Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебное пособие-1
.pdf
6.1. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
wfz= ()
z
ў
№fz()
0
wfz= ()
z
wfz
00
= ()
zz z=+0D
z
z
ww w=+0D
w
D
===
D
D
=-||
z
zz
+D
||
ww
+D
ў
()
ww
+D
z
zz
+D
z
z
ў
()
z
wfz= ()
ў
>
ў
()
6. Конформные отображения
6.1. Геометрический смысл модуля
и аргумента производной
Пусть функция
Функция
отображает точку
является аналитичной в точке
плоскости z в точку
0
и
0
плоскости w.
Точка
из окрестности точки
перемещается к точке
0
по непрерывной кривой l. Тогда соответствующая точка
в плоскости w будет перемещаться к точке
по некоторой кри‑
0
вой L, которая является отображением кривой l в плоскости w.
По определению производной
ў
fz
zzz
Dwww=-
fz
0
0
— предел отношения бесконечно малого расстояния между
0
() limlim lim
0
— расстояние между точками
— расстояние между точками
отображенными точками
нию между точками
и
0
ў
fz
()lim
=
0
D
w
00 0DD D
®® ®
zz z
D
z
w
и
0
0
0
.
w
.
0D
®
z
D
z
D
w
D
z
w
.
D
z
и
0
w
и
0
;
0
0
.
к бесконечно малому расстоя‑
Предел не зависит от выбора кривой l, проходящей через точку
Следовательно, предел в точке
постоянен, то есть одинаков во всех
0
направлениях.
Геометрический смысл модуля производной: величина
деляет коэффициент растяжения (подобия) в точке
нии
Если
.
fz()01
, то
fz
0
называется коэффициентом растя-
fz
0
при отображе‑
0
жения.
0
0
опре‑
.
0
.
61
6. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
ў
<
ў
()
z
w
D
-=
21
aa
a
a
z
w
aa
=+ўarg()fz
arg()
ў
fz
z
w
ў
z
w
2
zi
42=-
2
zi
42=-
ў
=fz z()
2
zi
42=-
25
wfz= ()
z
Если
fz()01
Рассмотрим аргумент производной в точке
ў
arg()lim arglim(arg arg)limarg
где
==-=
fz
0
®® ®
zz z
00 0DD D
D
и
1
— углы, которые образуют касательные к кривым l и L со‑
2
ответственно в точках
, то
z
fz
0
и
0
называется коэффициентом сжатия.
:
0
wz w
DD D-
с положительными направлениями дей‑
0
limargDDzz
®
0
ствительных осей на плоскостях z и w.
21 0
Геометрический смысл аргумента производной:
на который надо повернуть касательную к кривой l в точке
чтобы получить направление касательной к кривой L в точке
arg()
гими словами,
fz
— это угол между отображенным и первона‑
0
чальным направлениями касательных к кривым l и L в точках
.
— это угол,
0
для того,
0
0
0
соответственно.
Пример. Найти коэффициент растяжения (сжатия) для функции
1
fz z()=
Решение. Функция
2
в точке
0
fz z()=
.
1
2
аналитична в точке
0
. Так как
-
. Дру‑
и
,
0
Коэффициент растяжения функции
равен
Отображение окрестности точки
ществляемое функцией
отображением, сохраняющим форму), если в точке
свойством сохранения углов между линиями и постоянством растя‑
жений.
, то
ў
==-= >fz zi()||||
00
42 25 1
fz z()=
(плоскость растягивается).
6.2. Понятие конформного отображения
z
на окрестность точки
0
, называется конформным (то есть
62
.
1
2
в точке
оно обладает
0
0
w
, осу‑
0
6.3. Общие теоремы теории конформных отображений
wfz= ()
l
l
L
L
k
k
l
l
z
K
K
L
L
w
j=F
z
w
wfz= ()
wfz= ()
wz=
wz=
wfz= ()
wfz= ()
wfz= ()
= ()
ў
№fz() 0
= ()
Конформное отображение обладает свойством консерватизма углов
и подобия в малом.
Свойство консерватизма углов и подобия в малом:
1) если при отображении
ветственно в кривые
к кривым
1
и
в точке
2
щими касательными
и
1
, то угол j между касательными
2
будет равен углу F между соответствую‑
0
1
и
к кривым
2
кривые
и
1
и
переходят соот‑
1
2
в точке
2
и
1
, то есть
0
;
2) если в плоскости комплексного переменного z возьмем беско‑
нечно малый круг с центром в точке
соответствовать бесконечно малый круг с центром в точке
, то в плоскости w ему будет
0
.
0
Конформное отображение называется конформным отображени-
ем первого рода, если при отображении
углы между соответ‑
ствующими направлениями равны не только по величине, но и по на‑
правлению отсчета.
Конформное отображение называется конформным отображени-
ем второго рода, если при отображении
углы сохраняются
только по абсолютной величине и изменяется направление их отсче‑
та на противоположное.
Например, отображение
бражение
— отображение второго рода.
— отображение первого рода; ото‑
Далее будем рассматривать конформные отображения первого рода.
Отображение
называется конформным в области D, если
оно конформно в каждой точке этой области.
Функция
называется однолистной в области D, если она
в различных точках области D принимает различные значения.
Критерий конформности. Для того чтобы отображение
было
конформным в области D, необходимо и достаточно, чтобы в этой об‑
ласти функция
wfz
была однолистной и аналитической, причем
для всех z из D.
2
6.3. Общие теоремы теории конформных отображений
Теорема Римана. Существует аналитическая функция
бражающая взаимно однозначно и конформно одну односвязную пло‑
скую область D на другую G, если только ни одна из этих областей
63
wfz
, ото‑
6. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
wfz= ()
z
jj((), arg())wfzfz
=
ў
=
z
z
w
w
((), ())wfzw fz
11
==
,,
www
,,
((), (),())wfzw fz wfz
33
===
z
z
z
w
w
w
= ()
wfz= ()
w
wfz= ()
= ()
wfz= ()
D
z
z
w
w
не совпадает со всей плоскостью с одной выключенной точкой или
всей расширенной плоскостью.
Существует бесконечное множество аналитических функций, осу‑
ществляющих отображение области D на область G. Единственность
отображающей функции
будет обеспечена, если выполняет‑
ся одно из условий:
1) заданная точка
сти G, а линия, выходящая из точки
00 0
2) точка
но в точку
области D и точка
0
области G и в точку
0
3) три граничные точки
точки
123
области G
если при движении по границе l от
z
области D перешла в заданную точку
0
, повернулась на данный угол
0
;
границы l перешли соответствен‑
1
границы L
1
zzz
123
области D перешли в три граничные
1122
к
1
через
3
00
2
ся слева (справа), то при движении по границе L от
область D остает‑
к
1
w
обла‑
0
, при этом
через
3
2
область G также должна оставаться слева (справа).
В случаях 2) и 3) предполагается, что функция
wfz
непрерыв‑
на в замкнутой области D.
Принцип взаимно однозначного соответствия границ. Пусть область D
ограничена гладким или кусочно‑гладким контуром l. Пусть функция
, аналитическая в D и на l, отображает контур l на некоторый
контур L, ограничивающий область G, причем когда точка z обходит
контур l так, что область D остается слева, соответствующая точка
обходит контур L так, что область G также остается слева. Тогда об‑
ласть D с помощью функции
отобразится взаимно однознач‑
но и конформно на область G.
Принцип симметрии. Пусть область D, содержащая в составе своей
границы некоторый прямолинейный отрезок l (конечный или беско‑
нечной длины), отображается функцией
wfz
на область G так, что
l переходит в прямолинейный отрезок L, входящий в границу обла‑
сти. Обозначим соответственно через g и Г прямые, на которых лежат
отрезки l и L. Принцип симметрии заключается в следующем: если
функция
аналитична в области D, а также во всех внутрен‑
них точках граничного отрезка l, то эта функция аналитична также
в области
тем свойством, что любые две точки
*
, симметричной с D относительно прямой g, и обладает
и
1
(из которых одна нахо‑
2
дится в области D), симметричные относительно g, отображаются
в точки
и
1
, симметричные относительно прямой Г.
2
;
64
6.3. Общие теоремы теории конформных отображений
yx
20
wz
=+
zxiy wuiv=+ =+,
wzixiy=+=+ +3331()
vy==+331,
-
3
3
()
-=31
22
,,
,.
=+ =Ј<
10
02
jjjp
jp
zDО
wzi=+3
z =1
wi=+3
zb=+
zb=+
()№
ў
=№wa0
=+
Пример. В области D, ограниченной контуром
i
дана функция
3
. В какую область перейдет D при отображе‑
нии, осуществляемом этой функцией?
Решение. Пусть
. Тогда
22
lx
:
+-=
, за‑
.
ux
.
Выразим x и y через u и v:
u
x
y
==
,
1
v
.
Контур l отображается в контур L:
22
uv u
ж
ц
з
ч
3
и
ш
Получили окружность радиуса 3 с центром в точке
1
-
ж
ц
+
з
3
и
-Ч =
ч
ш
2
0
3
или
()()uv-+
9
.
M (;)31
.
Положительное направление обхода контура l соответствует поло‑
жительному направлению обхода контура L. Проверим: зададим кон‑
туры параметрическими уравнениями:
lx y
:cos ,sin
Lu v
:cos ,sin
=+ =+Ј<
33 31
jj
2
Согласно принципу взаимно однозначного соответствия границ об‑
ласть D отобразится в область G — внутренность области, ограничен‑
ной окружностью L.
Можно проверить по‑другому: возьмем любую точку
дем ее образ при отображении
в точку
, которая находится внутри контура L.
и най‑
переходит
осуществляемые функцией
Линейная функция
комплексные числа, осуществляет конформное отображение всей
плоскости z на всю плоскость w, так как при любом z имеем
.
Рассмотрим частные случаи:
wzb
1)
2)
wez
осуществляет преобразование параллельного переноса;
i=a
, где a — действительное число, осуществляет преобра‑
зование поворота вокруг начала координат на угол a;
Конформные отображения,
wa
wa
, где
65
aa
0
и b — постоянные
6. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
wrz=
a
1
-
a = 1
=Ґ
ABC
4
==
22
ww
21
С(;)00
С111(; )
ww i=++21
ei
2
2
zi
()
3)
, подобия с центром подобия в начале координат, r — ко‑
эффициент подобия.
Общий случай линейного отображения
i
wazbare
=+ =,
a
осуществляется путем последовательного применения следующих дей‑
ствий:
1) поворот на угол a вокруг начала координат;
2) преобразование подобия с центром подобия в начале координат
и коэффициентом подобия, равным r;
3) параллельный перенос с помощью вектора, соответствующего
комплексному числу b.
Замечание
Линейное преобразование оставляет неподвижными точки
zz
=Ґ =
,
12
b
. При
получаем
z
, то есть в этом случае обе
2
неподвижные точки совпадают.
Пример. Найти линейную функцию, отображающую треугольник
с вершинами в точках 0, 1, i в плоскости z на подобный ему треуголь‑
ник с вершинами 1+i, 0, 2 в плоскости w.
Решение
Первый способ. Треугольник
ABC(; ), (;), (;)10 01 00
переходит в подобный ему треугольник
с вершинами в точках
ABC
111
с помощью следующих действий:
5
1) поворот вокруг начала координат на угол
5
i
p
преобразованию
wez
4
=
1
;
p
, что соответствует
2) преобразование подобия с центром в начале координат и коэф‑
фициентом
3) параллельный перенос, смещающий точку
:
Учтем, что
AB
ж
r
11
з
AB
и
ц
:
ч
ш
2=
.
5
i
p
4
wizi
=--
2
=- -
ж
з
з
и
2
. В итоге окончательно получим
2
2
ц
2
++=- +2
111()
ч
ч
2
ш
66
;
в точку
.
6.3. Общие теоремы теории конформных отображений
wazb=+
=
=
wi
1=+
w20=
ib
ab
bi=- -=+11,
=+ -
()
ў
M
OM OM RЧ
=
z = 0
w =Ґ
z =Ґ
w = 0
Второй способ. Функцию будем искать в виде
эффициенты aи b. По условию задачи точки
перейти соответственно в точки
10+=
Из системы имеем
ai
м
н
о
wiz
()
11
1
=+
и
,
.
. Окончательно получаем
.
z10
. Получим систему
. Найдем ко‑
z21
и
должны
Конформные отображения,
1
wz=
Точки Mи
осуществляемые функцией
называются симметричными относительно окруж‑
ности Г, если выполнены следующие условия:
1) точки находятся на одном луче, выходящем из центра окружности;
2) произведение их расстояний от центра окружности равно ква‑
2
драту радиуса окружности:
ў
.
Точки окружности Г симметричны сами по себе относительно этой
окружности.
Для центра О окружности Г симметричной точкой относительно Г
является бесконечно удаленная точка.
Если центр окружности Г находится в начале координат и одна
из симметричных относительно Г точек изображает комплексное чис‑
2
ло z, то другая соответствует комплексному числу
R
.
z
относительно единичной окружности и относительно действительной
оси и называется инверсией.
ной плоскости, причем точке
одной из плоскостей (z или w) равен углу между образами этих ли‑
ний в начале координат другой плоскости.
1
Преобразование
Преобразование
соответствует точка
wz=
состоит из двух симметричных отражений:
1
wz=
является конформным во всей расширен‑
соответствует точка
.
, а точке
Считают, что угол между линиями в бесконечно удаленной точке
67
6. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
zz
12
11=+ =-,
zxiy wuiv=+ =+,
xy
22
xy
22
+=
ii
==
jq
==
qj
r=3
02Ј<jp
we
3
3
Окружности, а также прямые при отображении
wz=
1
переходят
в окружности или прямые. Неподвижные точки:
Пример. Найти образ окружности
||z=3
при отображении
Решение. Первый способ. Пусть
перепишется в виде
uiv
Уравнение окружности
22
ся в виде
xy
9
.
+=+=
25 25 25
xiyxxy
x
25 25
u
=
22
xy
+
||z=3
-
22
+
v
=-
,
в декартовых координатах запишет‑
y
i
.
+
y
.
+
В итоге получим
2
25
ж
то есть окружность радиуса
22
+=
uv
25
R =
ц
з
и
,
ч
3
ш
с центром в начале координат в пло‑
3
скости w.
Второй способ. Запишем z и w в показательной форме:
.
25
wz=
.
. Соотношение
При отображении
где
с центром в начале координат, проходимая по часовой стрелке, когда
исходная окружность проходится против часовой стрелки.
Третий способ. Из равенства
ное выражение для z в уравнение окружности
свойство модуля. Получим
и
. Значит,
zewre
25
wz=
имеем
r
,
25
wz=
25
68
.
25
iiq
=
re
i=-
j
есть окружность радиуса
имеем
j
r
e
, откуда
25
zw=
||z=3
r
. Подставим дан‑
и используем
25
r
-
,
r =
25
,
6.3. Общие теоремы теории конформных отображений
+
ad bc-№0
w
w
wfz= ()
zzz
,,
www
,,
25
3w=
, или
25
3
=
,
||w
25
откуда
окружность
||wz=
.
Итак, образом окружности
25
||wz=
.
||z=3
при отображении
wz=
25
будет
Конформные отображения, осуществляемые
az b
w
abcd,,,
=
+
cz d
— комплексные
дробно-линейной функцией
Дробно‑линейная функция
постоянные и
az b
=
cz d
+
, где
+
w
, взаимно однозначно и конформно отобра‑
жает расширенную плоскость z на расширенную плоскость w. Дан‑
ное преобразование называется дробно-линейным.
Каждое дробно‑линейное преобразование может быть получено
с помощью последовательного применения линейных преобразова‑
1
ний и преобразований вида
wz=
.
Свойства дробно-линейного преобразования
1. Круговое свойство. Дробно‑линейное преобразование окружность
отображает в окружность (прямая линия считается окружностью бес‑
конечного радиуса).
z
2. Свойство симметрии. Две точки
тельно окружности С, отображаются в точки
z
и
1
, симметричные относи‑
2
и
1
, симметричные
2
относительно окружности Г, на которую отображается окружность С.
Следствие. Если при дробно‑линейном отображении
пря‑
мая или окружность С переходит в окружность Г и одна из двух то‑
чек, симметричных относительно С, переходит в центр окружности Г,
то другая точка необходимо переходит в бесконечно удаленную точку.
3. Существует единственная дробно‑линейная функция, которая
три заданные точки
точки
123
плоскости w. Она имеет вид
123
плоскости z переводит в три заданные
69
6. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
zz
zz
-
-
-
-
32
31
zzz
,,
www
,,
11===-
=- ==
w
z
i+
-
-
--
1010
11
11
iz
iz
-
=і,2
z = 0
z № 0
z = 0
ў
=w 0
p
n
j=0
n
)
n
n
kn
-
p
p
-
ww
32
1
Ч
ww
-
2
3112
zz
=
zz
123
Ч
-
или
-
.
123
является бес‑
ww
ww
Замечание. Если одна из точек
конечно удаленной, то надо заменить единицами все разности, содер‑
жащие эту точку.
Пример. Найти дробно‑линейную функцию, переводящую точки
zziz
,,
12 3
в точки
www
101
,,.
123
Решение. Составим соотношение
Тогда
wi
=
Ч
w
-
--
11
.
=
()
zi
-
Ч
--
.
+
6.4. Конформные отображения, осуществляемые
основными элементарными функциями
Рассмотрим степенную функцию
ное число.
Отображение, осуществляемое степенной функцией, является
конформным во всей плоскости, за исключением точки
, то
Угол
однозначно на всю плоскость z с разрезом по положительной части дей‑
ствительной оси, причем лучу
2
jp=
— нижний край разреза. Такое же отображение получим для каж‑
дого из углов, на которые плоскость z разбивают лучи
лое число), причем при отображении угла
Степенная функция w = z
-
n 1
ў
wnz
=
02<<j
; если
данной степенной функцией отображается взаимно
, то
n
n
wzn
— целое положитель‑
.
соответствует верхний, а лучу
2k
jp=
(k — це‑
n
21 2
()
70
k
<< =
k
j
(,,...,
. Если
12
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]