Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория упругости. Часть 2. Учебно-методическое пособие
.pdf
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
И. В. ЛЕДОВСКОЙ, В. В. РОЩИН,
О. Б. ХАЛЕЦКАЯ, Г. С. ШУЛЬМАН
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
Учебно-методическое пособие
Часть II
Санкт-Петербург
2012
1
Теория упругости. Часть II
УДК 539.3/8(07)
Рецензенты:
д-р техн. наук, профессор В. Б. Шпильман (СПбГПУ);
канд. техн. наук, доцент Н. Б. Левченко (СПбГАСУ)
Ледовской, И. В.
Теория упругости: учеб.-метод. пособие. В 2 ч. Ч. II / И. В. Ледовской, В. В. Рощин, О. Б. Халецкая, Г. С. Шульман; СПбГАСУ. –
СПб., 2012. – 83 с.
ISBN 978-5-9227-0349-9
Пособие состоит из двух частей: в первой – тексты задач курсовой работы,
во второй – методические указания по решению этих задач.
Предназначено для выполнения курсовой работы студентами, обучающимися по специальностям 270205 – автомобильные дороги и аэродромы
и 270201 – мосты и тоннели, а также может быть использовано студентами
других строительных специальностей при изучении основ теории упругости.
Табл. 4. Ил. 41. Библиогр.: 6 назв.
Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ
в качестве учебного пособия.
ISBN 978-5-9227-0349-9 И. В. Ледовской, В. В. Рощин,
О. Б. Халецкая, Г. С. Шульман, 2012
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2012
23
Предисловие
Курсовая работа по теории упругости предполагает решение ряда
задач, и студенты должны представить эту работу до экзамена (зачета) в установленные сроки. Методические указания должны облегчить выполнение этих задач и повысить эффективность изучения теории упругости.
Во второй части учебно-методического пособия приведены примеры решения следующих задач:
• исследование напряженно-деформированного состояния
в точке;
• определение статических и кинематических граничных ус-
ловий на контуре пластинки;
• определение внешних нагрузок, приложенных к телу, в про-
стейших задачах теории упругости обратным методом;
• исследование изгиба прямоугольной полосы;
• исследование поперечного изгиба тонких плит.
Теоретический материал, необходимый для решения этих задач,
изложен в ряде учебников, список которых приведен в конце второй
части учебного пособия. Так как в теории упругости используются различные обозначения даже в одной и той же системе координат, в методических указаниях приведена система обозначений, которая рекомендуется студентам при выполнении указанной работы (см. ч. 1).
Перед выполнением каждой задачи рекомендуется ответить на
вопросы по самоконтролю, приведенные в первой части.
Теория упругости. Часть II
−=τ=τ=σ
τττσσσ
zyx ,,
nml ,,
ν
zyx ,,
τ+τ+σ=
ppp
,,
σ
=++=σ
Рис. 1
Рис. 2
Задача 1. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-
ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ ТЕЛА
Цель решения задачи – усвоение основ теории напряжений
и деформаций. При этом предполагается, что напряженно-деформированное состояние тела было определено ранее расчетами или экспериментально.
1.1. Напряженное состояние в точке тела
Мысленно вырежем в окрестности произвольной точки М нагруженного тела элементарный (бесконечно малый) параллелепипед,
грани которого перпендикулярны координатным осям x, y, z (рис. 1).
Условие задачи. Компоненты напряжений, действующие по гра-
ням параллелепипеда, равны следующим величинам:
yxxyx
xzzxz
МПа;40МПа;40
;0МПа;80
=τ=τ=σ
zyyzy
−=τ=τ−=σ
(1.1)
МПа.50МПа;60
Эти компоненты напряженного состояния показаны на рис. 1
с учетом правила знаков, принятого в теории упругости (см. ч. 1).
Совокупность нормальных и касательных напряжений на трех взаимно
перпендикулярных площадках
,
,
,
ττσ
,
xzxyx
τστ
,
yzyyx
σττ
,
zzyzx
называют тензором напряжений.
Напряженное состояние НС в точ-
ке полностью определено, если известны шесть компонентов тензо-
ра напряжений
,,,,,
(см. рис. 1), т. е., зная эти шесть
zxyzxyzyx
компонентов напряжений в точке, можно вычислить напряжения на
любой площадке, проходящей через эту точку.
45
zyx ,,
nml ,,
zyx ,,
τ+τ+σ=
ppp
,,
σ
=++=σ
Рис. 2
Задача 1. Исследование напряженно-деформированного состояния в точке тела
1.1.1. Полное, нормальное и касательные напряжения
на наклонной площадке
Найдем напряжения на некоторой наклонной к осям
площадке, проходящей через заданную точку. Положение площадки относительно осей координат определяется направляющими косинусами
значения проекций на оси координат
внешней нормали ν к этой площадке. Вначале вычисляем
полного напряжения
p
ν
по формулам
;
nmlp
ν
ν
ν
xzxyxx
;
nmlp
τ+σ+τ=
yzyyxy
(1.2)
.
nmlp
σ+τ+τ=
zzyzxz
Затем находим величину полного напряжения:
222
(1.3)
.
pppp
++=
zyx
νννν
Зная проекции
го по наклонной площадке, можно определить нормальное
тельное
напряжения по формулам
τ
ν
полного напряжения, действующе-
zyx
ννν
npmplp
νννν
zyx
222
22
(1.5)
.)(
σ−=τ p
ννν
;)(2
lnnmmlnml
τ+τ+τ+σ+ σ+σ= (1.4)
zxyzxyzyx
и каса-
ν
Рассмотрим применение формул (1.2)–(1.5), используя исходные
данные (1.1).
Пусть положение внешней нормали к площадке ABCD (рис. 2) относительно координатных осей x, y, z
определено следующими значениями
направляющих косинусов (см. табл. 1.2
учебного пособия, ч. 1):
xl
ym
z
;090cos)cos( ==ν=
;866,030cos)cos( ==ν=
.5,060cos)cos( ==ν
Теория упругости. Часть II
−=⋅−⋅−⋅=
=⋅+⋅+⋅−=
−=⋅−⋅+⋅−=
x
=
=σ
=τ
σ
τ
ν
ξ
ξ
χ
τ
τ
α
τ
χ
τ
ξ
ξ
111
ξ
++=τ
ppp
,
+σ+σ+σ=τ
+τ++τ++τ+
nml ,,
ν
τ
τ
ξ
τ
.0;0;1 === nml
ξ
111
−===
τ
+⋅+⋅−−−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=τ
Полезно проверить правильность величин направляющих коси-
нусов подстановкой их в выражение
222
(1.6)
,1
=++ nml
которое должно превращаться в тождество.
Подставляя значения напряжений и направляющих косинусов
в формулы (1.2), получим:
p
νx
p
νy
p
νz
МПа;6,595,050866,040040
МПа;3,695,00866,080040
(1.7)
МПа.0,305,060866,00040
Составляющие полного напряжения, имеющие знак «минус»,
противоположны направлениям осей
и z. Положительная состав-
ляющая
направлена вдоль положительной оси y (см. рис. 2).
ypν
Значения
,
p
σ
ν
ν
и
,
τ
ν
вычисленные по формулам
(1.3)–(1.5) с учетом заданных
напряжений (1.1) и направляющих косинусов, имеют следующие значения:
p
ν
ν
ν
Напряжение
знак «плюс». Следовательно,
Рис. 3
оно будет направлено от сече-
МПа,2,96
МПa;8,44
МПа.0,85
имеет
ν
ния (рис. 3).
1.1.2. Вычисление проекции касательного напряжения
на заданное направление
Направление касательного напряжения
с внешней нормалью
относительно любых двух ортогональных осей
в плоскости сечения
ν
и χ, лежащих в той же плоскости, определяется следующим образом.м.
67
ξ
τ
τ
α
τ
χ
τ
ξ
111
ξ
++=τ
ppp
,
+σ+σ+σ=τ
+τ++τ++τ+
nml ,,
ν
τ
τ
ξ
τ
.0;0;1 === nml
ξ
111
−===
+⋅+⋅−−−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=τ
Задача 1. Исследование напряженно-деформированного состояния в точке тела
Вначале определяются проек-
ции полного напряжения
и χ в виде
Затем угол
ным напряжением
осью
найдем по формуле
и
νξ
(рис. 4).
νχ
между касатель-
и, например,
ν
на оси
p
ν
)./tg(arc
ττ=α
νχνξ
Рис. 4
Напомним, как найти, например,
направляющие косинусы оси
– проекцию полного напряжения
ξν
ppp
,,
на ось
zyx
ννν
:
Подставляя в (1.8) вместо
как
на ось ξ. Обозначимчим
p
ν
и спроектируемем
,, nml
.
npmplp
(1.8)
111
zyx νννξν
их значения в виде (1.2),
zyx
ννν ,
получим
nnmmll
zyx
).()()(
lnlnnmnmmlml
(1.9)
zxyzxy
111111
Здесь
νξ 111
– направляющие косинусы внешней нормали
χ
к площадке, по которой действует касательное напряжение
.
ν
Рассмотрим вновь трехгранную призму, показанную на рис. 3.
Найдем проекцию касательного напряжения
площадке ВСК на ось
, т. е. касательное напряжение
, действующую по
x
(см. рис. 3).
x
ξ
Внешняя нормаль к площадке ВСК совпадает с положительной
осью x , и ее направляющие косинусы
(1.10)
Направляющие косинусы оси
Вычислим касательное напряжение
имеют следующие значения:
(1.11)
nml
.866,0;5,0;0
по формуле (1.9) с уче-
ξτx
том (1.1), (1.10) и (1.11):
ξx
−=⋅−+⋅+⋅+−⋅+
]005,01)[40()866,0(0605,00800140
МПа.3,63]1)866,0(00[50]00)866,0(0[0
Теория упругости. Часть II
x
τ
ξ
σ≥σ≥σ
σ+σ+σ=
x10=σ
.0296816
xxx
29,3=x
)29,3( −y
По скольку внешняя нормаль к площадке совпадает с положитель-
ной осью
, то отрицательное касательное напряжение
правлено в сторону, противоположную направлению оси
будет на-
x
ξ
(см. рис. 3).
1.1.3. Главные напряжения, определение положения
главных площадок
Одной из важнейших задач инженерных расчетов является оценка прочности материалов в наиболее напряженных точках конструкций. Для решения этой задачи применяют теории прочности, в которых используются главные напряжения.
3
σ
3
2
В окрестностях любой точки нагруженного тела всегда имеются три
взаимно перпендикулярные площад-
σ
1
σ
2
σ
2
Рис. 5
σ
3
1
ки, на которых касательные напряже-
1
ния обращаются в ноль, а соответствующие полные напряжения перпендикулярны этим площадкам. Такие
площадки называются главными, нор-
мали к ним – главными осями, а нормальные напряжения – главными на-
пряжениями (рис. 5). Главные напряжения обозначим в порядке убывания
.
321
Полные напряжения, действующие по множеству площадок,
проходящих в окрестности исследуемой точки, находятся в интервале
. Величины главных напряжений являются корнями
σ≥≥σνp
31
кубического уравнения
1
I
1 zyx
2
(1.12)
,0
=−σ+σ−σ III
32
;
222
;
222
.2
3
где
I τ−τ−τ−σσ+σσ+σσ= (1.13)
2 zxyzxyxzzyyx
I στ−στ−στ−τττ+σσσ=
3 yzxxyzzxyzxyzxyzyx
– инварианты напряженного состояния, которые не меняют-
,, III
321
ся при повороте координатных осей.
89
x10=σ
.0296816
xxx
29,3=x
)29,3( −y
Задача 1. Исследование напряженно-деформированного состояния в точке тела
Используя заданные напряжения (1.1), вычислим инвариан-
ты (1.13):
21
2
−=−== III
3
3
(1.14)
.МПа000296;МПа8100МПа;60
Подставим значения инвариантов в кубическое уравнение (1.12)
и получим:
23
(1.15)
.0000296810060
=+σ−σ−σ
Чтобы уменьшить величины коэффициентов в уравнении (1.15),
воспользуемся подстановкой
. После преобразоований получим
уравнение
23
(1.16)
=−−−
Для отыскания корней кубического уравнения имеются готовые
формулы (см. справочники по математике), но ими пользоваться неудобно. В наше время можно пользоваться какой-либо вычислительной программой, например Mathcad. В этой программе очень просто
построить график функции:
23
−−−= xxxxf
.296816)(
Точки пересечения графика этой функции с осью абсцисс дадут
корни полинома, т. е. значения, как это показано на рис. 6.
Рис. 6
Если у студента нет компьютера или он не умеет пользоваться комплексом Mathcad, то можно решить уравнение (1.15) «вручную»,
т. е. сначала путем подбора надо найти одно значение, обращающее
в ноль полином в правой части (1.16). Допустим, это
ление полинома (1.16) на
приводит к квадратному уравнению
. Затем де-
Теория упругости. Часть II
1
=
2
−=
σσσ
σ>σ>σ
1
=σ
2
=σ
=σ+σ+σ=
zyx ,,
zyx ,,
σ=
σ=
σ=
nml ,,
=τ+τ+σ−σ
0=== nml
.1
nml
nml ,,
=σ=σ
m
171,0;789,0;582,0 −==−= nml
111
Рис. 7
2
(1.17)
.0916,8971,2
=−− xx
Корнями этого уравнения будут два числа: –8,22 и 10,9.
Следовательно, корнями уравнения (1.16) являются числа
x
x
;
29,3
Числа
пряжениями
;22,8
, увеличенные в 10 раз, являются главными на-
,, xxx
321
. Полагая
,,
321
;
МПа109
.9,103=x
получим
,
321
;
МПа9,32
(1.18)
.МПа2,823−=σ
Выполним проверку найденных значений главных напряжений,
вычислив инварианты напряженного состояния и сравнив их с исходными значениями (1.14):
I
I
I
≈σσσ=
3213
;60
3211
≈σσ+σσ+σσ=
1332212
;8090
.000296
Разница между инвариантами при повороте осей координат возникает за счет приближенного вычисления напряжений (1.18),
и в нашем случае она меньше 1 %.
Если площадка, наклонная к осям
, является главной, тоо
полное напряжение, действующее по этой площадке, будет перпендикулярно к ней, т. е.
и его составляющие по осям координатт
σ=p
νν
равны
;mp
z νν
(1.19)
,np
где
;lp
x νν
y νν
– направляющие косинусы нормали ν к главной площадке.
Направляющие косинусы нормали ν к главной площадки найдем следующим образом. Подставим в уравнения (1.5) вместо
,yp
ν
их выражения в виде (1.19) и получим систему уравнений
zpν
;0)(
ν
nml
xzxyx
,xp
ν
;0)(
=τ+σ−σ+τ
ν
zzyzx
nml
yzyyz
ν
.0)(
=σ−σ+τ+τ
nml
(1.20)
Тривиальное решение системы уравнений (1.20) в виде
не может быть искомым решением, так как не будет вы-
полняться соотношение (1.6)
10 11
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]