Теория функций комплексного переменного. Учебное пособие-1

3.1. Свойства и правила вычисления интегралов

т

==+01,.

23

+-

()

ГГ Г

33

()

23

-=

01

()

zz

ze

0

zz

2i.

Пример. Вычислить интеграл

3

zdz

Г — дуга параболы с концами в точках

,

Г

АВ i

Решение

Выделим действительную и мнимую части в подынтегральной функ‑

ции:

3332 23 32

zxyi xxyi xy yi xxyixy y

() ()

33 33=+ =+ --=-

Используем формулу (3.2):

332232332

zdzxxy dx xy ydyi xy ydxx xy d

тт т

===

=- --+-+-()()()

yt

й к

2622 4

xt

к к

01

ЈЈ

t

л

1

=-++ -=-+

()()29 75

тт

0

33

щ

1

ъ

=-Ч--+

ъ ъ

ы

753

tttdti ttdt

3233()()( ttt ttdt tttdt

ttttdt tt tdti

т

0

1

64

0

3

864

ж

ttt

з

4324

и

1

43

-+

т

0

+Ч

0

i 0

622

=- .

)( )

1

ц ч

ш

.

yy =

Пример. Вычислить интеграл

2

zzzdz

Решение. Пусть

+

т

Г

, где Г — дуга окружности

i=j

, тогда

Имеем

p

jj

() ()()zzzdziee dieedee

+= += +=+

тт т

Г

ii ii ii2203

1

Пример. Вычислить интеграл

по произвольной линии, соединяющей точки 0 и

Решение

Подынтегральная функция аналитична во всей комплексной пло‑ скости, поэтому можно использовать формулу Ньютона — Лейбни‑ ца (3.4):

|| (arg )

=Ј Ј10 p

p

0

i=j

j

.

jj

dz

1

ж з

3

ии

3

ч ш

ц

jj

p

=-

dz ie d

jj

()cos

+т5

Г

31

.

8

.

3

3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

-=

220

=-++-() .25 221i sh ch

fz()

ў

fz()

-=

+=

ў

fz()

uz dv zdz

=+ =

()cos

zzdz

+=

=+ -=++

()sinsin ()sincos coszz zdzi ii

525

5

т

Г

i

2

i

2 0

т

0

й к

du dz vz

л

5

==

cos

sin

щ

=

ъ ы

3.2. Интегральная формула Коши

Теорема Коши

Если функция

грал от этой функции по любому замкнутому контуру Г, лежащему в этой области D, равен нулю, т. е.

Доказательство

Пусть Г — кусочно‑гладкий контур и

аналитична в односвязной области D, то инте‑

fzdz

() =т0



Г

.

непрерывна.

Покажем, что

Обозначим внутренность контура Г через D. Так как рывна всюду в области D, то функции имеют непрерывные частные производные первого порядка. Приме‑ ним формулу Грина:

По условиям Коши — Римана подынтегральные выражения в каж‑ дом из двойных интегралов тождественно равны нулю.

Теорема доказана.

udxvdy

т

Г

0

и

vdxudy

т

Г

uxyvxy(,), (,)

ж

vxu

¶

udxvdy

-=-

ттт

ГD

vdxudy

+=

ттт

ГD

з и

ж з

и

32

¶

uxv

¶ ¶

¶

-

y

¶

-

y

¶

ц

dxdy

ч ш

ц

dxdy

ч ш

0

.

непре‑

в этой области

,

.

3.2. Интегральная формула Коши

fz()

1

ГГ

11

Г

ГГ Г

,,...,

Г

ГГ

11

,...,

fz()

Г

ГГ Г

,,...,

ГГ

тт

11

fz()

zz

Теорема. Пусть

рывна в замкнутой области D. Тогда интеграл от функции

аналитична в односвязной области D и непре‑

, взя‑

тый вдоль границы ¶D этой области, равен нулю:

fzdz

т

D

¶

() .=

0

Пусть на комплексной плоскости задано n замкнутых кусочно‑глад‑

ких контуров

,,...,

, таких, что каждый из контуров

n01

-

,...,

n

-

ГГ Г

лежит во внешности остальных и все они располагаются во внутрен‑ ности контура контур, который состоит из кривых

. Полная граница Г области D представляет собой

0

.

n01 1

-

Положительным направлением обхода границы многосвязной об‑ ласти будем считать такое направление движения, при котором об‑ ласть D остается слева. Внешний контур вой стрелки, а

Теорема. Пусть

— по часовой стрелке.

n

-

аналитична в многосвязной области D и непре‑

обходится против часо‑

0

рывна в замкнутой области D. Тогда

fzdz

где Г — полная граница области D, состоящая из контуров

() ,=т0

(3.5)

n01 1

-

и проходящая в положительном направлении.

Замечание

Равенство (3.5) можно записать в виде

ница этой области. Тогда имеет место формула

которая называется интегральной формулой Коши. Интегрирование по контуру L производится в направлении против часовой стрелки.

(l не пересекает L).

fzdz fzdz fzdz

() () ... ()=++

т

Г

0

Теорема

Пусть

аналитична в замкнутой односвязной области. L — гра‑

1

fzdz

fz

()

0

=

2

()

т

p

i

L

Доказательство

Пусть окружность l с центром в точке

33

.

n

-

,

-

0

z

лежит внутри области L

0

3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

D

zz

()

zz

Ll

тт

00



00

pp

Ll

тт



+-

тт

fz fz fz

fz

ll

() () ()

()



--

fz

()

fz fz

() ()

-

pp

Ll

-

тт



fz()

zD

О

"> $> -ЈЮ- <ee

00

:(

-=

Ј=

pe

-=

Получим двусвязную область

в которой

fz

аналитична. Тогда

-

0

zz

1

=

2

pppi

00

-

zz

0

fzdz

2

i

Учтем, что

получим

1

fz i

1

2

i

2

p

fzdz

zz

()

-

0

, ограниченную контурами L и l,

1

fz

() ()

dz

-

() ()

-

zz i

1

=

dz

2

dz

т



zz

-

l

2

p

2

-=

()

fz

0

=

i

1

pi

=

2

fz

=

0

т



i

2

1

l

fzdz

-

()

0

i

2p

1

i

fzdz

zz

zz i

,

zz

-

() ()

fz fz

.

-

dz

-

0

zz

-

=

1

+

т

2

0

dz

,+

0

l

dz

zz

.

0

dz

-

0

.

Оценим разность в левой части. Так как аналитичная функция

непрерывна в точке

00

, то

0

rzzr fz fz

)()

.

Применим свойство об оценке модуля:

1

2

-

() ()

fz fz

1

=

тт



2

ppp

i

zz

ll

0

-

0

pi

dz

fzdz

т



L

Ј

()

-

zz

0

1

2

()

fz

0

-

() ()

fz fz

-

zz

0

1

0

dz

e

2

r

2

r

.

Так как e может быть выбрано сколь угодно малым, а левая часть последнего неравенства не зависит от e, то она равна нулю. Таким образом,

1

2

pi

fzdz

т



L

()

-

zz

()

fz

0

34

0

.

3.2. Интегральная формула Коши

()

fz()

()

fz

()

p

ў

()

fz()

+-

||

+=

zi

=-

Итак,

fz

т

zz

-

L

()

if z

=

2p

0

.

0

Теорема доказана.

Замечание

Интегральная формула Коши справедлива для многосвязной об‑

ласти.

Следствия

1. Если

дифференцируема в точке

z

, то

0

n

()

fz

()

0

!()

=

2

p

i

т



L

zz

или

2. Если существует

()

n

т



zz

() !

L

fz

+

-

0

, то в окрестности точки

0

2

dz

=

1

n

fz

быть представлена сходящимся рядом:

ўў

fz

()

0

zz

fz fz fz zz

() () ()()

=+ў-+

000

()...

z

!

Данный ряд — ряд Тейлора. Пример. Вычислить интеграл

dz

т

L

,

где L — окружность

2

z

1+

Решение

Рассмотрим подынтегральную функцию:

11 1

()()

zizi zi

-+=+

(),()

fz fz

fz

-

i

-+

0

()

n

dz

n

+

1

.

0

2

zi

=

n

()

fz

()

n

!

1

.

-

z

0

z

(

zz

0

может

n

) ...+

fz

()=

Тогда

1

— функция аналитична и

-

fz

()

dz if ii

т

zi

+

L

() .

=-=

22

ppp

0

-

принадлежит кругу.

1

=-

i

2

35

3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

L

()

=

zi

=+

z

yx

z

bi

3

z12=

z

2=-

-16

zz

тт

()

e

);

bi).

+

zz

==

ci

()

22

Задачи для самостоятельного решения

zidz

+

1. Вычислить интеграл

2

т

от точки

z10

до

1

2

, где

а) L — отрезок прямой, соединяющий точки

2

z=2

=

, соединяющая точки

7

.

zzdz

,

т

L

где L — верхняя половина окружности,

от

до

2

б) L — дуга параболы

ai

Ответ:

);)-+ -+12 1

2. Вычислить интеграл

Ответ:

.

3. Вычислить интеграл:

2

+

i

2

32

1

-

i

+

Ответ:

i

az zdzb

)sin ;)

0

i

a

-

819

4. Вычислить интеграл:

z

a

cos

)

ттт



zz

1

zz z

=-

dz b

2

;)

222---

21

z

cos

dz c

2

zz

;)

dz

и

1

;

2

и

1

.

2

.

z

cos

dz

..

2

3

aibi

Ответ:

);)cos ;) cos-Ч-

36

Чpp p

1

.

4. Ряды в комплексной области

zz

Ґ

=

zxiy=+

Ґ

+О

,.

Sz

nk

==

ее

11

xS

yS

SS iS=+

12

rz z

=++

12

...

lim.

z®Ґ= 0

Ряд

zii(,,...)

где

12

— комплексные числа, называется числовым рядом

(комплексной области).

Пусть

zxyxiy xiyxy

n

=

k

=е1

=+=+++

ее

n

=

11

— n‑я частичная сумма ряда.

е

nn=

, тогда

() ...,

nnn

=

4.1. Числовые ряды

zz

=+++ +

n

1

12

... ...,

1122

4.1. Числовые ряды

(4.1)



Если существует конечный предел S последовательности частичных

сумм Sn ряда, то ряд (4.1) называется сходящимся, а S — суммой ряда.

Если предел не существует, то ряд (4.1) называется расходящимся.

Ряд (4.1) сходится тогда и только тогда, когда сходится каждый из рядов

nn n

Теорема (необходимый признак сходимости ряда) Если ряд (4.1) сходится, то его общий член zn при n, стремящемся

к бесконечности, стремится к нулю:

SS xi y

== +

limlim lim

n

++

— остаток ряда.

n

®Ґ ®Ґ ®Ґ

Ґ

е

k =

т

=

k

1

и

k

е

k =

n

Ґ

=

k

1

,

n

37

n

.

k

.

2

4. РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ

Ґ

()31

=<

fz

kk

()

fzk()

Ю<ee

fz

nk

()

e>0

NN= ()e

nNі

Ряд (4.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

zzz

е

n=

1

=++

n

12

...

При исследовании на сходимость рядов с комплексными членами используют признаки сходимости знакопостоянных рядов из действи‑ тельного анализа.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Ґ

е

n

ni

1-=

n

.

n

6

Решение. Используем признак Даламбера:

nn

+

c

1

n

+

limlim

n

®Ґ

=

c

n

ni

13 16

()()

+--

nn

+

n

®Ґ

1

ni

631

1

()

-

=

lim

n

®Ґ

i

3

11

-

6

10 6

1

,

значит, ряд сходится.

4.2. Степенные ряды

Функциональный ряд — это ряд вида

Ґ

fz fz fz

где функции

() () ... () ...

12

е

k

=

определены на некотором множестве комплекс‑

ной плоскости.

Ряд (4.2) называется сходящимся в точке z заданного множества, если

"> $і

0 Nn NRz

:|()|

n

Rz

,

()

Функциональный ряд (4.2) называется равномерно сходящимся на некотором множестве D, если выполняются следующие условия:

1) ряд сходится в каждой точке множества D;

2) для любого

и такой, что для всех

найдется номер

и для всех z из D остатки этого ряда удов‑

летворяют неравенству

Ґ

fz

()

е

kn

=+

<1e

k

.

,++++=

(4.2)

1

Ґ

.=

е

kn

=+

1

, не зависящий от z

38

4.2. Степенные ряды

||

nn

=-

Ґ

()

с

z

()

zz

10

№ .

rR-Ј0<

z

zz--

>

-0<

-0>

R > 0,

-0<

>>,,

Теорема (признак равномерной сходимости Вейерштрасса) Пусть на множестве D ряд (4.2) мажорируется абсолютно сходя‑

щимся числовым рядом,

|()|

.fz a

Ј

Тогда ряд (4.2) сходится на D аб‑

солютно и равномерно.

Степенным рядом называют ряд вида

ссzz сz zсzz

+-+-

() ()

01 00 0

n

е

n

=

n

0

n

,

(4.3)

где z — независимая комплексная переменная, коэффициенты заданные комплексные числа,

— фиксировано.

0

Теорема Абеля. Пусть степенной ряд

сходится в некоторой точке

Ґ

сz z

е

0

=

n

-

0

Тогда этот ряд:

1) абсолютно сходится в круге

zz zz R--=

< ;

010

2) равномерно сходится в круге

zz

.

Свойства степенных рядов

1. Пусть степенной ряд (4.3) расходится точке

. Тогда данный ряд

1

расходится в каждой точке, удовлетворяющей неравенству

zz

010

.

2. Для любого степенного ряда (4.3) найдется такое число R, что

в круг

zz R

ряд (4.3) будет сходиться, а вне этого круга при

n

—

zz R

ляется круг

ходиться. Область

называется кругом сходимости степенного ряда (4.3); число R назы‑ вается радиусом сходимости ряда (4.3).

будет расходиться.

Если

то наибольшей областью сходимости данного ряда яв‑

zz R

В точках границы

.

zz R-0=

zz RR-

ряд (4.3) может как сходиться, так и рас‑

0

39

4. РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ

сn

=№

m.

1

и

ш

()

zi

||

2

||

-<

fz()

()

=-

Радиус сходимости степенного ряда можно вычислить по фор‑ мулам

с

R

n

lim, ,10

n

®Ґ

с

n

+

n

"

или

R

=®Ґli

n

с

n

Пример. Найти круг сходимости ряда

Ґ

е

n

ж з

з

1

=

n

ц

3

+

i

ч

3

n

-

.

Решение. Найдем радиус сходимости:

Итак,

c

n

limlim

n

®Ґ

3

=

n

с

n

.zi-<

®Ґ

1

+

ж з

з и

n

ц

i

3

+

Ч

ч

3

ш

1

n

+

3

()

+

1

n

+

i

===

343

R

.

2

4.3. Ряд Тейлора

n

0

zz R

n

,

0

dz n

(,,,...),

+

1

0

012

=

функция

z

, лежащая вну‑

0

мо‑

Теорема. Всякая аналитическая в круге жет быть единственным образом разложена в этом круге в степенной

ряд Тейлора

Ґ

fz cz z

()

е

n

0

=

коэффициенты которого определяются по формулам

n

()

fz

с

n

()

==

ni

!

1

0

2

p

fz

()

т



zz

()

-

l

где l — произвольная окружность с центром в точке три круга.

40