Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебное пособие-1
.pdf
2.1. Множества на комплексной плоскости
zxiy=+
ix
,.
r(,)zz
12
zz
12
22
=+ =+,,
||
-=
z
0
||
-<
02
jp
z
,,
-< >
dd
z
||
2. Функции комплексного переменного
2.1. Множества на комплексной плоскости
Пусть
— комплексная переменная, где
При изменении х и у переменная z «пробегает» некоторое множе‑
ство точек комплексной плоскости .
Расстояние
между двумя точками определяется формулой
y=- О1,
где
r(,)( )( )| |,zz xx yy
=-+- =-
12 12212
zxiy zxiy
11 12
поэтому уравнение окружности радиуса R с центром в точке
2
z
будет
0
иметь вид
,zz R
0
а множество точек, лежащих внутри круга радиуса R с центром в точ‑
ке
, будет задаваться неравенством
.zz R
0
Уравнение окружности можно задать параметрическим уравнением
i
δ-окрестностью точки
zz R
=+ Ј<
0
называется множество всех точек z, удов‑
0
j
e, .
летворяющих неравенству
где
zz
— фиксированная точка.
0
0
0
||
Множество D называется открытым, если всякая его точка имеет
окрестность, принадлежащую множеству D (то есть целиком состоя‑
щую из точек данного множества D).
Например, множество
Dzzz R=-<{:
}
0
является открытым мно‑
жеством.
11
2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
||
-<
zR<- <||
Re ,zaa>О
||
-Ј
||
-=
z
()>
z О
z О
zzPО№,
Множество D называется связным, если любые две точки из множе‑
ства D можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в D.
Открытое связное множество называется областью.
Примеры областей:
1) круг
zz R
0
;
2) кольцо
rz
;
0
3) вся плоскость ;
4) полуплоскость
Множество
zz R
0
не является областью, так как это множество
не является открытым: для точек z, для которых
.
zz R
0
, не суще‑
ствует окрестности, целиком лежащей в этом круге.
Точка
окрестности
называется граничной точкой множества D, если в любой
1
z
найдутся как точки, принадлежащие множеству D, так
1
и точки, ему не принадлежащие.
Множество граничных точек называется границей множества D.
Множество, состоящее из области D и всех граничных точек обла‑
сти D, называется замкнутой областью и обозначается D.
Области на плоскости подразделяются на односвязные и много‑
связные.
Область называется односвязной, если ее граница состоит из одной
непрерывной кривой без самопересечений (возможно, замкнутой).
Область, которая не является односвязной, называется многосвязной.
В частности, многосвязная область называется n-связной, если ее
nn
граница состоит из
1
непересекающихся непрерывных кривых
(некоторые из кривых могут вырождаться в точку).
Рассмотрим еще одну геометрическую интерпретацию комплекс‑
ного числа.
Пусть S — сфера радиуса 1, касающаяся комплексной плоскос‑
ти в точке
z=0
, Р — точка сферы, диаметрально противополож‑
ная точке O.
Возьмем произвольную точку
и проведем луч Pz. Этот луч
имеет единственную точку пересечения z со сферой S. Таким обра‑
зом, каждой точке
поставлена в соответствие точка
Установим взаимно однозначное соответствие между точками ком‑
плексной плоскости и точками сферы S, отличными от P.
.
12
2.2. Понятие функции комплексной переменной
z =Ґ
z О
zxiy xy=+ О,,
wuiv uv=+ О,,
wfz= ()
wfzuvi fx iy==+= +() ()
fx iy uxyivxy()(, )(,)+= +
fz== ==
zDО
wfz= ()
wfz= ()
Это соответствие называется стереографической проекцией.
Точке P не соответствует ни одна точка из .
Введем в рассмотрение дополнительную (воображаемую) точку, ко‑
торую назовем бесконечно удаленной и обозначим
.
Комплексная плоскость , дополненная бесконечно удаленной
точкой, называется расширенной комплексной плоскостью и обознача‑
ется .
Каждой точке
z О
соответствует единственная точка
, и на‑
оборот.
Сфера S называется комплексной сферой, сферой Римана.
2.2. Понятие функции комплексной переменной
Пусть D — некоторое множество комплексных чисел z.
Если каждой точке
из множества D расширенной комплексной z‑плоскости по правилу f
соответствует комплексное число
из множества Е расширенной комплексной w‑плоскости, то
—
комплексная функция комплексной переменной.
D — область определения функции комплексного переменного.
Е — область значений функции комплексного переменного.
uuxy fz vvxy
где
(,)Re(), (,)Im()
Если каждому значению
ние
, то функция комплексного переменного
соответствует единственное значе‑
,
,
.
назы‑
вается однозначной функцией. В остальных случаях — многозначной
функцией.
13
2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
{}z
zz z
,,..., ,...
{}z
e>0
NN=
z
||
-<e
nNі
{}
lim
za
=
{}zxiy
=+
ai=+ab
lim,lim
xy
==ab
{}z
M > 0
zM
Ј
lim( )lim lim
zt zt
±= ±
lim( )lim lim
zt zt
Ч= Ч
tt
00
2.3. Предел и непрерывность функции
комплексного переменного
Пусть задана последовательность
комплексных чисел:
n
n12
Комплексное число а называется пределом последовательности
если для любого
с которого все элементы
можно указать такой номер
этой последовательности будут удовлет‑
n
ворять неравенству
при
.
0
Последовательность
z
za
n
, имеющая предел, называется сходящей-
n
ся последовательностью.
Обозначение:
Теорема. Последовательность
n
®Ґ
.
n
nn n
сходится к числу
тогда и только тогда, когда
Последовательность
такое число
n
n
®Ґ ®Ґ
называется ограниченной, если существует
n
, что для всех
n
z
выполняется неравенство
n
.
n
, начиная
0
,
n
Теорема. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Свойства сходящихся последовательностей комплексных чисел:
1)
2)
3)
nn
n
®Ґ ®Ґ ®Ґ
nn
n
®Ґ ®Ґ ®Ґ
z
n
lim
t
n
n
®Ґ
||
n
n
n
n
n
z
lim
n
®Ґ
=№№
t
lim
n
n
®Ґ
n
n
,,lim
n
;
n
n
;
n
n
n
®Ґ
.
.
14
2.3. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
wfz= ()
z
wfz= ()
z
e>0
d>0
zz№
||
-<
)|
-<
-<
de
{},zzz
z
wfz= ()
z
lim()
fz A®Ґ=
,)=+
=+
=+ О
()
=
vvxy= (,)
lim(,) ,lim (,)
uxyB vxyC
==
lim( () ())lim () lim()
cf zcfz cfzc fz
®®
±= ±
00
22
fz
®®
Ч= Ч
00
12
lim()
fz
=№
Пусть
за исключением, быть может, самой точки
Число А называется пределом функции
любого
определена и однозначна в окрестности точки
z
.
0
в точке
существует
, что для всех
, удовлетворяющих
0
, если для
0
неравенству
zz
d
,
0
выполняется неравенство
|(
fz A
e
.
Определение предела функции комплексного переменного с ис‑
пользованием математической символики будет иметь вид
"> $> "-<Ю
ed
Если для любой последовательности
ке
, соответствующая ей последовательность значений функции
0
{( )}fz
сходится к одному и тому же комплексному числу А, то число А
n
называется пределом функции
000zzzfzA:| ||() |
nn№0
в точке
.
0
.
, сходящейся к точ‑
Обозначение:
n
.
Теорема
Функция
fz uxyivxy() (,)(
ABiC BC
в точке
(, )
zxiy
00 0
имеет предел
,
0
тогда и только тогда, когда в точке
и
имеют соответственно пределы
xx
®
0
yy
®
0
Свойства пределов функций комплексного переменного:
1)
2)
3)
11 22 11
zz zz zz
lim( () ())lim ()lim()
fz fz fz
12
zz zz zz
fz
()
1
lim
zz
®
0
fz
()
2
1
zz
®
0
lim()
fz
2
zz
®
0
,lim ()
zz
®
fz
2
0
®
15
0
xx
®
yy
®
0
.
uuxy
xy
функции
00
0
0
®
0
.
;
(,)
;
2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
fz()
z
lim()()
fz fz
=
fz()
z
lim()
fz®=00D
fz()
fz gz()/()
gz()№ 0
fz()
z
F ()t
t
00
= fz()
Ffz(())
zz
00
-+
()
zz®
zM<<
||
=>
2
M
||
-<
M
22
2
-<
e
ee
zz
z
z
Функция
называется непрерывной в точке
, если она опре‑
0
делена в этой точке и в некоторой ее окрестности и
Функция
zz
®
0
называется непрерывной в точке
.
0
, если бесконеч‑
0
но малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое
приращение функции
Функция
z
непрерывна в области D, если она непрерывна в каж‑
.
дой точке этой области.
Сумма, разность и произведение двух функций комплексного пе‑
ременного, непрерывных в области D, также являются непрерывны‑
ми функциями в этой области.
Функция
которых
.
Если функция
рывна в точке
в точке
z
.
0
Пример. Доказать, что функция
непрерывна только в тех точках области D, для
непрерывна в точке
, то сложная функция
fz z()=
, а функция
0
непре‑
непрерывна
2
является непрерывной при
любом значении z.
Доказательство. Зафиксируем
202
zz zz
-=
z
. Рассмотрим разность
0
()
.
Пусть
котором выполняются неравенства
Пусть
Таким образом,
в точке
fz z()=
. Тогда существует такое положительное число М, при
0
|| ,| |zM
202
||||||||(| || |)
zz zz zz zz zz Mz z
e
d
|| ,| |zz MM
. Точка
0
2
непрерывна в любой точке.
0000 0
e
0
,( )
2
. Из неравенства
-< ==
22
0
lim
zz
®
0
была выбрана произвольно, поэтому функция
0
d
202
=
, то есть функция
0
zz
0
zz
, следовательно,
2-=-Ч+<-Ч+< -
d
следует, что
2
0
fz z()=
16
.
.
2
непрерывна
2.4. Основные элементарные функции комплексного переменного
=+
n)
zz
12
ee e
zz
12
: =
=О
ez№ 0
x
x
ee
®-Ґ®+Ґ
==
2pi
ee
xy==
j
ei
jj
ss
wz= Ln
z = 0
Ln Ln Ln()zz zz
12
=+
zz
12
=-
2.4. Основные элементарные функции
комплексного переменного
Показательная функция
Показательная функция определяется следующим соотношением:
zxiy x
we ee yi y
==
Свойства показательной функции:
zz
12
ee e
1)
zz
12
2)
zn nz
() ,een
3)
+
=
;
-
;
;
+
(cos si
4)
5)
;
z
lim,lim
z
Ґ0
;
6) показательная функция — периодическая функция с мнимым
основным периодом
Если
0,
, то получаем классическую формулу Эйлера:
:
ij
zi z+=2p
=+co
.
in
.
Логарифмическая функция
Логарифмическая функция — это функция, обратная показатель‑
ной функции
.
Свойства логарифмической функции:
1) логарифмическая функция определена на всей плоскости z, кро‑
ме точки
2)
Ln Ln Ln
3)
Ln Lnznz
4)
z
z
n
12
1
2
=
;
;
;
;
17
2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
n
Lnzw=
wuvi=+
Lnre uvi
=+
ere
ii
=
ee
ii
==
jj
urvkk==+=±±ln ,,,, , ...jp2012
wzuvir ki k==+= ++ =±Ln ln (),,, ...jp201
iz=+
Argzzkk=+ =±arg,,,...201p
Lnz
k = 0
=+ -< Јpp
=+ =±
20
p
1121)ln( ); )Ln( )--
z =-1
arg( )-1
=-=11p
ln()ln-= +=11ppii
Ln() (),,,,...-= +=+=±±1221 012pp pikik ik
wz
nО
in
n)jj
=О
()
1
n
5)
Ln Lnz
=
z
.
Логарифмическая функция — многозначная функция, так как
uvii uv
ee re er
zrei=j,
,
ij
uv
+
=Ю
,
f
,
,
Итак,
Ln Argzz
Главным значением
ется при
ln
,
называется то значение, которое получа‑
:
ln ln arg, argzziz z
Таким образом,
Lnzzkik
ln ,,,...
Пример. Вычислить:
Решение. Найдем модуль комплексного числа
,
,
.
1
.
и
:
1)
|| ,arg()z
.
2)
Степенная функция
Степенная функция — это функция вида
Если
Если
, то
nn
wz rn
== +(cos si
1
n
q
, то
q
=
18
.
n
.
.
2.4. Основные элементарные функции комплексного переменного
kq
О-
21
ni=+ab
ez
,0
=О
22pp
za
ei
jj
ss
iy
i
ee
--
22
sin,cos, ,zzzztg ctg
s,
i
--
22
==
wzr
Если
Если
q
q
==
p
n
pq
(, )
ж
jp jp22
cossin ,,,,...,
з
и
k
+
i
+
q
, то
nnLnz
wz
== №
, то
ц
k
+
q
01
ч
ш
.
q
ж
з
cos
pzk
p
q
wz
=
и
+
(arg )
q
+
pzk
i
sin
+
(arg )
q
Дробно-рациональная функция
Дробно‑рациональная функция — это функция вида
nn
az az a
01
w
=
nn
bz bz b
01
-
+++
+++
1
...
-
1
...
n
.
n
В частности, рациональной функцией является многочлен
waza
nn
=+ ++
01
-
1
...
.
n
Тригонометрические функции
Из формулы Эйлера
=+co
in
для действительных y полу‑
ij
чаем
iy iy
eyiyey
=+ =-
cossin ,cos sin.
-
.
ц
.
ч
ш
Откуда
Тригонометрические функции
плексного числа z определяются по следующим формулам:
Данные функции сохраняют свойства тригонометрических функ‑
ций действительного переменного, например,
sin,cosy
sin,co
ee
=
z
=
tg ctgz
iy iy iy iy
-
iz iz iz iz
ee
-
sin
z
,
cos
z
y
z
z
=
ee
+
=
cos
z
sin
z
+
.
19
.
для любого ком‑
2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
22
zz+=
sinsin cos22zzz=
sin,coszz
s.
zz
zz
Ґ®
=Ґ =Ґ
zz
--
22
,,
==,.
n,
s,
zi
=-
zi
=-
n,
cosi
s,
22
wzwzwzwz== ==ArcArc ArctgArcctgsin, cos, ,
sin,cos, ,wwwwtg ctg
+-
Функции
sincos
в комплексной области являются неограни‑
1
,
и т. п.
ченными:
limsin ,lim co
Im Im
®±
±Ґ
Гиперболические функции
Гиперболические функции определяются равенствами:
zz
ee
=
th
-
sh
z
ch
ch
z
z
sh chz
z
=
z
ee
+
ch
z
sh
z
Тригонометрические и гиперболические функции связаны между
собой следующими соотношениями:
si
ziiz
sh
sh
ziiz
si
co
ziiz
=-
tg th
z
=
ch
ch
,
th tg
=
cos,
ziiz
=-
z
,
ctgcth
Пример. Вычислить
zi iz
=
,
cthctg
zi iz
=
.
Решение:
ii ii
--
ee ee
co
+
i
=
1
+
=
=»
Обратные тригонометрические функции
Обратные тригонометрические функции
определяются как функции, обратные соответственно к функциям
Обратные тригонометрические функции являются многозначны‑
ми и находятся через логарифмические функции:
ArcLnsin( );ziiz z=- +-1
2
ArcLncos( );zizz=-
20
1154
ch
.
.
.
2
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]