Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебник
.pdf
6.4. Задания творческого характера 241
переводящее круг {z : |z| < 1 } на себя, может быть только либо эллиптическим, либо параболическим, либо гиперболическим.
Выяснить, при каких значениях параметра a имеет место каждый
из указанных случаев. Найти неподвижные точки этого преобразования и привести его к каноническому виду.
142. Доказать следующие свойства гиперболического преобра з ования:
1) любая окружность, проходящая через две неподвижные точки,
переходит сама в себя;
2) Любая окружность, ортогональная к окружности, проходящей
через неподвижные точки, переходит в окружность, обладающую
этим же с войством.
143. Доказать, что при локсодромическом преобразовании w = a eiαz
логарифмическая спираль
ln a
ϕ
r = A e
α
, A > 0,
переходит в себя.
144. Проверить, что множество всех дробно-линейных отображений,
переводящих круг D = {z : |z| < 1} в себя, является подгруп-
пой всех дробно-линейных преобразованийbC наbC. Ее элементы
представляются в виде
w = e
, Im θ = 0, |α| < 1.
1 −αz
z − α
iθ
Присоединим к ним преобразования вида
w = e
1 −αz
z − α
−iθ
и полученную таким образом совокупность обозначим через Λ.
Проверить, что Λ также яв ляется группой.
А. Пуанкаре предложил рассматривать круг D как плоскость Лобачевского, а о тображения группы Λ — как движение в
плоскости Лобачевского. Для этой модели все аксиомы геометрии Лобачевского выполняются, если за модели прямых Лобачевского принять дуги окружностей и отрезки прямых (диаметры
242 Глава 6. Дробно-линейная функция
окружностей), содержащихся в D и ортогональных к единичной
окружности. Угол между двумя прямыми в этой модели измеряется (по определению) тем же числом, что и угол в евклидовой
геометрии. Это полностью согласуется со свойством конформности дробно-линейного отображения.
Доказать, что в гео метрии Лобачевского сумма углов любо-
го треугольника меньше π.
145. Пусть даны два произвольных треугольника на модели Пуанкаре геометрии Лобачевского с попарно равными углами. Доказать,
что они конгруэнтны, т.е. их можно совместить посредством некоторого движения.
Глава 7
Функция Жуковского
7.1. Задания для аудиторной работы
146. Найти образ множества E при отображении с помощью функции
Жуковского (см. п. 2.3.7т), если:
1) E = {z : |z| = R < 1}; 2) E = {z : |z| = R > 1};
3) E = {z : |z| = 1}; 4) E =nz : arg z =
o
w =
1
2
π
; 6) E = {z : arg z = π}.
2
z = eiϕ, ϕ ∈ [0, 2π],
−iϕ
eiϕ+ e
; 2
= cos ϕ, ϕ ∈ [0, 2π].
2
) G = {z : |z| > 2}; 3) G = {z : |z| < 1};
5) E =nz : arg z =
Р е ш е н и е п. 3. Множество E является окружностью, задаваемой
параметрическим уравнени ем
тогда ее образ задается параметрическим уравнением
При изменении ϕ от 0 до 2π точка w = cos ϕ пробегает отрезок [−1, 1]
действительной оси дважды. Итак, образом E является отрезок [−1, 1].
147. Найти область, на которую функция Жуковского ото бражает область G:
1) G =z : |z| <
4) G = {z : |z| > 1} ; 5) G = {z : Im z > 0}; 6) G = {z : Im z < 0}.
o
π
;
4
244 Глава 7. Функция Жуковского
Р е ш е н и е п. 6. Представим нижн юю полуплоскость, область G, сле-
дующим образом:
G = G1∪ G2∪ G3,
где G1= {z : |z| < 1, Im z < 0} — внутренность единичного круга в нижней
полуплоскости, G2= {z : |z| = 1, Im z < 0} — единичная полуокружность в
нижней полуплоскости, G3= {z : |z| > 1, Im z < 0} — внешность единично-
го круга в нижней полуплоскости.
Воспользуемся п. 2.3.7 а также решением задач 146.1, 146.2 и 146.3.
Образом нижней полуокружности |z| = r при r < 1 является н ижняя
дуга эллипса с полуосями
собой объединение всех таких полуокружностей, а объединением всех ниж-
1
1
+ rи
2
r
1
1
− r. Множество G1представляет
2
r
них дуг таких эллипсов будет нижняя полуплоскость. Аналогичным образом
можно показать, что образом множества G3будет верхняя полуплоскость.
Образом множества G2является отрезок действительной оси [−1, 1].
Значит, образ множества G представляет собой всю комплексную плоскость с разрезами по отрезкам действительной оси (−∞, −1] и [1, +∞).
148. Найти образ облас ти G при отображении с помощью функции
Жуковского, если:
1) G = { z : |z| < 1, Im z > 0}; 2) G = {z : |z| < 1, Im z < 0};
3) G = { z : |z| > 1, Im z > 0}; 4) G = {z : 1 < |z| < R, Im z > 0};
5) G = { z : R < |z| < 1, Im z > 0}; 6) G =z :
π
< arg z <
4
Р е ш е н и е п. 6. Из задачи 146.4 следует, что лучz : arg z =
разится в правую ветвь гиперболы, уравнение которой имеет вид
2
u
√
2
2
2
2
v
−
= 1.
√
2
2
2
Рассмотрим луч
3π
4
π
отоб-
4
.
z = R eiϕ, 0 < R < +∞.
При отображении с помощью функции Жуковского образом этого лу-
ча является кривая
u =
v =
1
2
1
2
R +
R −
1
cos ϕ,
R
1
in ϕ,
s
R
0 < R < +∞.
7.1. Задания для аудиторной работы 245
π
−
,
4
2
v
sin2ϕ
3π
4
= 1.
Исключая параметр R, при ϕ ∈
2
u
cos2ϕ
Это уравнение гиперболы с фокусами в точках w = ±1. При ϕ =
переходит в прямую {w : Re w = 0}. Заметим, что при ϕ =
переходят в разные ветви одной и той же гиперболы, правую и левую соответственно. При изменении ϕ от
всю область, лежащую между этими ветвями гиперболы (рис. 7.1)
π
3π
до
4
2
u
−
√
2
2
2
остальные гиперболы заполняют
4
2
v
= 1.
√
2
2
2
и ϕ 6=
π
получим
2
π
4
и ϕ =
3π
4
π
луч
2
лучи
v
u
−1
Рис. 7.1
1
149. Найти образ области G при отображении с помощью функции
Жуковского, если:
1) G = {z : |z| < 1} \−
1
5
, 1;
2) G = {z : |z| > 1} \z : z ∈ [−6, −1] ∪[1, +∞);
3) G =z :
1
< |z| < 1\ {z : Im z > 0};
4
4) G = {z : 1 < |z| < 5} \ {z : Im z > 0};
5) G = {z : 1 < |z| < 2} \ {z : Im z < 0};
6) G = {z : |z| < 1} \−
1
2
, 1.
246 Глава 7. Функция Жуковского
Р е ш е н и е п. 6. Функция Жуковского отображает круг {z : |z| < 1}
в область C \ [−1, 1]. Выясним, что является образом отрезка [−1/2, 1]. В
этом случае
Ясно, что отрезок [0, 1] переходит в [1, +∞], а полуинтервал [−1/2, 0) —
в (−∞, −5/4]. Тогда в целом область G перейдет в п лоскость с разрезом по
(−∞, −5/4] ∪ [−1, 1] ∪[1, +∞), т.е. в C \{w : w ∈ ( −∞, −5/4] ∪ [−1, +∞)}.
w =
1
2
x +
1
, x ∈−
x
1
2
, 1.
150. Используя свойства функции Жуковского, отобразить о бласть
G1на область G2, если:
1) G1= {z : |z| < 1} \[−1, 0] ∪
2) G1= {z : |z| < 1} \−1, −
3) G1= {z : |z| < 1} \[−1, 0] ∪
4) G1= {z : |z| < 1} \−
1
,
4
5) G1= {z : |z| < 1} \−1, −
6) G1= {z : |z| < 1} \
1
, 1, G2= {w : |w| < 1}.
3
1
, 1, G2= {w : Im w > 0};
4
1
, G2= {w : |w| < 1};
4
1
, 1, G2= {w : Im w > 0};
3
1
, G2= {w : Re w > 0};
4
1
, G2= {w : |w| < 1};
10
Р е ш е н и е п. 6. Функция Жуковского ξ = 1/2 (z + 1/z) отображает
{z : |z| < 1} \ [1/3, 1] на всю плоскость с разрезом по отрезку [−1, 5/3] (см.
задачу 149.6). Линейная функция τ = 3/4 (ξ − 1/3) отображает C \[−1, 5/3] в
область C\[−1, 1]. Одна из ветвей обратной функции к функции Ж уковского
w = τ +pτ2− 1, w(∞) = 0,
отображает C \ [−1, 1] на {w : |w| < 1}. Таким образом, искомая функция
имеет вид
w = τ +pτ2− 1,
τ =
3
1
4
2
z +
1
1
−
z
.
3
7.2. Базовые индивидуальные задания 247
7.2. Базовые индивидуальные задания
151. Найти образ области G при отображении с помощью функции
Жуковского, если:
1) G = {z : |z| < 1/5}; 2) G = {z : |z| < 1/8}; 3) G = {z : |z| > 5};
4) G = {z : |z| > 6}; 5) G = {z : |z| < 1/4}; 6) G = {z : |z| > 9};
7) G = {z : |z| < 1/6}; 8) G = {z : |z| > 3}; 9) G = {z : |z| < 1/6};
10) G = {z : |z| > 6}; 11) G = {z : |z| > 8}; 12) G = {z : |z| > 2};
13) G = {z : |z| < 1/9}; 14) G = {z : |z| > 7};
15) G = {z : |z| > 5}; 16) G = {z : |z| > 4};
17) G = {z : |z| < 1/7}; 18) G = {z : |z| < 1/3};
19) G = {z : |z| < 1/5}; 20) G = {z : |z| < 1/2}.
152. Найти образ множества E при отображении с помощью функции
Жуковского, если:
1) E = {z : arg z = 7π/6}; 2) E = {z : arg z = 3π/4};
3) E = {z : arg z = 7π/4}; 4) E = {z : arg z = π/3};
5) E = {z : arg z = π/2}; 6) E = {z : arg z = 4π/3};
7) E = {z : arg z = 3π/2}; 8) E = {z : arg z = 5π/6};
9) E = {z : arg z = 11π/6}; 10) E = {z : arg z = 0};
11) E = {z : arg z = π/4}; 12) E = {z : arg z = 2π/3};
13) E = {z : arg z = 5π/4}; 14) E = {z : arg z = π};
15) E = {z : arg z = π/4}; 16) E = {z : arg z = 5π/3};
17) E = {z : arg z = 7π/6}; 18) E = {z : arg z = 3π/4};
19) E = {z : arg z = π/2}; 20) E = {z : arg z = 0}.
248 Глава 7. Функция Жуковского
153. Найти образ облас ти G при отображении с помощью функции
Жуковского, если:
1) G = { z : |z| < 1}\ [−2/5, 1];
2) G = { z : 1/3 < |z| < 1} \ {z : Im z > 0};
3) G = { z : 1 < |z| < 3} \ {z : Im z > 0};
4) G = { z : 1 < |z| < 4} \ {z : Im z < 0};
5) G = { z : |z| > 1}\z : z ∈ [−5, −1] ∪ [1, +∞);
6) G = { z : |z| < 1}\ [−2/3, 1]; 7) G = {z : |z| < 1} \[−3/4, 1];
8) G = { z : 1/5 < |z| < 1} \ {z : Im z > 0};
9) G = { z : 1 < |z| < 7} \ {z : Im z > 0};
10) G = {z : 1 < |z| < 3/2} \ {z : Im z < 0};
11) G = {z : |z| > 1} \z : z ∈ [−6, −1] ∪ [1, +∞);
12) G = {z : |z| < 1} \ [−4/5, 1]; 13) G = {z : |z| < 1} \ [−2/7, 1];
14) G = {z : 1/7 < |z| < 7} \ {z : Im z > 0};
15) G = {z : 1 < |z| < 2} \ {z : Im z < 0};
16) G = {z : 1 < |z| < 8} \ {z : Im z < 0};
17) G = {z : |z| > 1} \z : z ∈ [−4, −1] ∪ [1, +∞);
18) G = {z : |z| < 1} \ [−1/4, 1]; 19) G = {z : |z| < 1} \ [−1/9, 1];
20) G = {z : |z| > 1} \z : z ∈ [−3, −1] ∪ [1, +∞).
154. Используя свойства функции Жуковского, отобразить о бласть
G1на область G2, если:
1) G1= {z : |z| < 1} \[1/3, 1], G2= {w : Im w > 0};
2) G1= {z : |z| < 1} \{ [−1, 0] ∪ [1/2, 1]}, G2= {w : Im w > 0};
3) G1= {z : |z| > 1} \[−4, −1] ∪ [1, +∞), G2= {w : Im w > 0};
4) G1= {z : Im z > 0} \{z : |z| < 1/6}, G2= {w : |w| < 1};
5) G1= {z : |z| < 1} \[−1, −1/5], G2= {w : |w| < 1};
7.3. Задания для самостоятельной работы 249
6) G1= {z : |z| > 1} \[−8, −1] ∪ [1, +∞), G2= {w : Im w > 0};
7) G1= {z : |z| > 1} \ [1, 2], G2= {w : Im w < 0};
8) G1= {z : |z| < 1} \ {[−1, −1/2] ∪[1/2, 1]}, G2= {w : |w| < 1};
9) G1= {z : |z| < 1} \ {[−1, −1/3] ∪[1/4, 1]}, G2= {w : |w| < 1};
10) G1= {z : |z| > 1} \ [−4, −1], G2= {w : Im w < 0};
11) G1= C \ [−8, 8], G2= {w : |w| > 1};
12) G1= {z : |z| > 1} \[−5, −1] ∪ [1, +∞), G2= {w : Im w < 0};
13) G1= {z : |z| < 1} \ [−1, −1/8], G2= {w : |w| < 1};
14) G1= C \ [−4, 1], G2= {w : |w| > 1};
15) G1= C \ [−5, 5], G2= {w : |w| < 1};
16) G1= {z : |z| < 10} \[−10, 1] ∪ [5, 10], G2= {w : Im w > 0};
17) G1= {z : |z| < 6} \[−6, 1] ∪ [3, 6], G2= {w : Im w < 0};
18) G1= {z : |z| < 1} \ [−1/4, 1/4], G2= {w : Im w > 0};
19) G1= {z : |z| < 20} \[−20, 1] ∪ [10, 20], G2= {w : Im w < 0};
20) G1= {z : |z| > 1} \ [−10, −1], G2= {w : |w| > 1}.
7.3. Задания для самостоятельной
работы
155. Используя свойства функции Жуковского, отобразить о бласть
G1на область G2, если:
1) G1= {z : |z| < 1, Im z > 0} \[i/2, i], G2= {w : Im w > 0};
2) G1= {z : |z| < 1, Im z < 0} \[−i/3, −i], G2= {w : Im w > 0};
3) G1= {z : |z| < 1, Im z > 0} \[i/4, i], G2= {w : Im w < 0};
4) G1= {z : |z| < 1, Im z > 0} \[0, i/2], G2= {w : Im w > 0};
5) G1= {z : |z| < 1, Im z < 0} \[0, −i/3], G2= {w : Im w > 0};
250 Глава 7. Функция Жуковского
6) G1= {z : |z| < 1, Im z > 0} \[0, αi], 0 < α < 1,
G2= {w : Im w > 0};
7) G1= {z : |z| < 1, Im z > 0}\ [αi, i], 0 < α < 1,
G2= {w : Im w < 0};
8) G1= {z : |z| < 1} \[e
9) G1= {z : |z| < 1} \[e
10) G1= {z : |z| > 1} \[e
πi/4
πi/3
πi/6
/2, e
/4, e
, 4e
πi/4
], G2= {w : |w| < 1};
πi/3
], G2= {w : |w| < 1};
πi/6
], G2= {w : |w| > 1};
11) G1= {z : |z| < 1} \[(1 − h)eiα, eiα], 0 < h < 1, G2= {w : |w| < 1};
12) G1= {z : |z| > 1} \[eiα, h eiα], h > 1, G2= {w : |w| < 1};
13) G1= {z : |z| < 1} \[−1, −b] ∪ [a, 1], 0 < a < 1, 0 < b < 1,
G2= {w : |w| < 1};
14) G1= {z : Im z > 0} \ {z = x + iy : x2/4 + y2/9 6 1, y > 0},
G2= {w : Im w > 0};
15) G1= {z : Im z > 0} \ {z = x + iy : x2/a2+ y2/b26 1, y > 0},
G2= {w : Im w > 0};
16) G1= C \ [−c, c], c > 0, G2= {w : |w| > 1};
17) G1= {z = x + iy : x2/a2+ y2/b2> 1}, G2= {w : |w| > 1};
18) G1= {z : |z| < 1} \[0, 1], G2= C \ [−1, +∞);
19) G1= {z : |z| > 1} \{[−a, −1] ∪[1, +∞)}, a > 1,
G2= {w : Im w > 0};
20) G1= {z : |z| < 1} \{[−1, −1/2] ∪[a, 1]}, 0 < a < 1,
G2= {w : Im w > 0}.
7.4. Задания творческого характера
156. Область
G = {z : |z| < 1} \[−1, −b] ∪ [a, 1](0 < a < 1, 0 < b < 1)
отобразить на круг {w : |w| < 1} так, чтобы w(0) = 0, w′(0) > 0.
Определить w′(0) и длины дуг, соответствующих разрезам.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]