Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория упругости. Часть 2. Учебно-методическое пособие
.pdf
.1
nml
nml ,,
=σ=σ
m
171,0;789,0;582,0 −==−= nml
111
Рис. 7
Задача 1. Исследование напряженно-деформированного состояния в точке тела
222
=++
Найдем искомые значения
, решая систему, состоящую из
уравнения (1.6) и любых двух уравнений (1.20) (например, первых
двух) при условии, что
1
ν
, а компоненты напряже-
МПа109
ния имеют значения в виде (1.1):
222
;1
=++
nml
;05040)3,10940(
=+−−
nml
.0)3,10980(40
=−+−
ml
(1.21)
Используя два последних уравнения (1.21), выразим l и n через
m и подставим их в первое уравнение (1.21). Таким образом, получим
квадратное уравнение относительно
, из которого определяем дваа
значения m. После определения l и n из двух последних уравнений
(1.20) получим окончательное решение системы уравнений (1.21)
в виде
или
=−== nml
.171,0;789,0;582,0
Возникновение двух наборов направляющих косинусов в качестве решения уравнений (1.21) связано с тем, что при повороте на
180° нормали к любой главной площадке изменяются только знаки
направляющих косинусов
этой нормали (рис. 7). Точность вычисления l, m, n –
направляющих косинусов
нормали к первой главной
площадке – проверяется
путем подстановки в уравнение (1.6).
Таким образом, два
набора направляющих косинусов соответствуют
противоположным граням
элементарного параллелепипеда.
Теория упругости. Часть II
dzdydx ,,
GE
GE
GE
0,25=µ
−
z
x
xy
xz
yz
γγγ
M
1111
ν
2222
ν
ν
zyx ,,
2
ν
ν
ε
1
ν
γ+γ+γ+
2
ν
ν
+ε+ε+ε=γ
+γ++γ++γ+
1
ν
zyx ,,
Рис. 8
Рис. 9
1.2. Деформированное состояние в точке тела
При нагружении в теле возникнут не только напряжения, но и
деформации – изменения взаимного расположения точек тела. Рас-
смотрим деформации элементарного параллелепипеда со сторонами
в окрестности точки тела М (рис. 8), по граням которогоо
действуют заданные компоненты тензора напряжений (1.1).
Связь между деформациями и напряжениями определяется линейными соотношениями обобщенного закона Гука:
1
;)]([
1
;
τ=γσ+σµ−σ=ε
xyxyzyxx
1
1
;)]([
;)]([
1
;
τ=γσ+σµ−σ=ε
(1.22)
yzyzxzyy
1
,
τ=γσ+σµ−σ=ε
zxzxyxzz
где E – модуль упругости материала; µ – коэффициент Пуассона,
модуль сдвига
=EG
.
)1(2 µ+
По формулам (1.22) компоненты деформации в точке при заданных компонентах напряжений (1.1) и
МПa,1025⋅=E
имеютт
следующие значения:
;1025,4
;1075,14−⋅=ε
;1054−⋅−=γ
y
yz
x
xy
⋅=ε
;0=γ
4−
zx
⋅−=ε
4
(1.23)
;105,4
(1.24)
.1025,64−⋅=γ
Согласно результатам вычислений отрезки MK и MD, направленные соответственно вдоль осей
и y на рис. 8, удлинятся, а отрезок МА укоротится; прямой угол
между ребрами параллелепипеда
в плоскости
кости
сти
останется безз изменений.
увеличится, в плос-
уменьшится, а в плоско-
12 13
γγγ
M
1111
ν
2222
ν
ν
zyx ,,
2
ν
ν
ε
1
ν
γ+γ+γ+
2
ν
ν
+ε+ε+ε=γ
+γ++γ++γ+
1
ν
zyx ,,
Рис. 9
Задача 1. Исследование напряженно-деформированного состояния в точке тела
Если известны три компоненты ли-
нейной деформации
εεε ,,
и три компо-
zyx
ненты угловой деформации
,,
zxyzxy
в данной точке, то можно определить линейную деформацию в любом направлении и искажение угла между любыми вза-
имно перпендикулярными бесконечно малыми отрезками, проведенными из этой
точки.
Например, пусть из некоторой точки
(рис. 9) нагруженного тела проведены три луча
соответствующие направляющие косинусы:
),,,(
nml
),,,(
nml
Ни один из этих лучей не параллелен осям
и
лучи
Линейная деформация
взаимно перпендикулярны, т. е. имеет место соотношение
3
.0
=++ nnmmll
213232
в направлении луча
ν
1
по формуле
ν
1
2
1
2
1
2
+ε+ε+ε=ε
nml
1
zyx
zxyzxy
,, ννν
, имеющие
321
).,,(
nml
3333
и, кроме того,
вычисляетсяся
.
lnnmml
(1.25)
111111
Деформация сдвига между лучами
и
определяется из сле-
3
дующего выражения:
)(2
νν
nnmmll
3232323,2
zyx
).()()(
lnlnnmnmmlml
(1.26)
zxyzxy
233223322332
1.2.1. Определение линейной, угловой и объемной деформаций
Компоненты деформаций в точке тела M имеют, например, зна-
чения (1.23) и (1.24). Требуется вычислить линейную деформацию в
направлении
относительно осей
(см. рис. 9), заданном направляющими косинусами
(см. табл. 1.2 пособия, ч. 1):
Теория упругости. Часть II
.332,0;5,0;8,0 −=== nml
1
ξ
ξ
111
γ
γ
−=τ
τ−=τ
zyx ,,
εεε
−
Рис. 10
(1.27)
Подставляя в формулу (1.25) значения компонентов деформации
(1.23) и направляющих косинусов (1.27), получим
ν
−−−
⋅−=−⋅⋅+⋅⋅⋅−
242424
−−⋅−⋅⋅+⋅⋅=ε
)332,0(105,45,01025,48,01075,1
444 −−−
.1035,1)332,0(5,01025,65,08,0105
Знак «минус» означает, что в направлении
произойдет укоро-
ν
чение бесконечно малого отрезка, проведенного из точки М.
Для определения угла сдвига между отрезками BA и BC на рис. 2
совместим с этими отрезками оси
для оси
для оси η
и η:
==−= nml
333
−=== nml
;866,0;5,0;0
.0;0;1
Подставляя значения компонентов деформации и направляющих
косинусов в (1.26), получим
ηξ
−−−
]0)866,0(105,405,01025,4)1(01075,1[2
−−⋅−⋅⋅⋅+−⋅⋅=γ
444
−−−
.1091,7]00)1)(866,0[(1025,6]5,0)1(00[105
⋅=⋅+−−⋅+−+⋅⋅−
444
По закону Гука (1.22)
G
−+
ηξηξ
=⋅⋅⋅=γ=τ
.MПа3,63109125,7108,0
45
Поскольку деформация сдвига поло-
жительна, то произойдет уменьшение прямого угла между BA и BC на величину
(см. рис. 2). Угловая деформация
ηξ
ηξ
по-
казана на рис. 10 при условии, что в процессе деформации положение отрезка BA
остается неизменным.
Ранее было вычислено касательное
напряжение
ми х и ξ увеличился. Так как ось η имеет направление, противопо-
ξx
МПа3,63
(см. рис. 3), при котором угол между ося-
ложное направлению оси х, то и
.
ξηξ
x
14 15
zyx ,,
εεε
Задача 1. Исследование напряженно-деформированного состояния в точке тела
Объемная деформация
ε+ε+ε=ε
(1.28)
zyxV
не зависит от ориентации осей
то
,,
их значения в виде (1.23), то получим
zyx
. Если подставить в (1.28) вмес-
4
. Такак
V
105,1−⋅=ε
как эта деформация оказалась положительной, то в окрестности рассматриваемой точки произойдет увеличение объема.
Теория упругости. Часть II
Участок
контура
Уравнения участка
контура
Перемещение
АK
;0=x hy ≤≤0
0== vu
Точка C
;0=y rax 23 +=
Точка D
;0=y rax 2+=
0==
vu
0=Z
0=== ZYX
τσσ
ττσ
τσσ
TSL
yx и
τ+σ=
ν
xy
wvu ,,
zyx ,,
2
0== vu
0== vu
y
Задача 2. ПОСТАНОВКА КИНЕМАТИЧЕСКИХ
И СТАТИЧЕСКИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
Задачей теории упругости является определение напряжений,
деформаций и перемещений в любой точке тела, возникающих при
заданных объемных и поверхностных нагрузках, а также кинематических граничных условиях на его поверхности.
Рассмотрим вопрос о том, как задаются граничные условия на
поверхности тела.
На тонкую пластинку, показанную на рис. 11, наложены связи,
препятствующие перемещению пластинки как жесткого тела в плоскости
. Любые перемещения точек пластинки происходят лишь за
счет ее деформации. Эти перемещения разложим на составляющие
, параллельные соответствующим осям координат
. Ограничения, которые связи накладывают на перемещения точек контура пластинки, называют кинематическими граничными условиями.
a)
h
c
q1 = 1 кН/м
r
a
2r
2a
q
2
Рис. 11
б) в)
= 2 кН/м2
t
На участке AK контура пластинки (рис. 11, а) имеется жесткая
связь пластинки с неподвижным и абсолютно твердым телом, для всех
точек контакта обоих тел соблюдаются условия
. Контур пластинки в точках C и D имеет дискретные связи с тем же абсолютно
твердым телом. Перемещения точки D контура пластинки равны нулю,
т. е.
лишь одно, параллельное оси
оси x, в результате деформаций пластинки может иметь место (табл. 2.1).
. Из двух перемещений точки C в плоскости пластинки
, равно нулю, а другое, параллельноее
16 17
Участок
контура
Уравнения участка
контура
Перемещение
АK
;0=x hy ≤≤0
0== vu
Точка C
;0=y rax 23 +=
Точка D
;0=y rax 2+=
0==DDvu
0=Z
0=== ZYX
τσσ
ττσ
τσσ
TSL
yx и
τ+σ=
ν
Задача 2. Постановка кинематических и статических граничных условий
Таблица 2.1
Кинематические граничные условия
0;0 =≠CCvu
К пластинке приложены поверхностные нагрузки, параллельные
ее плоскости и распределенные равномерно по ее толщине t (рис. 11, б).
Проекция интенсивности поверхностных нагрузок вдоль оси z равна
нулю, т. е.
; кроме того, равны нулю и объемные силы
. В связи с этим напряженное состояние в любой точкее
определяется только тремя компонентами напряжения:
,,
xyyx
лежащими в одной плоскости. Эти напряжения можно считать посто-
,,
янными по толщине (составляющие напряжения
равны
zyzxz
нулю в точках, прилегающих к боковым поверхностям пластинки,
и без существенной ошибки можно предположить, что они обращаются в нуль и по толщине пластинки). Таким образом, в пластинке
имеет место плоское напряженное состояние.
В дальнейшем обсуждении толщина пластинки не имеет значения, и этот размер полагается равным единице. Компоненты напря-
жения
,,
меняются непрерывно от точки к точке по всей
xyyx
пластинке; при достижении границ последней они должны быть такими, чтобы уравновесить внешние силы, приложенные по контуру.
Рассмотрим малую трехгранную призму
(рис. 11, в). Ее грань TS
совпадает с границей пластинки (см. рис. 11, а). Проекции на оси
интенсивности поверхностных нагрузок, приложенных к контуру
пластинки, равны соответственно
. Условия равновесия на кон-
YX и
туре пластинки будут иметь следующий вид (см. рис. 11, в):
,
mlX
xyx
(2.1)
,;mlY
σ+τ=
где l и m – направляющие косинусы нормали
yxy
к контуру пластинки.
Теория упругости. Часть II
ml и
Уча-
сток
Уравнение участка контура
l
m
X
Y
AB
cxhy ≤≤= 0;
0 1 0 –1
BC
αsin
αcos
α− sin2
α− cos2
CD
)23()2(;0 raxray +<<+=
0 –1 0 0
ED
)2(
,)]([
222
raxa
rraхy
+≤≤
=+−+
r
y
−
r
xra −+ )(
0 0
KE
axy <≤= 0при0
0 –1 0 0
)(yx
)(yx
τ∂
z
x
z
∂
∂
∂
wvu ,,
Уравнения (2.1) называются статическими граничными условиями.
Контур пластинки состоит из пяти прямолинейных участков
и полуокружности. Значения проекции поверхностных нагрузок
и направляющих косинусов
YX и
нормалей ν к отдельным
участкам контура пластинки приведены в табл. 2.2.
Таблица 2.2
Значения
xray
−+=
)23(
raxc
+≤≤
на контуре пластинки
mlYX ,,,
,αtg)23(
Проекция интенсивности поверхностных нагрузок
знак «плюс», если совпадает с положительной осью координат
и знак «минус», если противоположна положительной оси
Таким образом, роль граничных условий в теории упругости заключается в следующем:
• при помощи статических граничных условий (2.1) обеспечи-
вается равновесие внутренних и внешних сил на поверхности нагруженного тела (см. рис. 11, в);
• при помощи кинематических граничных условий соблюда-
ется совместимость перемещений точек тела в результате деформаций с наложенными на тело связями (см. рис. 11, а);
• при интегрировании дифференциальных уравнений теории
упругости появляются постоянные интегрирования (или функции
интегрирования), которые определяются из граничных условий.
18 19
имеет
)(YX
.
,
Задача 3. РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ В ТЕОРИИ
τ∂
z
x
z
∂
∂
∂
wvu ,,
УПРУГОСТИ ОБРАТНЫМ МЕТОДОМ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
НАГРУЗОК, ПРИЛОЖЕННЫХ К ТЕЛУ
3.1. Основные уравнения теории упругости
1. Статические уравнения (дифференциальные уравнения рав-
новесия внутри тела – уравнения Навье):
σ∂
x
+
∂
∂
τ∂
+
∂
τ∂
∂
∂
τ∂
zx
+
∂
τ∂
xy
σ∂
zy
xz
+
∂
zyx
τ∂
yzyyx
+
∂
zyx
σ∂
z
+
zyx
∂
;0
=+
X
;0
=+
Y
(3.1)
.0
Z
=+
При выводе уравнений (3.1) использованы допущения о сплош-
ности материала и малости деформаций.
2. Геометрические уравнения (соотношения между деформаци-
ями и перемещениями – уравнения Коши):
v
u
=ε
x
∂
v
∂
=ε
y
∂
u
+
=γ
xyx
y
∂
v
∂
=γ
yzx
z
∂
;;
∂
x
w
∂
+
;;
y
∂
u
w
∂
=ε
∂
w
∂
∂
=γ
zxx
∂
.;
+
∂
При выводе уравнений (3.2) также использованы допущения
о сплошности материала и малости деформаций.
Так как шесть компонент деформаций выражаются только через
три компоненты смешения
зависимыми друг от друга. Зависимости, выражающие непрерывность
, то деформации не могут быть не-
деформаций тела без трещин, – это условия сплошности Сен-Венана
в виде шести уравнений совместности деформаций:
(3.2)
Теория упругости. Часть II
[ ]
[ ]
[ ]
GE
ZYX ,,
τ+τ+σ=
nml ,,
τττσσσ
τττσσσ
γγγεεε
2
ε∂
∂
2
ε∂
∂
2
ε∂
∂
2
ε∂
x
+
2
∂
xy
2
ε∂
y
+
2
yz
∂
2
ε∂
z
+
2
zx
∂
2
γ∂
xyy
=
2
z
2
2
∂∂
γ∂
=
∂∂
γ∂
zxx
=
∂∂
2
ε∂
∂∂
22
ε∂
∂∂
22
ε∂
z
∂∂
γ∂
∂
=
∂
∂
γ∂
∂
=
∂
∂
γ∂
∂
=
∂
∂
γ∂
xzx
+
∂
γ∂
+
∂
γ∂
zy
+
∂
γ∂
yzxy
−
yzyxyyz
zx
−
;2;
∂
xzyxzyyx
γ∂
zx
∂
γ∂
∂
yxzyxzzy
xy
zyxyyxxz
;2;
(3.3)
.2;
−
3. Физические уравнения (обобщенный закон Гука для изотропного тела) могут быть выписаны в форме соотношений, где деформации выражены через напряжения:
1
1
1
;)(
;)(
;)(
1
τ=γσ+σµ−σ=ε
;
xyxyzyxx
GE
1
τ=γσ+σµ−σ=ε
;
(3.4)
yzyzxzyy
GE
1
τ=γσ+σµ−σ=ε
,
zxzxyxzz
и в форме равенств, где, наоборот, напряжения выражены через деформации:
где
G
G
G
– объемная деформация, вычисляемая по формуле (1.28).
ε
V
µ
+ε=σ
µ
+ε=σ
µ
+ε=σ
ε
;
µ−
21
ε
;
µ−
21
;
ε
21
µ−
G
1
τ=γ
;
xyxyVxx
G
1
τ=γ
;
yzyzVyy
(3.5)
G
1
,
τ=γ
zxzxVzz
При выводе уравнений закона Гука использованы допущения
о сплошности, упругости, изотропности материала, а также о малости деформаций. Статические уравнения (3.1), связывающие компо-
20 21
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]