Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебное пособие-1
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина
Теория функций
комплексного переменного
Учебное пособие
Рекомендовано методическим советом УрФУ
для студентов вуза, обучающихся по техническим направлениям
подготовки и специальностям
Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2018
УДК 517.53(075.8)
ББК 22.161.5я73
Т33
Авторы: Н. В. Гредасова, Н. И. Желонкина, М. А. Корешникова, Л. В. Кор‑
чемкина, В. И. Зенков
Рецензенты: кафедра прикладной математики и программирования ЮУрГУ
(зав. кафедрой д‑р физ.‑мат. наук, доц. А. А. Замышляева); д‑р физ.‑мат. наук,
вед. науч. сотр. ИММ УрО РАН Ю. И. Бердышев
Научный редактор — д‑р физ.‑мат. наук, проф. А. Н. Сесекин
Теория функций комплексного переменного : учеб. пособие / Н. В. Гре‑
Т33
дасова, Н. И. Желонкина, М. А. Корешникова [и др.]. — Екатерин‑
бург : Изд‑во Урал. ун‑та, 2018. — 128 с.
ISBN 978‑5‑7996‑2472‑9
В учебном пособии представлены основные понятия и теоремы теории функций ком‑
плексного переменного. Пособие включает следующие темы: основные элементарные
функции и их свойства; предел, непрерывность, дифференцирование и интегрирова‑
ние функций комплексного переменного; ряды в комплексной области; теория выче‑
тов; конформные отображения. Рассмотрены решения типовых задач. Приведены зада‑
чи для самостоятельного решения и задания к расчетной работе.
Предназначается для студентов, обучающихся по техническим направлениям подго‑
товки и специальностям.
Библиогр.: 7 назв. Рис. 2.
УДК 517.53(075.8)
ББК 22.161.5я73
______________________________
Учебное издание
Гредасова Надежда Викторовна, Желонкина Наталья Игоревна, Корешникова Мария
Анатольевна, Корчемкина Людмила Викторовна, Зенков Виктор Иванович
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Подписано в печать 10.08.2018. Формат 70×100 1/16. Цифровая печать.
Усл. печ. л. 10,32. Уч.‑изд. л. 5,6. Тираж 50 экз. Заказ 232.
Издательство Уральского университета
Редакционно‑издательский отдел ИПЦ УрФУ
620049, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 5
Тел.: 8 (343) 375‑48‑25, 375‑46‑85, 374‑19‑41, e‑mail: rio@urfu.ru
Отпечатано в Издательско‑полиграфическом центре УрФУ
620083, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4
Тел.: 8 (343) 358‑93‑06, 350‑58‑20, 350‑90‑13, факс: 8 (343) 358‑93‑06
http://print.urfu.ru
ISBN 978‑5‑7996‑2472‑9 © Уральский федеральный университет, 2018
1.1. Основные понятия. Формы записи комплексных чисел
zzxy xiyxy==+О(,),,.
=-
xz=
yz= Im
x = 0
0 +=iy iy
y = 0
xix+=0
zxiy
=+
zxiy
=+
xx
12
=
yy
12
=
zxiy=+
zxiy=-
zxiy=+
Pxy(,)
Pxy(,)
=+
zxiy=+
rO
r
j
1. Комплексные числа
1.1. Основные понятия. Формы записи комплексных чисел
Комплексное число — это выражение вида
Мнимой единицей называется
Число
числа z, а число
Если
Если
Re
называется действительной частью комплексного
называется мнимой частью z.
, то
, то
Два комплексных числа
и
.
Два комплексных числа
z
1
.
называется чисто мнимым числом.
отождествляется с действительным числом.
11 1
и
22 2
и
равны, если
, отличающиеся знаком
мнимой части, называются комплексно-сопряженными.
Комплексное число
точкой
. И наоборот, каждую точку
скости можно рассматривать как образ комплексного числа
на плоскости Oxy можно изобразить
координатной пло‑
zxiy
Плоскость Oxy будет называется комплексной плоскостью, ось Ox —
действительной осью, ось Oy — мнимой осью.
Комплексное число
P=
(рис. 1.1).
можно задавать радиус‑вектором
.
O x
Рис. 1.1
3
1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
rOP=
zxiy=+
||
=+
22
||zz-
z
||
-=
z
||
zz-=-
12
z
z
+<
Ј+-<||zi
zi
zi
23
25
zi
2=- +
R13=
zi
2=- +
R25=
=
=
rOP
=+
Arg z
z № 0
2012pkk(,,,...)=±±
Длина вектора
и обозначается
деляется по формуле
называется модулем комплексного числа
z
или r. Модуль комплексного числа опре‑
||zxy
.
Замечания:
1)
2)
zz R
— расстояние от точки z до точки
0
— уравнение окружности с центром в точке
0
0
;
и ра‑
0
диусом R;
||
zz
3)
от точек
и
1
Пример. Дать геометрическое описание всех точек
— геометрическое место точек, равноудаленных
.
2
zi
2
ком‑
плексной плоскости, удовлетворяющих следующему соотношению:
325
.
Решение
Представим данное выражение в виде двух неравенств:
|( )| ,
-+і
м
н
|( )| .
-+<
о
Первое неравенство геометрически представляет собой множество
точек комплексной плоскости, лежащих вне окружности с центром
в точке
сти являются решением данного неравенства.
Второе неравенство геометрически представляет собой множество
точек комплексной плоскости, лежащих внутри окружности с центром
в точке
сти не являются решением данного неравенства.
В итоге данное по условию соотношение определяет множество
точек кольца с центром в точке (–2;1); радиус большей окружности
R25
ключаются.
Угол между радиус‑вектором
ем оси Ox называется аргументом комплексного числа
значается
Аргумент комплексного числа
ной и определяется с точностью до слагаемого
0
0
и радиусом
и радиусом
, а меньшей —
.
R13
, причем точки данной окружно‑
, причем точки данной окружно‑
, причем точки меньшей окружности ис‑
=
и положительным направлени‑
zxiy
и обо‑
является многозначной величи‑
.
4
1.1. Основные понятия. Формы записи комплексных чисел
(;]-p p
argz
[; )).02p
Arg zzkk=+ =±±arg,,, ,...2012p
z = 0
,,
,,
xy
+<
00
<<
=>
-=
о
00
00
00
,,
,,
,,
xy
xy
xy
22
==+О
,.
zxiy=+
rOP=
s,
n.
Значение аргумента, заключенное в промежутке
ся главным значением аргумента и обозначается
(в качестве глав‑
называет‑
ного значения аргумента иногда берут величину, заключенную в про‑
межутке
Все значения аргумента определяются формулой
Для комплексного числа
аргумент не определен.
Главное значение аргумента комплексного числа определяется
по формуле
м
п
п
п
п
п
arg
п
н
п
п
п
п
п
п
y
arctgесли
x
y
arctgесли
arctgесли
p
2
p
2
p
x
y
,z
-
p
x
если
если
x
>
0
,
>
x=
y
<
,
<
.
Имеют место соотношения
tg ArgArg Arg(),sin() ,cos() .z
Формы записи комплексных чисел
1. Алгебраическая форма записи комплексного числа
Алгебраическая форма записи комплексного числа — это выраже‑
ние вида
2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа
Рассмотрим модуль r и аргумент j комплексного числа
как полярные координаты вектора
y
==
x
zzxy xiyxy
z
(,),
м
н
о
22
xy
xr
=
co
yr
=
si
5
y
+
j
j
(рис. 1.1). Тогда
z
+
x
=
1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
zxiy=+
zr i=+(cos sin).jj
jp
=+=
ei
jj
=+(cos sin),jj
zi
+=
jp
p
zi=+
pp
ze
Поэтому комплексное число
можно записать в виде
Полученное выражение называется тригонометрической формой
записи комплексного числа.
Так как
coscos(arg )cos(arg ),
sinsin(arg )sin(arg ),
jp
=+=
zk z
2
zk z
2
то при переходе от алгебраической формы записи комплексного чис‑
ла к тригонометрической достаточно определить главное значение ар‑
гумента.
3. Показательная (экспоненциальная) форма записи комплексного
числа
Используя формулу Эйлера
ij
комплексное число
zr i
=+cossin ,
можно записать в виде
zrei=j.
Полученное выражение называется показательной (экспоненци‑
альной) формой записи комплексного числа.
Пример. Представить комплексное число
=- +3
в тригономе‑
трической и показательной формах.
Решение
Найдем модуль и аргумент комплексного числа:
Тригонометрическая форма будет иметь вид
Показательная форма будет иметь вид
|| ()z =-
=
312
1
-
5
ж
2
cossin .
з
6
и
= 2
6
22
+=arctg
3
56p
i
.
;
5
.
6
5
ц
ч
6
ш
1.2. Действия над комплексными числами
zxiy
=+
zxiy
=+
zz xx iy y
12
+= ++ +()().
()().23 1++-+ii
()() .23 1213 14++-+ =-++=+ii ii i
=+
=+
zz xx iy y
12
-= -+ -()().
zxiy
=+
zxiy
=+
zz xx yy ixyxy
=-+-()().
zxiy
=+
zxiy
=+
()().32 25+-+ii
=- +-+=-+615410 16 11
ii ii.
ri
22
=+ =+
jj jj
12
=+++
jj jj
1.2. Действия над комплексными числами
1. Суммой комплексных чисел
11 1
и
22 2
комплексное число
12 12
Складываются действительные и мнимые части.
Пример. Вычислить
Решение:
2. Разностью комплексных чисел
zxiy
11 1
zxiy
и
22 2
ется комплексное число
12 12
Вычитаются действительные и мнимые части.
3. Произведением комплексных чисел
11 1
и
зывается комплексное число
12 12 12 12 21
Умножение двух комплексных чисел
11 1
и
ществляется как умножение многочлена на многочлен.
Пример. Вычислить
называется
называ‑
22 2
22 2
на‑
осу‑
Решение:
()()() ()32 25 3235 2225 615410
+-+=Ч- +Ч +Ч-+Ч=-+ -+ =ii ii ii ii i
Если комплексные числа заданы в тригонометрическое форме:
zr iz
(cos sin),(cossin ),
11 1122
то произведение данных чисел будет определяться формулой
zz rr i
12 12 12
(cos()sin( )).
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются,
а аргументы складываются. Данное правило распространяется на лю‑
бое конечное число множителей. В частности, если есть n множите‑
лей и все они одинаковые, то
2
2
7
1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
=+
jj
()
zi=- -1
,.
-
-
1
4
jp
p
ii
pp
sc
ii
zxiy
=+
zxiy
0=+ №
zzxx yy
xy xy
+
-
=+
zxiy
0=+ №
32
2
-+ii
zr izri
22
=+ =+(cos sin),(cossin ),jj jj
12
+-
cz
nn
zr nin
(cos() sin( )).
Данная формула называется формулой Муавра.
Пример. Вычислить
.--110i
Решение. Найдем модуль и аргумент комплексного числа
|| () ()
z =- +- ==
22
arctg
1
-=-112
3
Подставим найденные данные в формулу Муавра:
й
ж
()()cossin-- =Ч-
10 10
1210
к
л
й
15
pp pp
ж
5
=
co
з
к
л
2
и
15
ц
ж
-
ч
з
ш
и
ж
з
з
и
и
щ
ц
=- +
ч
ъ
2
ш
ы
4. Частным от деления комплексного числа
плексное число
22 2
1212 12
=
называется комплексное число
2
xy
+
222
Деление комплексного числа
22 2
осуществляется умножением числителя и знаменате‑
ц
3
ц
+Ч-
ч
ч
4
ш
ш
ж
32
+
zxiy
os sin
з
и
21 12
i
xy
+
222
11 1
ж
10
з
и
22
2
ж
з
и
11 1
.
3
4
ц
=2
ч
ш
на комплексное число
ля на сопряженное комплексное число к знаменателю.
+
Пример. Вычислить
.
ц
ц
ч
ч
ш
шш
3
22i.
щ
=
ъ
ы
на ком‑
:
Решение:
32232 2
+
-+
+Ч--
ii
()()
=
22
-+ Ч- -
i
ii
()() ()
63 42
-- --
=
iii
22
2
--
i
Если комплексные числа заданы в тригонометрическое форме:
11 1122
то формула деления будет иметь вид
zzr
121
=-
(cos()sin( )).jj jj
r
2
12
i
5. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплекс‑
ное число с, удовлетворяющее равенству
8
2
-i
4475457
-
=
n
= .
=- -ii .
5
1.2. Действия над комплексными числами
22
=-=
j
zi=- =- +Ч32 32 0
,.
jp
55
n,
pp
pp
n,
n,
zi
()
pp
и
ш
5
5
pp
10
D =-ЧЧ=-1411 32.
13
2
13
12
2
13
2
,.
Корень n‑й степени из комплексного числа z имеет n различных
значений, которые находятся по формуле
n
knz
где
0121,,, ..., ,arg .
zz
Пример. Вычислить
n
=
||cossin ,
з
и
-325.
n
i
+
k
+
jp jp
ж
k
+
ц
ч
n
ш
Решение. Найдем модуль и аргумент комплексного числа
:
|| ()
z =- += =32 032
22
Подставим в формулу извлечения корня n‑й степени из комплекс‑
ного числа, получим
k
pp pp
+
n
-=
32 32
ж
cossin .
з
и
2
i
+
5
k
+
2
ц
ч
5
ш
Придавая k значения 0, 1, 2, 3, 4, получим
02
kz i
== +
,cos sin,
12
kz i
== +
,cos si
=
222 2
,cos si
k
,cos si
kz i
32
== +
,
kz
4
=
ж
0
з
и
3
ж
1
з
5
и
=+
2
3
==+
4
pp
7
ж
з
5
и
9
ж
cossin .
2
з
ц
ч
ш
3
ц
ч
5
ш
=-
7
ц
ч
5
ш
9
i
ц
ч
Пример. Решить уравнение
Решение. Найдем дискриминант:
квадратного уравнения:
В итоге получим
2
zz
++= .
Вычислим корни
-± -
z
12
,
-= Ч-=33
13
i
-+
z
=
z
9
--
=
.=
i.
i
1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
);
ie
n;
ie
n;
ie
zi
12
45=- =- +
di
).
41241
bi);
()
()
).24
bi
--
81
33
66
n.
ii;.
Задачи для самостоятельного решения
1. Представить в тригонометрической и показательной формах:
Ответ:
bz
)cos si
az
ж
2
2
з
и
az ibzicz i);
)cos si
2
1
pp
2
3
22 13 4=- +=-- =
123
3
ж
з
и
pp
4
2
ц
=
ч
3
ш
2. Даны два комплексных числа
az zbzzcz zd
);););)
Ответ:
aibici
);););
-+ -+-+22 68 722
+-Ч
12 12 12
3. Вычислить:
ai
Ответ:
30
ab i),
--
-
4
4. Вычислить:
ai
);)
)
p
3
3
ц
ч
4
ш
-
p
2
i
3
2=-
i
4
2=+
=
zi
cz
)cos sin
ж
4
1
з
и
23
,
z
z
23
30
)13 1
5
+
.
+
.
.
pp
22
ц
4=+
=
ч
ш
. Вычислить:
1
.
2
p
i
2
.
Ответ:
ai ib ii), ;) ,cos sin,cos23
±- +
5. Решить уравнение
Ответ:
232
3
4
12
()
2
±-±
ж
з
и
zz
pp p
2
11
12
450++=
11
+
12
ц
ч
ш
.
19
ж
2
з
12
и
10
1912p
++
i si
ц
ч
ш
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]