.2.= √2.

5.3. √

−1+

−

− ,

= ∞.

5.4.

−

− ,

= ∞.

5.5.

−

+ ,

5.6. 3 −

−

∙

!∙ ∙

− , = 27.

5.7.

−

(

)

(

)

−

(

)

+ ,

= 4.

5.8.

(

)

−

)

+ , 0 < |

−2| < +∞.

5.9.

(

)

−

(

)

, 0 < |

+1| < +∞.

5.10.

−

− , 0 < | | < +∞.

5.11. а)

∑∞

−

∑∞

(

)

; б)

∑∞

( )

5.12.= 1.

5.13.= 1.

5.14.

−

+ ,

= 2.

5.15. 1 −

−

+ ,

= ∞.

5.16. 1 −

3 +4

−

− ,

= ∞.

5.17.

(

)

−

(

)

∙ ∙ ∙(

)

−

∙ ∙ ∙ ∙( )

= 1

5.18.− ! + ! − ! + , 0 < | | < +∞.

5.19.

−

− , 0 < | | < 3.

5.20.

+ , 0 < | | < +∞.

5.21.

∞

(

)

− (

–) +

– простые нули.

6.1.

∑

(

) ( −

= 0

нуль 2-го порядка,

(

= ±1,±2, )

6.3.

–

– простые нули.

6.2.

= 0

– нуль 3-го порядка,

, = ±2

√

(

= ±1,±2, )

простые нули.

6.4.

– полюсы 3-го порядка.

–(

6.6.

= 0,±1,±2, )

– простые полюсы.

– простые

6.5.

, =

(±1 )

полюсы=.

полюс 2-го порядка,

= 1+

( = 0,±1,±2, )

6.7.= −2 – существенно особая точка.

6.8.Res (2) = 5.

6.9. Res	(0) =	, Res	(±3 ) = ±	± .

6.10. Res	( ) = 1 (		= 0,±1,±2, ).

6.11.Res (0) = 0.

6.12.Res (0) = 0.

6.13.	= 0		–= −1	– простые полюсы,	= 1	– полюс 3-го порядка.
		,
полюсы.= −1			полюс 3-го порядка,		= 2 (		= 0,±1,±2, )		– простые
6.14.		= 0					=
простые			=					( = ±1,±2, )
6.15.		,		– устранимые особые точки,						–

полюсы.

6.16.= 3 – существенно особая точка.

6.17.Res (± ) = .

6.18.Res (−1) = − cos2.

6.19. Res		+	= −1 (		= 0,±1,±2, ).

6.21. Res	(0) = 1		,		π		.
6.20.	.
Res	(0) = −			Res		=
							46

7.1.2 .

7.2.2 .

7.3.−4 .

7.4. .

7.5. .

7.6. .

7.7. .

7.8. 0.

7.9. 2 −1 .

7.10. .

7.11. − .

Контрольные задания

Вариант 1

1.Вычислить: 1 i 16 , Ln 2 2i .

2.Восстановить аналитическую функцию f (z) по заданной действительной части U(x,y) или мнимой части V(x,y) при заданном начальном условии:

U x3 6x2y 3xy2 2y3 , f (0) 0.

3. Вычислить интеграл по дуге L от точки z1 до точки z2 :

	x y2		z 0		z		9 3i
(2 i z)dz, L:		,		,				.
			1			2
L

4. Вычислить интеграл по замкнутому контуру с помощью вычетов:

	sinz2		dz, C:	z	1.
	sinz2

C z2(z		)
C z2(z		)
4

Вариант 2

1.Вычислить: 1 i 1 i 8 i25 , Ln 1 i .

V 3x2y y3 y, f (0) 1.

3. Вычислить интеграл по дуге L от точки z1 до точки z2 :

zImzdz, L: x y2 , z1 0, z2 4 2i.

4. Вычислить интеграл по замкнутому контуру с помощью вычетов:

Вариант 3

1.Вычислить: 1 i 28 , Arccos3.

	V x (x2 y2),					f (i) 0.
3.	Вычислить интеграл по дуге L от точки z1						до точки z2 :
	(2 i	z	)dz, L: y x2 , z1 0, z2 3 9i.
	L
4.	Вычислить интеграл по замкнутому контуру с помощью вычетов:
				ez 1	dz , C:		z	2.
				ez 1
			C z2(z 1)
			C z2(z 1)

Вариант 4

1.Вычислить: 2 2i 7 , Arctg 1 2i .

		U x2 y2 xy,	f (0) 0.
3. Вычислить интеграл по дуге L от точки z1			до точки z2 :
	z	Imzdz, L - прямая, z1	0, z2 4 2i.
L

4. Вычислить интеграл по замкнутому контуру с помощью вычетов:

	eiz

		dz, C:	z	2.
C (z2
	1)(z 3)

Вариант 5

1.Вычислить: 1 i3 6 , cos 3 i .

		U		1	ln(x2 y2),		f (i) i.
		U			ln(x2 y2),		f (i) i.
	2
3.	Вычислить интеграл по дуге L от точки z1						до точки z2 :
	(2i	z	)dz, L: x y2 , z1 0, z2 9 3i.
	L
4.	Вычислить интеграл по замкнутому контуру с помощью вычетов:
					ez
					ez
						dz, C:	z	2.
						dz, C:	z	2.
			C z2(z i)
			C z2(z i)

Вариант 6

1.Вычислить: 1 i 5 , Ln 3 2i .

V xy;	f (0) 0;
3. Вычислить интеграл по дуге L от точки z1		до точки z2 :
zRezdz, L - прямая, z1		0,	z2 1 i.
L

4. Вычислить интеграл по замкнутому контуру с помощью вычетов:

	1 cosz	dz, C:	z	4.

C z2 (z 3i)

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]