Теория функций комплексного переменного. Учебное пособие-1

2.5. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Эйлера — Даламбера (Коши — Римана)

zi

-

()

zi

()

Arcrg( )2i

zi= 2

pp

p

2

,,

wfz= ()

z

DD D

=+ -

DDwfzzfz=+--()()

00

wfz= ()

z

).

D

zz+D

fz()

=О

Dfz()

Dz № 0

D=+fz Cz z() ()

0DD

Пример. Вычислить

Решение:

ArcrgLnLnln()2

ArctgLnz

ArcctgLnz

iiz

=-

2

izi

=

2

iz

zi

.

подставим в указанную выше формулу, получим

iii

2

=+ +=±±

2

-

ж з

2213213

ii

+

и

i

ln

ii

ц

=- -

ч ш

3

ж з

и

p

kk

,,

№±

;

+

№±

.

+

ц ч

ш

012

ж

=- ++

з и

...

ц

2i

ik=-

pi

=

ч ш

2.5. Дифференцирование функций комплексного переменного.

Условия Эйлера — Даламбера (Коши — Римана)

Пусть функция

мой точке.

zxiy

приращение независимой переменной.

Производной функции

шения приращения функции Dw к приращению аргумента Dz при стремлении последнего к нулю (произвольным способом):

определена в окрестности точки

приращение функции.

в точке

называется предел отно‑

0

и в са‑

0

Функция, имеющая производную при данном значении z, называ‑

ется дифференцируемой (моногенной) при этом значении z.

Замечание

Точка

Функция комплексного переменного сти D, называется дифференцируемой в точке ет конечное число С, такое, что приращение функции в этой точке

, соответствующее

0

w

ў

lim(

D

z

®

0

fz

=

z

D

dw

=

0

dz

может приближаться к z по любому направлению.

, определенная в обла‑

zz D

, если существу‑

0

может быть представлено в виде

, (2.1)

0

21

2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

0( )Dz

D

ў

fz()

ў

()

wfz= ()

fz fz

12

(),()

ff

12

ff

12

и

ш

,;

fz fz

(()) () (),jjj

ў=ў

Ч

ў

j()z

fw()

wz=j()

ў

fz()

= ()

()

ў

()

wfzuxy iv xy== +() (,)(,)

=+

fz()

где

Существование производной Таким образом,

да, когда существует

удовлетворяет условию

0

lim

D

z

®=0

дифференцируема в точке z0 тогда и только тог‑

fz

.

0

z

()

D

0

.

z

и равенство (2.1) эквивалентны.

0

Замечание

Из дифференцируемости функции в точке следует непрерывность

функции в этой точке. Обратное утверждение не верно.

Функция комплексного переменного

, определенная в об‑ ласти D, называется дифференцируемой в области D, если она диффе‑ ренцируема в каждой точке этой области.

Правила дифференцирования

Пусть

дифференцируемы в точке z, тогда имеют место

следующие соотношения:

ff

1)

()

ff ff

2)

()

ў

±

12

Ч

12 12

=ў±ў;

ў

=ўЧ+Чў;

ў

3)

ж

f

1

з

f

2

ў

ц

ff ff

Ч-Ч

12 12

=

ч

4) дифференцируема в точке z,

;

5) пусть

ет функция f‑1(w), дифференцируемая в точке

-

fw

№10() ,

тогда

f –1(w) — функция, обратная функции f (z).

Теорема

Пусть функция комплексного переменного определена в некоторой окрестности точки бы

была дифференцируемой в точке z, необходимо и достаточ‑

ў

f

0

№

2

f

2

j

z

2

дифференцируема в точке

дифференцируема в некоторой точке z и существу‑

ў

fz

()

=

fw

22

1

-

1

()

,

ў

zxiy

wfz

. Для того, что‑

,

причем

2.5. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Эйлера — Даламбера (Коши — Римана)

uxy(, )

vxy(,)

,.

fz()

D

zxiy=+ ® 0

zzz+®D

DD Dzx y=® =00,

(( ;) (;)) ((,) (,))

+++- +

DD

+-

D

x

¶

D

x

zzz+®D

DD Dzy x=® =00,

,,

()

()+()

()

,,

00

®®

D

u

iv

00

D

¶

¶¶¶

¶

,.

но, чтобы функции

(,)xy

ке

и чтобы в этой точке выполнялись равенства

и

¶

¶¶¶

uxvyu

=

¶

были дифференцируемыми в точ‑

¶

v

=-

¶

y

¶

x

Данные равенства называются условиями Даламбера — Эйлера (или

Коши — Римана).

Доказательство. Необходимость.

w

Пусть

дифференцируема в точке z, тогда предел

ствует и не зависит от пути, по которому

lOx||

по

, то есть

ux xy iv xxyuxy iv xy

D

x

+

D

u

=+ =

по

x

limlim .

®®

DD

x

00

lOy||

i

, то есть

v

x

Пусть

fz

Пусть

'( )lim

=

x

®D

(( ;) (,)((;)(,))

=

lim

®

D

x

0

ux xy uxyxivxxyvxy

D

u

¶

v

+

i

lim

D

z

®0

.

, тогда

=

, тогда

z

D

=

суще‑

++

fz

'( )lim

=

y

®D

0

uxyyuxy

=

lim

®®

DD

yy

+

,,

=- +=-

i

uxyyiv xy yuxy iv xy

limlim .

®®

y

DD

,,

+

-

D

+

D

iy

=+ =

u

y

00

D

y

limlim

DD

y

D

iy

v

y

D

y

Сравним:

u

v

+

i

¶

x

получим, что

uxvyu

=

¶

-

D

iy

ivxy yvxy

D

-

lim

D

iy

y

D

iy

¶

vyvyu

=

¶

i,

=

23

¶

y

u

i

¶

y

vyu

¶

=-

+

y

v

¶

x

=

¶

-

i

¶

y

2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

fz()

(,)xy

¶

aa

12

,

()

=+

22

()

()+()

()

,,

DD DD

¶

u

v

aa

12

¶

DD

aa

12

¶

¶¶¶

¶

,,

¶

+=

¶

u

v

aa

33

a

||

Достаточность. Пусть полученные выше условия выполняются. Докажем, что

дифференцируема.

Так как u и v дифференцируемы в точке

, то

— бесконечно малые более высокого порядка, чем

||()

Тогда

D

ux xy yivx xy yuxy iv xy

w

=

D

z

DDDu

DDDv

.DDDzxy

DD DD

++

;;

u

¶

x

v

¶

x

++ +

=

+

x

DD DD

¶

x

=

¶

y

++

y

DD

u

D DDD

x

¶

=

u

x

+

yi

+

y

¶

xiy

DD

+

u

+

x

¶

y

v

+

x

¶

y

DD

xiy

+

uiv

+

xiy

+

¶

x

+

xiy

v

xi

+

x

¶

+a

y=

+a

y=

=

+

x

v y

¶

,

1

,

2

=

+

y

¶

y

=

y

i

+

xiy

.

+

Заменим

u

на на

¶

y

-

vxv

¶

u

y

¶

x

получим

u

D

w

D

z

DD DD

()

¶

x

=

DD DD

x

¶

=

+

xiyi

DD

— бесконечно малая высшего порядка относительно

3

v

x

-

x

¶

DD

+

()

¶

x

+

xiy

v

yi

+

x

¶

xiy

+

xiy

24

u

xi

+

x

¶

+=

¶ ¶

y

u

+

i

x

a

3

¶

v

+

,

Dz

.

¶

x

2.5. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Эйлера — Даламбера (Коши — Римана)

m'()

D

fz

¶

wzz=

yi

()

2020xy==,

wzz=

z = 0

¶

Итак, предел

w

li

D

z

®=0

z

D

существует.

При этом

u

ў

fz

() .

=

¶

v

+

i

¶

x

Теорема доказана.

Однозначная функция называется аналитической в данной точке, если она дифференцируема не только в данной точке, но и в некото‑ рой ее окрестности.

Если функция является аналитической в каждой точке некоторой области D, то она называется аналитической в области D.

Пример. Является ли функция

аналитической хотя бы в од‑

ной точке?

Решение. Выделим действительную и мнимую часть функции

wzzxiy xiyx

==+-=++Ч()()

22

0

;

:

Следовательно, функция ке

ломорфной.

ременного регулярны всюду, где они определены.

отношения:

ческую функцию, если известна ее действительная или мнимая часть.

uxyxyvxy(,),(,,)=+ =

22

0

.

Используем условия Коши — Римана:

.

Условия Коши — Римана будут выполняться только в точке (0; 0).

будет дифференцируема только в точ‑

и нигде не аналитична.

Аналитическую функцию называют регулярной, моногенной, го‑

Теорема. Однозначные элементарные функции комплексного пе‑

Для любой аналитической функции имеют место следующие со‑

u

v

ў

fz

() .

+

=

¶

x

=

i

¶

x

uyu

-

=

i

¶

y

¶

uyv

-

x

=

i

¶

v

+

i

¶

y

x

С помощью условий Коши — Римана можно восстановить аналити‑

25

2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

fz()

,,

и

ш

,,

C

Cfz

00

= ()

z

yx

fz()

¶

¶¶¶

¶

,.

¶

2.

vxy(,)

vxy(,):

т

()

Сx()

¶

x

xy22

ў

=

Cx Cx

() ,

0

vxy(,)

C

vxyxyC(,)( ).=++21

()

=

Ci

Если функция

z

ки

, то данную функцию можно восстановить по одной из формул:

0

где ло для

– сопряженное число для

0

.

0

является аналитической в окрестности точ‑

zzzz

+-

fz u

=

fz iv

=

ж

00

з

22

zzzz

+-

ж

00

з

22

и

ц

C()

-2

0

ч

i

ц

+2

C()

0

ч

i

ш

, а

— сопряженное чис‑

0

Пример. Задана действительная часть

uxyx

(,) =-+

дифференцируемой функции

22

. Найти

.

Решение

Используем условия Коши — Римана:

uxvyu

u

=+=

¶

x

=

¶

x

21 ,

v

¶

y

¶

y

¶

v

=-

¶

x

u

=- =-

y

v

¶

x

Найдем

мана по y функцию

Определим

Подставим в

Итак,

. Проинтегрируем из первого условия Коши — Ри‑

vxdy xyCx=+=++

()()

, используя второе условие:

¶

v

=+ў=

yC

() ,

=

C

() .

найденное

fz fx yi xyxi xyC() ()()()=+=-++ ++

22

=+ -+++

xxyi yxyi

2

22

26

1

:

1

21

=++zziC

1

.21 21

=

1

2

.

1

2.5. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Эйлера — Даламбера (Коши — Римана)

uuxy= (,)

(,)

Действительная функция

называется гармонической в об- ласти D, если она определена в D, имеет всюду в D непрерывные част‑ ные производные первого и второго порядков и удовлетворяет в каж‑ дой точке D уравнению Лапласа:

2

u

¶

Du

=

x

¶

u

¶

+

=

0.

2

y

¶

2

Теорема. Действительная и мнимая части аналитической функции

являются гармоническими функциями.

Обратное утверждение не верно: не всякая пара гармонических

функций дает аналитическую функцию.

Гармонические функции

uxy

и

vxy

, связанные между собой

условиями Коши — Римана, называются сопряженными.

27

2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

-+

aib);)3 -Ґ

bc

25

()-()

85

()

zi

=+

()

Ч=-+

()

Ч11

()

),

+-

22

);

22

43

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить:

a

zz

)lim ;)lim

zi

®-

1

2

+

b

i

1

z

p

z

®

4

iz

sin

ch sh

ziz

.

Ответ:

.

2. Вычислить:

Ответ:

)cos ;)ln ;)23 8

aibice i)cos sin;)ln;)cos sin23 23

Ч+ Ч+ +

ch sh p

-

ai

3. Выделить действительную и мнимую части:

azb

)sin ;) .

1

-

Ответ:

au xyvxy)cos ,sin

bu

), .=

ch sh

x

2

xy

+-

()

v

=

2

1

xy

1

-

2

+-

4. Восстановить аналитическую функцию, если

Ответ:

av xxybvxxy fi);

aizizCbz iz

22

43

++ +

)

.

i

+

e

.

2

5

.

;

y

2

1

() .=+-=

=

28

3.1. Свойства и правила вычисления интегралов

z

wfz= ()

zz z

,,...,

с

D

=-

l=

fz()

kk

,)=+

++

()

3. Интегрирование функций комплексного переменного

3.1. Свойства и правила вычисления интегралов

Пусть Г — произвольная кусочно‑гладкая кривая, лежащая в обла‑

сти D.

Пусть в каждой точке кривой Г с началом в точке

ке

определена непрерывная функция

n

частей произвольными точками ной дуге» выберем произвольную точку

n12 1

-

k

.

Составим интегральную сумму

n

fс z

() ,

где

zzz

kkk

k

=е1

— приращения переменного z при переходе от

-1

D

(3.1)

k

. На каждой «элементар‑

z

и концом в точ‑

0

. Разделим дугу Г на п

z

k -1

к

z

.

k

Пусть

max| |Dz

.

k

Если существует предел интегральной суммы (3.1) при стремлении

λ к нулю, то этот предел называется интегралом функции

z

кривой Г, заключенной между точками

n

fzdz fс z

() lim()

Если

т

Г

fz uxyivxy() (,)(

=

е

®=l 0

1

k

, то интеграл

z

и

D

:

n

.

fzdz

()

т

Г

сводится к двум

0

по дуге

криволинейным интегралам от действительных функций по формуле

fzdz udxvdy ivdx udy

()

тт т

ГГ Г

=-

(3.2)

или

fzdz uivdxidy

() ()

тт

ГГ

=+ +

29

.

3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

xxtyyt ttt==ЈЈ(),(), ,

12

==+

()

fz()

z

Фz()

fz()

ў

=Фz fz() ()

zz

тт

,;

ГГ

12

ттт

ИИ

тт

ГГ Г=+

12

,

12

Если кривая Г задана параметрически, т. е.

zztxtiyt

то

() ()

называют комплексно-параметрическим уравне-

нием кривой Г и

t

2

fzdz fztztdt

Г

() (()) '( )=

тт

t

1

. (3.3)

аналитична в односвязной области D, со‑

0

и

, то имеет место формула Ньютона —

n

Если функция держащей точки Лейбница

z

где

1

fzdz Фz Фz Фz

() () () ()

=-=

т

z

0

10

— какая‑либо первообразная для функции

z

1

, (3.4)

z

0

, т. е.

в области D.

Замечание

Интегралы от элементарных функций комплексного переменного в области их аналитичности вычисляются с помощью тех же формул и методов, что и в действительном анализе.

Основные свойства интеграла функции комплексного переменного:

dz zz dz

1)

И

=- =-

BАВA

Г

0

(()()) () () ;fz fzdz fzdz fzdz

2)

af zdzafzdz

3)

4)

АВ ВA

5) если

6) оценка модуля интервала: если

±=±

12

() () ,=

fzdz fzdz

() () ;=-

тт

ГГ

Г

то

где а — комплексное число;

fzdz fzdz fzdz

() () () ;=+

тт т

ГГ Г

fz M()Ј

вой Г, то

fzdz Ml

()тЈ

Г

,

где l — длина кривой Г.

30

во всех точках кри‑