Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебник
.pdf
Глава 5
Линейная функция
5.1. Задания для аудиторной работы
98. Представить линейное отображение w = az+b в виде композиции
отображений растяжения, поворота и параллельного переноса:
1) w = iz + i; 2) w = −iz − 1 + i; 3) w = (1 + i)z + 1;
4) w = (1 −i)z − i; 5) w =
√
2
!
3
1
+ i
2
z − 1;
6) w = (−1 −i)z + 1.
Р е ш е н и е п. 6. Так как
| −1 −i| =√2, arg(−1 − i) = −
то
w =√2e
Данное отображение может быть представлено в виде композиции
трех отображений:
τ =√2z, ξ = e
Первое из указанных отображений является растяжением в√2 раз,
второе — поворотом на угол 3π/4 по часовой стрелке вокруг нуля, третье —
параллельным переносом на 1 в направлении оси Ox (см. п. 2.3.1т).
3π
−
4
z + 1.
3π
−i
4
τ, w = ξ + 1.
3π
,
4
212 Глава 5. Линейная функция
99. Найти линейное о тображение треугольника ABC в плоскости (z)
на подобный ему треугольник A1B1C1плоскости (w):
1) A = 8 + 2i, B = 12 + 2i, C = 10 + 4i, A1= 0, B1= −2i, C1= 1 − i;
2) A = 0 , B = 4, C = 4i, A1= 4 + 4i, B1= 0, C1= 8;
3) A = 7 + 2i, B = 11 + 2i, C = 9 + 4i, A1= 0, B1= −2i, C1= 1 − i;
4) A = 0 , B = 6, C = 6i, A1= 6 + 6i, B1= 0, C1= 12;
5) A = 5 + 2i, B = 9 + 2i, C = 7 + 4i, A1= 0, B1= −2i, C1= 1 − i;
6) A = 0 , B = 1, C = i, A1= 1 + i, B1= 0, C1= 2.
Р е ш е н и е п. 6. Для нахождения коэффициентов a и b линейной
функции w = az + b, переводящей A в A1и B в B1, запишем систему
b = 1 + i,
a + b = 0,
откуда a = −1 −i, b = 1 + i. Тогда искомое отображение имеет вид
w = −(1 + i)z + 1 + i.
Заметим, что это отображение точку C переводит в точку C1.
100. Найти линейное отображение с неподвижной точкой z∗, перево-
дящее точку z1в точку w1:
1) z∗= 2 + 4i, z1= 2i, w1= −2i; 2) z∗= 0, z1= i, w1= −i;
3) z∗= 1, z1= 0, w1= i; 4) z∗= i, z1= −i, w1= 0;
5) z∗= −i, z1= 1, w1= −1; 6) z∗= −1, z1= i, w1= −i.
Р е ш е н и е п. 6. Искомая функция имеет вид w = az + b. Для непо-
движной точки z∗выполняется условие w(z∗) = z∗. Тогда, учитывая условие
задачи, получим
откуда a = −i, b = −1 −i. Поэтому искомое отображение и меет вид
−a + b = −1,
ia + b = −i,
w = −iz − 1 − i.
5.1. Задания для аудиторной работы 213
101. Для линейного отображения w = az + b найти конечную непо-
движную точку z∗. Если она существует, найти угол пово рота ϕ
вокруг z∗и коэффициент растяжения k в точке z∗:
1) w = 3z − 3 + i; 2) w = z − 2 + i; 3) w = 3iz + 1;
4) w = 3z + 3i; 5) w = −3z + 3 + 2i; 6) w = z + 3 + 3i.
Р е ш е н и е п. 3. Для неподвижной точки z∗выполняется условие
w(z∗) = z∗, т.е.
3iz∗+ 1 = z∗,
откуда
z∗=
или
z∗=
Так как w′= 3i, то по свойству модуля и аргу мента производной
k = |3i| = 3, ϕ = arg 3i =
π
.
2
1 − 3i
1
10
1
3
+
i.
10
102. Найти линейную функцию, которая:
1) отображает круг |z| < 1 на круг |w −2 + i| < 2 так, чтобы центры
кругов соответствовали друг другу и горизонтальный диаметр
переходил в диаметр, образующий с направлением действительной оси угол
π
;
4
2) отображает круг |z| < 1 на круг |w + i| < 4 так, чтобы центры
кругов соответствовали друг другу и горизонтальный диаметр
переходил в диаметр, образующий с направлением действительной оси угол −
π
;
4
3) отображает круг |z| < 1 на круг |w + 1| < 3 так, чтобы центры
кругов соответствовали друг другу и горизонтальный диаметр
переходил в диаметр, образующий с направлением действительной оси угол
π
;
3
4) отображает круг |z| < 1 на круг |w +2 + i| < 4 так, чтобы центры
кругов соответствовали друг другу и горизонтальный диаметр
переходил в диаметр, образующий с направлением действительной оси угол −
π
;
3
214 Глава 5. Линейная функция
5) отображает круг |z| < 1 на круг |w −3 −i| < 5 так, чтобы центры
кругов соответствовали друг другу и горизонтальный диаметр
переходил в диаметр, образующий с направлением действительной оси угол
π
;
6
6) отображает круг |z| < 1 на круг |w −6−3i| < 3 так, чтобы центры
кругов соответствовали друг другу и горизонтальный диаметр
переходил в диаметр, образующий с направлением действительной оси угол −
Р е ш е н и е п. 6. Искомое отображение w = az + b является компози-
цией трех отображений
Первое отображение растягивает круг |z| < 1 в 3 раза, второе — по-
ворачивает круг |ξ| < 3 на угол −
|ξ| < 3 в круг |w − 6 − 3i| < 3. Ясно, что при этом горизонтальный диаметр
переходит в диаметр, образующий с направлением действительной оси угол
π
−
.
6
π
.
6
τ = 3z,
ξ = e
w = ξ + 6 + 3i.
π
−i
6
τ,
π
, третье — параллельно переносит круг
6
103. Найти линейную функцию, которая:
1) отображает полосу, заключенную между прямыми x = 4, x = 6,
на полосу 0 < Im w < 4;
2) отображает полосу, заключенную между прямыми x = 4, x = 8,
на полосу 0 < Im w < 2;
3) отображает полосу, заключенную между прямыми x = 4, x = 10,
на полосу −1 < Im w < 0;
4) отображает полосу, заключенную между прямыми x = 5, x = 7,
на полосу −1 < Im w < 0;
5) отображает полосу, заключенную между прямыми x = 5, x = 9,
на полосу −1 < Im w < 1;
6) отображает полосу, заключенную между прямыми x = 5, x = 11,
на полосу 0 < Im w < 1.
5.1. Задания для аудиторной работы 215
(z)
(w)
1
115
Рис. 5.1
Р е ш е н и е п. 6. Изобразим данну ю полосу и требуемый образ
(рис. 5.1).
Шаг 1. Сдвинем данную полосу с помощью функ ции w1= z − 5. По-
лучим полосу 0 < Re w1< 6 (рис. 5.2).
(z)
115
Рис. 5.2
(w1)
6
Шаг 2. Уменьшим ширину полученной полосы в 6 раз с помощью пре-
образования подобия w2= 1/6w1. Полу чим полосу 0 < R e w2< 1 (рис. 5.3).
(w1)
6
Рис. 5.3
(w2)
1
Шаг 3. Остается повернуть эту полосу на угол π/2: w = e
(рис. 5.4).
iπ/2
w
2
216 Глава 5. Линейная функция
(w2)
1
Окончательно получим
w = iw2= i
Рис. 5.4
1
w1=
6
i
(z − 5).
6
1
(w)
5.2. Базовые индивидуальные задания
104. Указать геометрический смысл (сдвиг, растяжение, поворот) следующих преобразований:
1) w = (−2 + 2√3i)z + 5i; 2) w =
3) w = (−3 + 3√3i)z + 3i −1; 4) w = 5iz + 4 − 3i;
π
i
5) w = 2e
7) w = (−1)
9) w =
3
z + 4 −2i; 6) w = (6√3 −6i)z − 3i − 1;
1 −i
4
√
z − 5i; 8) w = (−4 − 4√3i)z − i + 1;
2
√
1
3
−
2
i!z + 5 −3i; 10) w = −
2
11) w = 7iz + 5 −2i; 12) w = 3e
13) w = (8 −8√3i)z − 2i; 14) w = (−1)
15) w =
3
√
2
3i
√
−
z + 6i − 1; 16) w = (−4 −4√3i)z + 9;
2
17) w = −3iz + 7i −1; 18) w = 6iz + 6i + 1; 19) w = 2e
√
20) w = (4 + 4
3i)z +
7 −i.
1
2
π
i
4
z − 4i + 1;
√
3
−
i!z + 7 −8i;
2
√
1 −i
3
√
2
!
3
i
−
2
2
z − 7i + 3;
i
z + 6i;
π
6
z − 4i +
1;
5.2. Базовые индивидуальные задания 217
105. Найти следующие линейные преобразов ания:
1) преобразование с неподвижной точкой 1 + 2i, переводящее точку
−i в точку i;
2) преобразование с неподвижной точкой 2 + i, переводящее точку
i в точку −i;
3) преобразование с неподвижной точкой 3 + i, переводящее точку
2i в точку −2i;
4) преобразование с неподвижной точкой 2 + 4i, переводящее точку
−i в точку i;
5) преобразование с неподвижной точкой 1 + 3i, переводящее точку
i в точку −i;
6) преобразование с неподвижной точкой 2 + 3i, переводящее точку
−2i в точку 2i;
7) преобразование с неподвижной точкой 1 + 4i, переводящее точку
2i в точку −2i;
8) преобразование с неподвижной точкой 2 + 2i, переводящее точку
−i в точку i;
9) преобразование с неподвижной точкой 2 + i, переводящее точку
−2i в точку 2i;
10) преобразование с неподвижной точкой 2 + 4i, переводящее точку
2i в точку −2i;
11) преобразование, отображающее треугольник с вершинами в точках A = 0, B = 5, C = 5i плоскости z на подобный ему треугольник с вершинами A1= 5 + 5i, B1= 0, C1= 10 плоскости w;
12) преобразование, отображающее треугольник с вершинами в точках A = 3 + 2i, B = 7 + 2i, C = 5 + 4i плоскости z на подобный
ему треугольник с вершинами A1= 0, B1= −2i, C1= 1 − i
плоскости w;
13) преобразование, отображающее треугольник с вершинами в точках A = 0, B = 6, C = 6i плоскости z на подобный ему треугольник с вершинами A1= 6 + 6i, B1= 0, C1= 12 плоскости w;
218 Глава 5. Линейная функция
14) преобразование, отображающее треугольник с вершинами в точ-
ках A = 8 + 2i, B = 12 + 2i, C = 10 + 4i плоскости z на подобный
ему треугольник с вершинами A1= 0, B1= −2i, C1= 1 − i
плоскости w;
15) преобразование, отображающее треугольник с вершинами в точ-
ках A = 0, B = 4, C = 4i плоскости z на подобный ему треугольник с вершинами A1= 4 + 4i, B1= 0, C1= 8 плоскости w;
16) преобразование, отображающее треугольник с вершинами в точ-
ках A = 7 + 2i, B = 11 + 2i, C = 9 + 4i плоскости z на подобный
ему треугольник с вершинами A1= 0, B1= −2i, C1= 1 − i
плоскости w;
17) преобразование, отображающее треугольник с вершинами в точ-
ках A = 0, B = 3, C = 3i плоскости z на подобный ему треугольник с вершинами A1= 3 + 3i, B1= 0, C1= 6 плоскости w;
18) преобразование, отображающее треугольник с вершинами в точ-
ках A = 1 + 2i, B = 5 + 2i, C = 3 + 4i плоскости z на подобный
ему треугольник с вершинами A1= 0, B1= −2i, C1= 1 − i
плоскости w;
19) преобразование, отображающее треугольник с вершинами в точ-
ках A = 0, B = 8, C = 8i плоскости z на подобный ему треугольник с вершинами A1= 8 + 8i, B1= 0, C1= 16 плоскости w;
20) преобразование, отображающее треугольник с вершинами в точ-
ках A = 2 + 2i, B = 6 + 2i, C = 4 + 4i плоскости z на подобный
ему треугольник с вершинами A1= 0, B1= −2i, C1= 1 − i
плоскости w.
106. Для указанных преобразований найти конечную неподвижную
точку z0(если она су щ ествует), угол поворота ϕ вокруг нее и
коэффициент растяжения k:
1) w = −3z + 2 + i; 2) w = z + 2 + i; 3) w = −2iz + 3;
4) w = 2z + 3i; 5) w = 2z + 3 + i; 6) w = z + 3 + 4i;
7) w = 2iz + 4; 8) w = −3z + 2i; 9) w = −2z − 3 + 2i;
10) w = z − 2 + 3i; 11) w = −3iz + 1; 12) w = −2z + i;
5.2. Базовые индивидуальные задания 219
13) w = 3z + 2 + 2i; 14) w = z − 3 + i; 15) w = 3iz + 2;
16) w = 3z + 4i; 17) w = 2z + 2 + 3i; 18) w = z + 2 + 4i;
19) w = −3iz + 1; 20) w = 2z + i.
107. Найти линейную функцию, обладающую следующими свой-
ствами:
1) отображает круг |z − 3i| < 6 на круг |w − 6| < 12 так, чтобы
горизонтальный диаметр переходил в горизонтальный;
2) отображает круг |z − 2i| < 4 на круг |w − 4| < 8 так, чтобы
горизонтальный диаметр переходил в горизонтальный;
3) отображает круг |z − 4i| < 8 на круг |w − 8| < 16 так, чтобы
горизонтальный диаметр переходил в горизонтальный;
4) отображает круг |z − 5i| < 10 на круг |w − 10| < 20 так, чтобы
горизонтальный диаметр переходил в горизонтальный;
5) отображает круг |z − i| < 2 на круг |w − 2| < 4 так, чтобы гори-
зонтальный диаметр переходил в горизонтальный;
6) отображает круг |z − 6i| < 12 на круг |w − 12| < 24 так, чтобы
горизонтальный диаметр переходил в горизонтальный;
7) отображает круг |z| < 1 на круг |w −2 −i| < 1 так, чтобы центры
кругов соответствовали друг другу и горизонтальный диаметр
переходил в диаметр, образующий с направлением действительной оси угол
π
;
2
8) отображает круг |z| < 1 на круг |w −2 −i| < 1 так, чтобы центры
кругов соответствовали друг другу и горизонтальный диаметр
переходил в диаметр, образующий с направлением действительной оси угол −
π
;
2
9) отображает круг |z| < 1 на круг |w −2 −i| < 1 так, чтобы центры
кругов соответствовали друг другу и горизонтальный диаметр
переходил в диаметр, образующий с направлением действительной оси угол
π
;
4
220 Глава 5. Линейная функция
10) отображает круг |z| < 1 на круг |w −2 −i| < 1 так, чтобы центры
кругов соответствовали друг другу и горизонтальный диаметр
переходил в диаметр, образующий с направлением действительной оси угол −
π
;
4
11) отображает круг |z| < 1 на круг |w −2 −i| < 1 так, чтобы центры
кругов соответствовали друг другу и горизонтальный диаметр
переходил в диаметр, образующий с направлением действительной оси угол
π
;
3
12) отображает круг |z| < 1 на круг |w −2 −i| < 1 так, чтобы центры
кругов соответствовали друг другу и горизонтальный диаметр
переходил в диаметр, образующий с направлением действительной оси угол −
π
;
3
13) отображает круг |z| < 1 на круг |w −2 −i| < 1 так, чтобы центры
кругов соответствовали друг другу и горизонтальный диаметр
переходил в диаметр, образующий с направлением действительной оси угол
π
;
6
14) отображает круг |z| < 1 на круг |w −2 −i| < 1 так, чтобы центры
кругов соответствовали друг другу и горизонтальный диаметр
переходил в диаметр, образующий с направлением действительной оси угол −
π
;
6
15) отображает круг |z| < 1 на круг |w −4−2i| < 2 так, чтобы центры
кругов соответствовали друг другу и горизонтальный диаметр
переходил в диаметр, образующий с направлением действительной оси угол
π
;
2
16) отображает круг |z| < 1 на круг |w −4−2i| < 2 так, чтобы центры
кругов соответствовали друг другу и горизонтальный диаметр
переходил в диаметр, образующий с направлением действительной оси угол −
π
;
2
17) отображает круг |z| < 1 на круг |w −4−2i| < 2 так, чтобы центры
кругов соответствовали друг другу и горизонтальный диаметр
переходил в диаметр, образующий с направлением действительной оси угол
π
;
4
18) отображает круг |z| < 1 на круг |w −4−2i| < 2 так, чтобы центры
кругов соответствовали друг другу и горизонтальный диаметр
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]