Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебное пособие-1
.pdf
Вариант 18
n;
()
zzzi
===012,, .
zi
()
()
()
ze
()
10. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного
по данной кривой:
ABC
si
т
5
zzdz
+
ABC — ломаная,
ABC
11. Вычислить, используя основную теорему о вычетах,
2
где
L
— окружность
z=3
zdz
т
L
,
2-
.
12. Вычислить, используя основную теорему о вычетах,
L
где
— окружность
13. Вычислить интеграл
14. Вычислить интеграл
dz
т
zz z
-
124
()
L
=+12
()
it
.
p
2
т
0
+
+Ґ
x
42
т
xx
++
-Ґ
-
dt
cos
2
2
+
712
,
-
.
2
t32
dx
.
121
8. РАСЧЕТНАЯ РАБОТА ПО КУРСУ «ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО»
-<
і+
()
pp
4
4
e
22
Wz
21
fz
()
yx
34-+
21
()
()
zi
()
z05= .
z = 0
s.
Вариант 19
1. Показать на комплексной плоскости множества, заданные сле‑
дующими неравенствами:
zi
arg,argzzi
1
,
-
Ј
1
.
2. Определить действительную и мнимую части комплексного числа
i3+
.
3. Решить уравнение
63
zz
0++=
.
4. По условиям Даламбера — Эйлера доказать аналитичность функ‑
ции и найти ее производную:
2
5. Найти аналитическую функцию
z=-+
.
, мнимая часть которой
равна
если
xx
f
2
=
.
y
,
32
6. Вычислить сумму ряда
1
n
Ґ
й
1
к
е
n
1
=
in+
n
5
к
л
()
1
-
12
-
-
щ
ъ
.
1
n
-
!
ъ
ы
7. Найти радиус круга сходимости и построить круг сходимости
ряда
8. Функцию
ки
9. Определить тип особой точки
Ґ
z
cos
n
е
n
21
+
n
1
=
z
разложить в ряд Лорана в окрестности точ‑
z
- 5
34
-+
n
.
2
для функции
122
zzco
3
Вариант 19
zz i
==+01,.
и
ш
()
()
19
()
+=
()
()
10. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного
.
2
zzdz
по данной кривой:
т
ABC
Im ;
AB — отрезок прямой,
AB
11. Вычислить, используя основную теорему о вычетах,
где
L
— окружность
z=1
т
L
.
sin z
ж
zz
з
dz
,
p
ц
-
ч
6
12. Вычислить, используя основную теорему о вычетах,
z
+
где
L
— астроида
xy
13. Вычислить интеграл
14. Вычислить интеграл
т
zz z
()
L
23232
2
p
2
т
0
+Ґ
т
-Ґ
5
22
+
3
.
+
2
xx
10 29-+
dt
dx
-
cos
dz
t73
,
.
2
.
2
123
8. РАСЧЕТНАЯ РАБОТА ПО КУРСУ «ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО»
zi--і21
03<ЈIm z
13Ј<Re z
()
()
Wz
()
21
fz
()
yx
34-+
21
()
=
21
()
ni
()
z04= .
Вариант 20
1. Показать на комплексной плоскости множества, заданные сле‑
дующими неравенствами:
2. Определить действительную и мнимую части комплексного числа
3. Вычислить
,
5
1
+
i
.
3
-
1
i
,
.
14+i
.
4. По условиям Даламбера — Эйлера доказать аналитичность функ‑
ции и найти ее производную:
2
5. Найти аналитическую функцию
iz=-+
+
.
, действительная часть ко‑
торой равна
если
xx
f
2
.
y
,
32
6. Установить сходимость ряда и найти его сумму:
Ґ
й
1
к
е
nn
()
к
n
1
=
л
i
+
1
+
n
1
-
()
n
1
-
n
-
щ
ъ
.
!
ъ
ы
7. Найти и построить круг сходимости ряда
n
z
32
-
.
n
8. Функцию
Ґ
е
1
=
n
z
z -4
ze
разложить в ряд Лорана в окрестности точки
9. Определить тип особой точки
124
z=0
для функции
z
cos
2
z
1
ch --
4
.
2
z
2
Вариант 20
zz
()
n;
zz=і
{}
10
e.
zz
()
11
23
()
-=11
()
51
+=
()
()
10. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного
по данной кривой:
3
+
т
L
dz
si
L:
,R
11. Вычислить, используя основную теорему о вычетах,
где
L
— окружность
т
L
z
dz
-
()
5,
+
.
,
12. Вычислить, используя основную теорему о вычетах,
2
+Ґ
-Ґ
p
т
0
т
coszdz
z
L
00
2
x
.
+
x
+тp
dt
cos
2
11+
,
.
2
t7
dx
.
2
где
L
— эллипс
22
42
xy
13. Вычислить интеграл
14. Вычислить интеграл
125
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Библиографический список
1. Краснов М. Л. Высшая математика : учебник. Т. 4 / М. Л. Крас‑
нов, А. И. Кисилев, Г. И. Макаренко [и др.]. Москва : Едиториал УРСС,
2005.
2. Краснов М. Л. Функции комплексного переменного: Задачи
и примеры с подробными решениями : учеб. пособие / М. Л. Крас‑
нов, А. И. Кисилев, Г. И. Макаренко. Изд. 3‑е, испр. Москва : Едито‑
риал УРСС, 2003.
3. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : в 2 ч.
Ч. 2 / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. Москва : Высшая
школа, 1999.
4. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике.
Ч. 2 / Д. Т. Письменный. Москва : Рольф, 2000.
5. Сборник задач по математике для втузов : в 4 ч. Ч. 3 / под ред.
А. В. Ефимова, А. Ф. Каракулина, В. В. Лесина [и др.]. Москва : Изда‑
тельство физико‑математической литературы, 2007.
6. Гусак А. А. Теория функций комплексной переменной и опера‑
ционное исчисление / А. А. Гусак, Е. А. Бричикова Е. А., Г. М. Гусак.
Минск : ТетраСистемс, 2002.
7. Чудесенко В. Ф. Сборник заданий по специальным курсам выс‑
шей математики (типовые расчеты) : учеб. пособие / В. Ф. Чудесенко.
Изд. 2‑е, перераб. Москва : Высш. шк., 1999.
126
Вариант 20
Оглавление
1. Комплексные числа.......................................................................... 3
1.1. Основные понятия. Формы записи комплексных чисел ........ 3
1.2. Действия над комплексными числами ..................................... 7
Задачи для самостоятельного решения ......................................... 10
2. Функции комплексного переменного .......................................... 11
2.1. Множества на комплексной плоскости ................................. 11
2.2. Понятие функции комплексной переменной ....................... 13
2.3. Предел и непрерывность функции
комплексного переменного ........................................................... 14
2.4. Основные элементарные функции
комплексного переменного ........................................................... 17
2.5. Дифференцирование функций
комплексного переменного. Условия Эйлера — Даламбера
(Коши — Римана) .......................................................................... 21
Задачи для самостоятельного решения ......................................... 28
3. Интегрирование функций комплексного переменного .............. 29
3.1. Свойства и правила вычисления интегралов ......................... 29
3.2. Интегральная формула Коши ................................................. 32
Задачи для самостоятельного решения ......................................... 36
4. Ряды в комплексной области ......................................................... 37
4.1. Числовые ряды ........................................................................ 37
4.2. Степенные ряды ...................................................................... 38
4.3. Ряд Тейлора ............................................................................. 40
4.4. Ряд Лорана ............................................................................... 42
4.5. Классификация особых точек ............................................... 45
Задачи для самостоятельного решения ......................................... 48
5. Вычеты функций ............................................................................ 49
5.1. Понятие вычета. Основная теорема о вычетах ...................... 49
127
ОГЛАВЛЕНИЕ
5.2. Вычисление вычетов. Применение вычетов
к вычислению интегралов ............................................................. 55
Задачи для самостоятельного решения ......................................... 60
6. Конформные отображения ........................................................... 61
6.1. Геометрический смысл модуля
и аргумента производной .............................................................. 61
6.2. Понятие конформного отображения ..................................... 62
6.3. Общие теоремы теории конформных отображений .............. 63
6.4. Конформные отображения, осуществляемые
основными элементарными функциями ...................................... 70
Задачи для самостоятельного решения ......................................... 74
7. Решение типового варианта
расчетной работы ............................................................................... 75
8. Расчетная работа по курсу
«Функции комплексного переменного» ........................................... 86
Библиографический список .............................................................126
128
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]