Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебник
.pdf
13.2. Базовые индивидуальные задания 331
273. Определить, является ли точка z = ∞ изо лированной особой точ-
кой функции f (z):
1) f(z) = tg
4) f(z) =
Р е ш е н и е п. 6. По условию
Конечными особыми точками являются корни уравнения
Так как sin2z + cos2z = 1 (доказать это самостоятельно), то одновре-
менно sin z и cos z не могут обратиться в нуль.
Пусть cos z 6= 0 ( аналогично рассматривается другой случай). Тогда
разделим уравнение (13.1) на cos z, получим
Следовательно, точки zn= −π/4 + nπ, n ∈ Z, являются особыми точ-
ками функции f (z). Это нули знаменателя f (z) кратности 1 (доказать самостоятельно). П оэтому точки zn, n ∈ Z, являются полюсами f(z) первого
порядка. Но zn→ +∞ при n → +∞. Поэтому z = ∞ не изолированная
особая точка, а предельная точка полюсов функции f (z).
1
; 2) f (z) = th z; 3) f(z) =
z
1
; 5) f (z) =
sin z
f(z) =
tg z = −1 ⇔ z = −
sin z + cosz = 0. (13.1)
z
1 −e
; 6) f (z) =
z
1 + e
1
sin z + cos z
π
4
.
+ nπ, n ∈ Z.
1
ez+ 1
sin z + cos z
;
1
.
13.2. Базовые индивидуальные задания
274. Найти конечные особые точки функции f(z) и определить их тип:
2
1) а) f(z) =
2) а) f(z) =
3) а) f(z) =
z
z2+ 2z + 2
, б) f(z) =
3
z
(z4+ i)(z2+ 9)
z
1)(z2+ 4)
(z4+
, б) f (z) =
, б) f(z) = ze
cos z
z − z
;
3
sin z
z
1/z
;
;
332 Глава 13. Изолированные особые точки аналитической функции
4) а) f (z) =
5) а) f (z) =
6) а) f (z) =
7) а) f (z) =
8) а) f (z) =
9) а) f (z) =
10) а) f (z) =
11) а) f (z) =
12) а) f (z) =
13) а) f (z) =
4
z
, б) f (z) =
4
1 + z
z2− 4
(z2+ z + 1)(z3+ 1)
, б) f (z) =
z3− 81
(z2+ 6z + 10)(z4− i)
z
(z2− 2z + 5)(z3+ 1)
z2+ z
(z2− 4z + 5)(z4+ 1)
3
z
, б) f (z) =
(1 + z)
4
2
z
(z3+ 1)(z2+ 8z + 25)
1
, б) f (z) =
3
z + z
1
, б) f (z) =
z2(z2+ 1)
2
z3− 27
(z2+ 4z + 20)(z4− 1)
z
e
;
cos z
1 + cos z
, б) f (z) = e
, б) f(z) =
, б) f(z) =
2
sin z
z
ez+ 1
z(2 + cos z)
;
, б) f (z) = z e
3
z
;
z
e
cos 2z
(z − 1)
;
2
, б) f (z) = z3sin
z
z
1−z
1
−z
;
;
;
1
;
2
;
1
;
z
14) а) f (z) =
15) а) f (z) =
16) а) f (z) =
17) а) f (z) =
18) а) f (z) =
z3+ 8
(z2− 6z + 34)(z4+ 1)
z
(z2− 8z + 17)(z3+ 1)
z6− 1
(z2+ 2z + 37)(z2+ 1)
2
z
(z2− 4z + 29)(z2+ 81)
z
6z + 13)(z3+ i)
(z2+
, б) f (z) =
, б) f (z) =
, б) f (z) =
, б) f(z) =
, б) f (z) =
1
;
sin z
1
;
cos z
1
sin z − cos z
z
1 + e
;
z
1 −e
z
e
(1 + z2)
3
;
;
13.2. Базовые индивидуальные задания 333
19) а) f (z) =
20) а) f (z) =
z3+ 125
(z2+ 8z + 25)(z4+ 1)
z3+ 27
(z2+ 6z + 10)(z2− i)
, б) f(z) =
, б) f(z) =
z
z +
;
π
4
2 + sin z
sin z + cos z
.
275. Доказать, что z = a является существенно особой точкой функ-
ции f(z):
1) f(z) = sin
3) f(z) = cos
5) f(z) = z2cos
7) f(z) = e
9) f(z) =
11) f(z) = e
13) f(z) = z + e
15) f(z) =
17) f(z) = sin
19) f(z) = sin1 +
π
, a = −i; 2) f (z) = sin ez, a = ∞;
z2+ 1
z
, a = −1; 4) f (z) = e
z + 1
π
, a = 0; 6) f (z) = sin
z
2
−z
, a = ∞; 8) f (z) =
1
, a = ∞; 10) f (z) = sin
2
z
1 −e
1/(2−z)
, a = 2; 12) f (z) = z e
1/z
, a = 0; 14) f (z) =
1
+ ez, a = ∞; 16) f(z) =
z
1 −z
, a = 0 ; 18) f (z) = z4sin
2
z
1
, a = 0; 20) f (z) =
z
1/(1−z)
e
sin z
1
z
sin(1 −z)
tg z
, a =
π
, a = 0;
2
z
, a = 1;
z − 1
, a = −1;
z + 1
1/z
, a = 0;
ez, a = ∞;
, a = ∞;
2
z
1
, a = 0;
4
z
z + 1
sin
z
π
2
;
z + 1
z
, a = 0.
276. Найти все особы е точки функции f (z) и исследовать их характер
(включая бесконечность):
1) а) f(z) = z2e
2) а) f(z) =
3) а) f(z) =
sin z
z
sin z − c
1
−
z
, б) f (z) =
, б) f(z) = sin
3
π
z +
4
, б) f(z) = sin
os z
cos z
2
z
1 −z
;
1
;
1
1
+
;
2
z
z
334 Глава 13. Изолированные особые точки аналитической функции
z
4) а) f (z) =
5) а) f (z) = e
6) а) f (z) =
7) а) f (z) =
8) а) f (z) =
9) а) f (z) =
10) а) f (z) = ctg
11) а) f (z) =
12) а) f (z) =
13) а) f (z) =
14) а) f (z) =
15) а) f (z) =
16) а) f (z) =
17) а) f (z) =
18) а) f (z) = z5e
19) а) f (z) =
2 −e
, б) f (z) = e−zcos
z
2 + e
z
z+1
, б) f (z) =
1
ez− 1
1 −e
2 + e
z
ez+ 1
cos2z
z
e
4 + z
z2+ 16
sh z − ch z
1
sh z
i + e
i −e
1 −cos z
1 + ch z
sin πz
(z + 1)
1
−
, б) f(z) = z e−z;
z
z
, б) f (z) = z e
z
2
, б) f (z) = e
, б) f(z) = e
2
1
1
−
, б) f (z) = sin
z
z
z
, б) f(z) =
2
, б) f (z) = e
z
e
1
, б) f(z) =
, б) f (z) = z3sin
z
, б) f (z) = z cos
z
, б) f(z) =
4
z
z
, б) f (z) =
4
−z
, б) f (z) =
, б) f (z) = c os
3
20) а) f (z) = z e−z, б) f (z) =
e
z2+ 1
z−1/z
4z + 3
e
z
(z3+ 1)(z −1)
z
;
1/z
;
z/(1−z)
sin z
−1/z
1 + z
1
− z2;
z
1
z
1
ez− 1
sin z
(z − π)
iz
;
3
z + i
sin
;
1
z
;
2
e
− z;
1
1
;
z
;
;
;
2
;
z
1
−
2
;
sin z
;
;
1
z
.
2
13.3. Задания для самостоятельной работы 335
277. Определить, является ли точка z = ∞ для функции f (z) изолиро-
ванной особой точкой. В случае положительного ответа указать
ее тип:
1) f(z) =
sin z
z5− 1
4) f(z) = cth
7) f(z) =
10) f(z) =
13) f(z) =
1
ez+ e
z6+ 1
z2+ z
sin πz
(z − 1)
16) f(z) = z4cos
19) f(z) =
sin
1 + z
; 2) f (z) =
1
; 5) f (z) = ezsin
z
; 8) f (z) = cos z −sin z; 9) f(z) =
; 11) f (z) =
; 14) f (z) =
3
1
; 17) f (z) = z3e
2
z
1
2
; 20) f (z) = sin z sin
1
; 3) f (z) = th
sin2z
1
; 6) f (z) = z6e
z
2
z
; 12) f (z) = e−zcos
4
1 + z
(z2+ 1)
2
z2+ 4
−3z
; 18) f (z) = z2ch
1
.
z
1
;
z
1
z
;
; 15) f (z) =
z4+ 1
z
e
z2+ 2
z10+ 2
;
1
;
z
1
;
z
13.3. Задания для самостоятельной
;
работы
278. Найти все особы е точки функции f (z) и исследовать их характер
1) f(z) = sin
3) f(z) =
5) f(z) =
(z2− 4)2cos
(z2− 1)2(ch z + 1)
cos
1
; 2) f (z) = e
1
z
7
z
1
z−2
ctg πz
e
tg(1/z)
; 4) f (z) =
; 6) f (z) =
;
1/(i−z)
e
1 + sin
z−1
e
ez− 1
;
πiz
2
1
.
336 Глава 13. Изолированные особые точки аналитической функции
279. Доказать, что точка z0является существенно особой точкой для
функции f (z):
3
1) f(z) = e
−z
, z0= ∞; 2) f(z) = sin
3) f(z) = sin(ez), z0= ∞; 4) f(z) = z3cos
5) f(z) = e
7) f(z) = e
tg z
1
2
z
, z0= 0; 8) f (z) = cos z − sin z, z0= ∞;
, z0=
π
; 6) f (z) = cos
2
π
z2+ z
π
z2+ 1
, z0= 0;
π
, z0= 0;
z
, z0= i;
9) f(z) =
z2+ 1
, z0= ∞; 10) f(z) = sin
z
e
π
, z0= 0.
z
Р е ш е н и е п. 1. Для доказательства достаточно показать, что предел
lim
f(z) не существует. Для этого рассмотрим две последовательности:
z→∞
Очевидно,
1
z
n
n→∞
= −
lim
√
3
2πn и z
1
z
= ∞, lim
n
n→∞
√
3
2
= i
2πn.
n
2
z
= ∞.
n
Кроме того,
f(z
1
) = lim
n
lim
n→∞
По определению предела, lim
n→∞
e
2πn
= ∞, lim
n→∞
f(z) не существует, т.е. точка z0= ∞
z→∞
f(z
2
) = lim
n
n→∞
e
i2πn
= 1.
является существенно особой точкой.
280. Определить характер особой точки z0= 0 функции f (z):
1) f(z) = exp
sin z
; 2) f (z) =
z
3) f(z) = (ez− 1 − z) ctg3z; 4) f (z) =
1
5) f(z) = e
z2−z
; 6) f (z) = z2ctg
z
e
sin z − z +
1
.
z
;
3
z
6
sin 2z
cos z − 1 +
;
2
z
2
13.4. Задания творческого характера 337
281. Выяснить, является ли точка z0правильной или особой для каж-
дой из однозначных ветвей многозначной функции f (z). В случае, если она является особой, указать характер осо бенности:
1) f(z) =
3) f(z) =
5) f(z) =
1 +√z − 2
1 + z − 2√z
1 +√z − 3
7) f(z) =
sin1 +
8) f(z) = ctg
z
2z + 1
z + 1
1
1
1 +√z
, z0= 3; 2) f(z) =
, z0= 1; 4) f(z) = cos
, z0= 4; 6) f(z) =
q
, z0= ∞;
z
z−2
, z0=1 +
2
1
.
π
√
sin
z +
1
Ln z
1
2i
√
, z0= 1;
3
z
1
1 +√z
, z0= 1;
, z0= 1;
282. Пусть Pn(z) и Qm(z) — полиномы степеней n и m соответственно.
Охарактеризовать пове дение при z → ∞ следующих функций:
1) Pn(z) + Qm(z); 2)
5) exp(Pn(z)); 6) sin
Pn(z)
; 3) Pn(z)Qm(z); 4)Pn(z)
Qm(z)
Pn(z)
Qm(z)
; 7) P
Qm(z); 8) exp
n
k
Pn(z)
Qm(z)
, k ∈ Z;
.
13.4. Задания творческого характера
283. Найти все особые точки (включая бесконечность) функции
f(z) = sin
и исследовать их характер.
Р е ш е н и е. Особыми точками данной функции являются точки z = 0,
z = ∞ и решения уравнения
1
π, k = ±1, ±2, . . . ,
= k
z
sin
1
1
z
338 Глава 13. Изолированные особые точки аналитической функции
т.е.
zk=
1
, k = ±1, ±2, . . .
kπ
Выясним характер особых точек zk= 1/(kπ). Для этого при фиксиро-
ванном k = ±1, ±2, . . . исследуем предел
I = lim
z→
z→0
sin
sin
1
sin
1
kπ
sin
1
z
= lim
z+
1
1
1
kπ
= (−1)klim
z→0
sin
sin(
Здесь мы воспользовались формулой приведения. Заметим, что
sin
sin
1
1
z+
kπ
1
− kπ
= sin
−kπz
z +
kπ
.
1
Полагая по определению
g(z) = −sin
sin
z+
1
kπz
,
1
kπ
получим, что
I = (−1)klim
Покажем, что предел lim
z→0
g(z) не существует.
z→0
g(z).
По определению это означает, что zk= 1/(kπ) — существенно особая
точка функции f(z).
Для этого с помощью следующих равенств определим две последова-
1
∞
2
тельности (z
)
n
n=1
, {z
1
z
n
2
z
n
∞
}
:
n
n=1
1
z
kπ
n
= arcsin
1
+
kπ
2
z
kπ
n
= arcsin
1
+
kπ
1
2πn
π
2
,
1
+ 2πn
, n = 1, 2, . . .
Тогда при n → ∞
1
z
=
n
2
z
=
n
1
arcsin
kπ
kπ − arcsin
1
arcsin
kπ
kπ − a
rcsin
2πn
π
2
1
1
2πn
1
+2πn
π
+
2
1
2πn
→ 0,
→ 0.
z+
1
1
1
kπ
− kπ)
.
13.4. Задания творческого характера 339
Остается заметить, что при n → ∞
1
g(z
) = sin 2πn = 0 → 0,
g(z
n
2
n
) = sin
π
+ 2πn= 1 → 1,
2
т.е. предел I не существует по определению предела на языке последовательностей.
Итак, zk= 1/(kπ), k = ±1, ±2, . . . — существенно особые точки f (z).
Так как zk→ 0 при k → ∞, то точка z = 0 является предельной точкой
для существенно особых точек.
Точка z = ∞ является существенно особой точкой для f(z), поскольку
не существует предел
lim
z→0
sin
1
.
1
sin
z
Для того чтобы доказать это, рассмотрим две последовательности:
=
=
arcsin
arcsin
1
→ ∞, n → ∞,
1
2πn
1
1
π
+2πn
2
→ ∞, n → ∞,
1
z
n
2
z
n
тогда
1
f(z
) = sin 2πn = 0,
f(z
n
2
n
) = sin
π
+ 2πn= 1.
2
Отсюда и следует нужное утверждение.
284. Пусть z = a — суще с твенно особая точка функции f(z). Выяс-
нить, будет ли данная точка существенно особой и для функции
1/f(z).
285. Определить характер особенности точки z = z0для функции
F (z) = f (ϕ(z)), если ϕ в этой точке аналитична или имеет полюс,
а точка ξ0= ϕ(z0) является для функции f:
а) устранимой точкой;
б) полюсом порядка n;
в) существенно особой точкой.
340 Глава 13. Изолированные особые точки аналитической функции
286. Пусть z0— изо лированная особая точка для функции f (z) и
Re f (z) > 0 в некоторой окрестности этой точки. Доказать, что
z0является устранимой особой точкой для функции f (z).
287. Показать, что функция, обратная к целой, не может быть также
целой, кроме случая линейной функции.
288. Пусть z0— изо лированная особая точка для функции f (z), удов-
летворяющей в некоторой окрестности этой точки неравенству
|f(z)| < M |z − z0|−m, где m и M — положительные постоянные.
Доказать, что z0не может быть существенно особой точкой функции f(z).
289. Пусть z0— существенно особая точка функции f (z). Определить
характер точки z0для функции
1
f(z)f(z) −a
,
где a ∈ C и a 6= 0.
290. Теорема Пикара утверждает, что в окрестности существенно особой точки аналитическая функция принимает бесконечно много
раз всякое конечное значение, за исключением, быть может, одного, которое называется пикаровским исключительным значением. Если рассматривать мероморфные функции, то возможное
число исключительных значений (включая и ∞) не превосходит
двух.
Найти исключительные значения для каждой из следующих
функций f (z) и показать, что эти значения (если они существуют) являются асимптотическими, т.е. можно указать хотя бы одну линию, оканчивающуюся в существенно особой точке, вдоль
которой функция стремится к исключительному значению:
1) f(z) = ez; 2) f (z) = e
1
z
; 3) f (z) = cos
1
;
z
4) f(z) = tg z; 5) f (z) = tg2z.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]