Теория функций комплексной переменной. Учебное пособие

Нули функции. Пусть функция

является аналитической в точке .

Точка

′

( )

, если выполняются условия:

называется нулем функции

( порядка)

Точка

(

) = 0,

(

) = 0,…,

(

)

(

) = 0,

(

)

(

) ≠ 0.

является

нулем порядка

функции

,

если в некоторой

окрестности этой точки функция

(

) представима в виде( )

где функция

( )

точке

и

(

) ≠ 0

.

)

( ),

аналитична в( )

=

(

−

)

Если точка

является нулем порядка

функции

и является нулем

порядка

функции

, то для функции

точка(

является нулем

порядка

+

.

(

)

( ) =,

( )

( )

Пример 1. Найти нули функции

sin2

и определить их порядок.

Решение. Решив уравнение

sin2

= 0

найдем нули функции

( )

:

Далее,

=

2

,

(

= 0,±1,±2, ).

′( ) = 2cos2

,

′

= 2cos

= 2(−1)

≠ 0,

порядка (простыми

=

, (

= 0,±1,±2, )

следовательно, точки

2

являются

нулями

первого

нулями) данной функции.

Пример 2. Найти нуль функции

( ) =

и определить его порядок.

Решение. Используя разложение функции sin

в ряд Маклорена, получим:

( ) =

−sin

=

=

− ( −

3!

+

5!

−

7!

+ )

−

+

3!

−

5!

+

=

=

(

1

−

+ )

=

1

−

1

+

= ( ),

−

+

5!

5!

где

( ) =

3!–

3!

3!

5!

Т.к.

(0) = 6 ≠ 0

,

функция, аналитическая в точке

= 0.

точкой функции

, если существует окрестность этой точки, в которой

( )

аналитична всюду,(кроме)

самой точки

.

Если – изолированная особая точка функции

, то существует такое

> 0

0 < |

−

| <

∞

, что в кольце

( ) =

функция разлагается( )в ряд Лорана

∞

( − ) +

( − ) .

При этом возможны следующие случаи:

1) Ряд Лорана не содержит главной части. В этом случае точка

называется устранимой особой точкой функции

.

Изолированная

особая

точка

является

устранимой( )

,

если

существует

конечный предел

lim→

( ) = .

2) Главная часть разложения в ряд Лорана содержит конечное число

членов. В этом случае точка

называется полюсом функции

.

Если точка

– полюс, то в окрестности этой точки разложение( )

Лорана

имеет вид

∞

( ) =

−

+

( − )

+ +

( − )

+

( − ) ,

.

≠ 0

называется полюсом порядка

функции

где

. В этом случае полюс

( )

Если

= 1

, то полюс

называется простым.

Изолированная особая точка

является полюсом, если

lim→

( ) = ∞.

Если точка – нуль порядка

функции

, то

– полюс порядка

функции

Если точка

– полюс порядка

( функции)

( )

, то

– нуль

( ).

порядка

(функции).

( )

( )

Точка

является полюсом порядка

функции

если функцию

можно представить в виде

(

) =

(

)

,

( )

где функция

аналитична в точке

(

) ≠ 0

.

( и−

)

Изолированная особая

точка

является

существенно

особой точкой

функции

,

если в точке

функция

( ) не имеет предела ни конечного, ни

бесконечного( ).

Пример 3. Указать особую точку функции

( ) =

и определить ее

характер.

( )

Решение. Особая точка функции

есть

= 0

. Используя разложение

функции

в ряд Маклорена, получим:

( ) =

− 1

=

1+

1!

+

2!

+

3!

+ − 1

= 1+

+

+ .

Разложение в ряд Лорана функции

содержит только

в окрестности2!

3!

правильную часть, следовательно,

есть( )устранимая особая точка.

Пример 4. Указать особую точку функции

и определить ее

( ) = (

)

характер.

Решение.

Особая точка функции

есть

.

Для функции

точка

является

нулем

пятого( )

порядка, следовательно, для

функции

точка

=

( ) =

( − )

=

– полюс пятого порядка.

Пример( )

5. Указать= все особые

точки

функции

и

( ) = ( ) ( )

определить их характер.

33

1) Если точка – устранимая особая точка, то

2) Если точка

– полюс

- Res

(

) = 0.

, то

го порядка функции

( )

Res

(

) =

1

lim→

{

( )( − )

}

,

при этом если точка

– простой( −1)!

= 1)

, то

)}.

Res

( ) = lim→

{ ( )(

−

Если функция

в

окрестности

точки

представима

как частное двух

аналитических функций( )

(

)

= 0,

( ) ≠ 0)

причем – простой полюс (

( ) ≠ 0, ( )

, то

( ) =

(

) ,

′

3) Если точка – существенно особая точка функции

( )

, то необходимо

использовать разложение в ряд Лорана.

( ) =

точекПример.

7. Найти вычет функции

относительно всех особых

Решение. Особыми точками функции ( ) являются точки

Заметим, что в точке

=

2

,

(

= 0,±1,±2, ).

= 0

( ) =lim→

1

= 0

lim→

=

.

Res (0)

= 0

особая точка и

Следовательно,

есть устранимая

sin2

2

.

sin 2

= sin

=0, sin′

2

= 2cos

2

= 2cos

= 2(−1)

≠ 0

2

2

при

≠ 0

2. Таким образом,

2

Res

2

′

|

= 2cos2

= (−1)

4 ,

= sin 2

= 2(−1)

Пример 8.

Найти(

= ±1,±2, ).

вычет функции

( ) = (

)(

)

относительно всех

особых точек.

Решение.

Особыми точками функции

( )

являются

точки

= 2 и

= −2

. Точка

– простой полюс, поэтому

( ) = lim→

( − 2 )

2

2

1

Res

= lim→

=

=

=

.

( +2)

Точка

– полюс

( −2 )( +2)

(2 +2)

4

2

второго порядка, следовательно,

( ) = lim→

(

+2)

′

−2

Res

= lim→

′

= lim→

=

(

−2 )(

+2)

− 2

(

− 2 )

=

−2

=

−2

= −

1

.

Пример 9.

Найти

(−2 −2 )

4

2

относительно ее

особой

точки.

вычет

функции

( ) =

Решение.

Функция

имеет существенную

особую

точку

.

Разложение функции ( ) в(ряд)

Лорана имеет вид:

1

= 0

( ) =

= 1+

1

+

1

+

+ ,

следовательно,

2!

3!

Res (

) =

= 1.

6.2.

( ) = 4

+ . .

6.1.

( ) =

sin

6.3.

( ) =

.

Указать все особые точки функций и определить их характер:

6.4.

( ) =

(

)

.

6.5.

( ) =

.

6.6.

( ) =

( )

.

6.7.

( )= cos

.

6.8.

( ) =

.

6.9.

( ) =

( )

.

6.12. ( ) =

.

6.14.

( ) =

(

) (

)

.

6.15.

( ) =

(

)

.

6.16.

( ) = e

.

6.17. ( ) =

(

)

.

6.21. ( ) =

(

)

.

Теорема Коши о вычетах. Если функция

является аналитической на

границе

области и всюду внутри области, за(

исключением)

конечного числа

изолированных особых точек ,

,…,

, то

( ).

( )d

= 2

Res

Пример 1. Вычислить интеграл

d

.

| |

( +1)( − 2)

контура

.

=

,− ,2

находятся внутри замкнутого

Решение. Простые полюсы

Введем функцию

, которая на действительной оси, т. е. при

,

( ) = (

)

=

совпадает с

.

Функция

в верхней полуплоскости имеет полюс второго

порядка в точке( )

=

. Вычет(

( )

относительно этого полюса равен

)

Res ( ) = lim→

{ ( )(

−

) }

= lim→

= lim→

2

=

1

.

(

+ )

Получим

( + )

4

1

∞

d

1

1

∞

=

2

(

+1)

=

2

∙2

∙

4

=

4

.

7.1. |

|

(

)( )

.

7.2. |

|

sin

dz.

7.3. |

|

(

)

.

.

7.4. |

|

7.5. ∫

∞

.

∞∞

7.6. ∫

(

)(

)

.

7.7. |

|

(

)

.

7.8. |

|

(

) (

)

.