Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория упругости. Часть 2. Учебно-методическое пособие
.pdf
σσ
τσσ
ττ
yx и
Задача 5. Расчет тонких плит при поперечном изгибе
Компоненты напряжений (5.5) с учетом соотношений (5.8) по-
лучат следующие выражения через прогибы срединной плоскости:
2
∂
−=σ
x
y
µ−
1
−=σ
µ−
1
xy
wzE
2
2
∂
x
2
∂
wzE
2
2
∂
y
−=τ
1
Из выражений (5.9) следует, что нормальные напряжения
2
∂
w
µ+
µ+
2
wzE
∂∂∂µ+
;
2
∂
y
2
∂
w
;
2
(5.9)
∂
x
.
yx
,
и горизонтальные касательные напряжения изменяются по высоте
сечения по линейному закону (рис. 32). Они принимают максимальные значения в точках, прилегающих к поверхностям плиты, а на срединной плоскости равны нулю.
yx
Рис. 32
Зная компоненты напряжений
и
напряжения
.
yzxz
, нетрудно определить
xyyx
,,
Используя первое и второе уравнения равновесия (3.1) при от-
сутствии объемных сил, параллельных осям
, получим
Теория упругости. Часть II
2
=τ=τ
xOy
σ
τ
y
ττ
ττ
0=z
yOzxOz и
yx и
σ
dzdA ⋅=1
2
2
2
∂
22
z
−
2
z
−
w
;
∇
x
∂
(5.10)
∂
22
,
w
∇
y
∂
где
hE
−=τ
xz
−=τ
yz
2
2
∂
∂
2
=∇
2
∂
.
+
2
yx ∂
2
4
)1(2
µ−
hE
2
4
)1(2
µ−
Выражения (5.10) удовлетворяют граничным условиям, соглас-
но которым на поверхностях плиты нет касательной нагрузки, т. е.
при
z ±=
h
должно быть
0
.
yzxz
На рис. 32 все компоненты напряжений, действующие ниже плос-
кости
, имеют положительные значения (см., например, задачу 1).
Очевидно, что равнодействующие элементарных усилий
dA
и
y
dA
равны нулю. Эти усилия создают пары, показанные
xy
на рис. 33.
Рис. 33
Напряжения
σσ и
создадут соответственно изгибающие уси-
yx
,dA
σ
x
лия
му по сечению, перпендикулярному оси
по сечению, перпендикулярному оси x, и yM , действующе-
M
x
.
Горизонтальные касательные напряжения
и
yxxy
, действую-
щие по перпендикулярным сечениям, создадут крутящие усилия.
62 63
ττ
0=z
yOzxOz и
yx и
σ
dzdA ⋅=1
2
2
Задача 5. Расчет тонких плит при поперечном изгибе
Вследствие закона парности касательных напряжений соответствующие усилия будут равны по величине друг другу (см. рис. 33).
и
Вертикальные касательные напряжения
изменяются по
высоте сечения по параболическому закону. Максимальные значения
они принимают на нейтральной плоскости при
QQ и
ния создают поперечные усилия
(см. рис. 32, 33).
yx
. Эти напряже-
5.3. Выражения погонных усилий через прогибы
срединной поверхности плиты
На рис. 34 показан выделенный из плиты параллелепипед сечениями, параллельными координатным плоскостям
ны этого параллелепипеда вдоль осей
равны единице, а высотаа
. Шири-
равна толщине плиты h.
Рис. 34
Используя выражение для нормального напряжения
найдем, что погонный изгибающий момент
M
(5.9), при
x
должен быть
x
равен
h
+
2
−=σ=
zdzM
xx
h
−
−=
1
3
2
µ−
2
∂
2
∂
µ−
x
2
∂
wEh
2
)1(12
∂
x
∂
wE
µ+
2
2
∂
µ+
∂
y
h
+
2
2
w
2
∂
y
w
2
2
∫∫
−
=
dzz
h
.
Теория упругости. Часть II
D
h
12
τ
2
2
( )
∂
w
12
σ
I
I
I
S
Введем обозначение
3
DEh=
2
µ− )1(12
(5.11)
и будем называть эту величину цилиндрической жесткостью плиты.
Цилиндрическая жесткость
отличается от балочной жесткос-
ти при изгибе балки прямоугольного сечения единичной ширины
3
с высотой
EI =
Eh
множителем
)1(2µ−
, расположенным в знаме-
нателе. Поэтому цилиндрическая жесткость всегда, но не на очень
много, больше балочной.
Таким образом,
2
∂
−=
x
w
DM
2
∂
x
2
∂
w
µ+
.
(5.12)
2
∂
y
Аналогично получим
2
∂
−=
y
w
DM
2
∂
y
2
∂
w
µ+
.
(5.13)
2
∂
x
Пользуясь формулой для касательных напряжений
найдем выражение погонного крутящего усилия
h
+
2
zdzH
xy
h
−
−=τ=
h
+
2
2
wE
∂∂∂µ+
2
∫∫
yx
h
−
Отсюда, учитывая (5.11),
2
w
DH
∂
µ−−=
∂∂
Найдем погонные поперечные усилия
h
+
2
−=τ=
zdQ
xyx
h
−
2
∂
wE
2
µ−
)1(2
64 65
2
∂
x
из (5.9),
xy
23
zdz
−=
.)1(
(5.14)
yx
Q
и
Q
x
h
+
2
w
∫∫
h
−
2
:
y
2
h
−∇
4
wEh
)1(121
yx
∂∂∂µ+
2
,
zdz
.
∂
w
12
σ
I
I
I
S
Задача 5. Расчет тонких плит при поперечном изгибе
откуда
и аналогично
x
x
∂
∂
DQ
−=
)(2w
∇
(5.15)
DQ
−=
y
y
∂
).(2w
∇
(5.16)
5.4. Выражения напряжений через погонные усилия
Сопоставив выражение для напряжения
ключив из этих выражений прогибы
формулу, связывающую напряжение
моментом
M
:
x
M
=σ
x
и обозначив
с погонным изгибающим
x
x
.z
из (5.9) и (5.12), ис-
σ
x
3
,
Ih=
получим
Аналогичные формулы получим, рассматривая совместно выражения (5.9), (5.13) и (5.14) и, наконец, (5.10), (5.15) и (5.16).
В результате найдем, что
M
x
z
x
I
xz
y
отс
SQ
x
В последних двух формулах
M
y
z
I
=τ=τ
yz
отс
(4.66) – статический момент
H
z
;;;
=τ=σ=σ
xy
I
(5.17)
отс
SQ
y
.;
части сечения, отсекаемой уровнем, на котором определяются напря-
ττ и
жения
относительно нейтральной линии.
yzxz
5.5. Дифференциальное уравнение прогибов плиты.
Граничные условия
Задача определения прогибов сводится к интегрированию диф-
ференциального уравнения Софи Жермен
Теория упругости. Часть II
x
K
)(Kw
K
n
yx и
w
;00 =⇒= wy
⇒= 0y
∂
y
;0=⇒= wax
⇒= ax
∂∂x
∂∂x
4
w
∂
22
w =
=∇∇
+
4
x
∂
4
w
∂
2
∂∂
4
w
∂
+
4
22
yx
y
∂
yxq
),(
.
(5.18)
D
и y,
решаем фактически задачу определения напряженно-деформированного состояния плиты, так как, зная функцию прогибов, при помощи
приведенных выше формул простым дифференцированием можно
определить напряжения или погонные усилия.
Интегралы уравнения (5.18) должны подчиняться граничным
условиям задачи. Эти условия определяются способом закрепления
контура плиты и характером действующих на плиту нагрузок.
Напряженно-деформированное состояние плиты в каждой точке
ее контура определяется, во-первых, двумя кинематическими
факторами:
• прогибом
• углом наклона касательной плоскости в точке
;
к деформи-
рованной срединной поверхности.
Угол наклона определяется производной прогиба по координа-
∂
w
те, измеряемой вдоль нормали
к контуру –
.
∂
n
K
Во-вторых, обозначенное состояние определяется силовыми
факторами: изгибающими, крутящими и поперечными усилиями, связанными с производными от прогибов ранее установленными соотношениями
2
∂
−=
n
w
DM
2
∂
n
2
∂
w
µ+
;
(5.19а)
2
∂
S
2
w
DH
DQ
−=
n
∂
µ−−=
∂
n
∂
;)1(
(5.19б)
Sn
∂∂
).(2w
∇
(5.19в)
В рамках приближенной теории при любом опирании контура
можно поставить только два из перечисленных граничных условий.
66 67
yx и
w
;00 =⇒= wy
⇒= 0y
∂
y
;0=⇒= wax
⇒= ax
∂∂x
∂∂x
Задача 5. Расчет тонких плит при поперечном изгибе
Постановка трех условий (5.19а–5.19в) делает задачу неразрешимой.
Опираясь на принцип Сен-Венана, граничные условия смягчают, заменяя два из трех заданных условий одним, в достаточной мере эквивалентным им.
Для простоты ознакомления с граничными условиями, соответствующими различным способам опирания и нагружения плит, рассмотрим прямоугольную плиту, края которой перпендикулярны осям
(рис. 35). На каждом краю плиты должно быть задано по дваа
граничных условия для функции
.
ЗАЩЕМЛЕННЫЙ КРАЙ
Пусть край ВС (см. рис. 35) защемлен. Тогда граничные условия
на этом крае будут иметь следующий вид:
w
при
при
.0=
∂
(5.20а)
y
Если защемлен край CT, параллельный оси
w
при
при
Рис. 35
.0=
, тоо
(5.20б)
На защемленном краю крутящий момент H всегда равен нулю.
w
0=
Например, на всем краю CT
. Тогда и смешанная производная
Теория упругости. Часть II
ax =
y
yOz
;0=⇒= wax
ax =
∂
TT
−=
TC и
( )
;0=⇒= wby
Рис. 36
2
∂
∂
w
=
∂
∂∂
∂
w
равна нулю. Следовательно, и крутящее усилие H
∂
x
yyx
(см. (5.14)) также равно нулю.
Реакция защемленного края представляется опорными реактивными парами и вертикальными усилиями, распределенными по длине края. Их интенсивность определяется при этом формулами (5.12)
и (5.15) или (5.13) и (5.16).
СВОБОДНОЕ ШАРНИРНОЕ ОПИРАНИЕ
Если, например, край CT при значении
шарнирно оперт, тоо
его прогибы равны нулю (рис. 36). Одновременно этот край может
свободно поворачиваться относительно оси, параллельной оси
и погонные изгибающие моменты
обращаются в нуль. Гранич-
M
x
ные условия на этом крае будут иметь следующий вид:
2
w
∂
DMw
−==
==
axxax
2
x
∂
2
w
∂
.0)(;0)(
µ+
=
2
y
∂
(5.21)
Второе условие из (5.21) можно уп-
ростить, учитывая, что на всем протяжении CT
водная
w
2
∂
(пропорциональная кривиз-
2
yw∂
. Тогда вторая произ-
0)( =
=ax
,
не края CТ в плоскости
) тоже равна
нулю.
Итак, граничные условия для шар-
нирно-опертого края CТ имеют следующий вид:
• при
• при
∂
⇒=
ax
∂
(5.22)
2
w
(5.23)
.0
=
2
x
Одновременно шарнирное опирание способно создавать только
вертикальные реакции в прилегающих и параллельных краю сечени-
68 69
ax =
∂
TT
−=
TC и
( )
;0=⇒= wby
Задача 5. Расчет тонких плит при поперечном изгибе
ях. Оно не может создавать горизонтальные реактивные силы, которые подобны касательным усилиям, создающим крутящие пары H.
Это противоречие, связанное с приближенностью теорией изгиба плит, заставляет предполагать, что в рассматриваемых областях
происходит преобразование касательных напряжений в вертикальные
усилия.
Следовательно, в сечении плиты
, бесконечно близко прилегающему к шарнирной опоре, действующее усилие приводится
к вертикально распределенным силам интенсивностью
H
+=
QV
xx
y
∂
и сосредоточенным силам
усилия возникают в точках
и
HV =
CC
(см. рис. 36). Эти
HV
, принадлежащих углам плиты. Им
должны соответствовать равные по величине и противоположно направленные реакции на шарнирной опоре.
Выявленное наличие в углах плит сосредоточенных реактивных
сил (на самом деле, по-видимому, сил, распределенных на небольших
участках, но большой интенсивности) подтверждается экспериментально.
Реактивную распределенную нагрузку, действующую на краю
CТ, можно выразить через прогибы срединной поверхности плиты:
2
w
∂
=
yx
∂∂
D
∂
−=
D
∂
∂
x
2
w
x
∂
2
∂
w
2
∂
x
2
∂
µ−+
∂
y
∂
H
+=
QV
xx
∂
y
−=
∂
)1(
µ−+∇
y
∂
w
.)2(
(5.24)
2
Если бы шарнирное опирание было бы не на краю CT, а на краю
TP, то для этого края было бы задано:
• при
• при
⇒=
by
(5.25)
2
∂
w
(5.26)
.0
=
2
∂
y
Величина распределенной по этому краю вертикальной реактивной нагрузки может быть найдена после отыскания решения уравне-
Теория упругости. Часть II
BBPP
−==
===
∂
x
ax =
y
ния (5.18), удовлетворяющего всем граничным условиям задачи. Для
этого нужно продифференцировать прогибы по формуле, аналогичной формуле (5.24):
2
∂
∂
DV
−=
y
∂
w
2
y
∂
y
2
∂
w
µ−+
.)2(
(5.27)
2
∂
x
В углах С и T обязательно появятся сосредоточенные реактив-
ные силы
:
RR ,
TC
2
∂
CC
DHR
TT
∂∂
yx
2
w
∂
µ−=−=
yx
∂∂
w
µ−−== yax
DHR
;0;при)1(
==
.;при)1(
byax
==
Если прямоугольная плита шарнирно оперта по всем четырем
граням, то в ее углах появятся реактивные опорные силы:
;2;2
HRHR
RTCC
(5.28)
.2;2
HRHR
−==
При обычной направленной вниз нагрузке реактивные силы,
действующие в углах плит, будут направлены тоже вниз, т. е. они будут противодействовать подъему углов плиты вверх.
КРАЙ, СВОБОДНЫЙ ОТ ОПИРАНИЯ
Если край CT свободен от опирания и на него не приложены
никакие нагрузки, то должны выполняться три условия:
.0;0;0
xx
HQM
Не имея возможности в рамках приближенной теории удовлетворить одновременно всем этим условиям, их смягчают, подчиняя
решение задачи только двум условиям:
H
+==
QVM
xxx
∂
.0;0 =
y
Последним условием заменяют более жесткое условие
x
70 71
.0;0==HQ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]