Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория упругости. Часть 2. Учебно-методическое пособие
.pdf
τ∂
=σ=τ=τ
0=Z
0)cos( =ν= zn
γεετσσ
vu,
y
Задача 4. Плоская задача теории упругости. Функция напряжений
σ∂
∂
τ∂
∂
xy
x
+
∂
yx
σ∂
+
∂
=+
X
yyx
(4.9)
.0;0=+
Y
yx
Третье уравнение (3.1) обращается в тождество, так как входящие в него напряжения имеют следующий вид:
),,(;0 yxf
zzyzx
(4.10)
а интенсивность объемных нагрузок, параллельных оси z, равна нулю,
т. е.
.
Три уравнения равновесия на поверхности тела (3.6) (учитывая,
что для боковой поверхности
и выполняется условие
(4.10)) превращаются в два условия:
mlX
τ+σ=
xyx
(4.11)
.;mlY
σ+τ=
yyx
Итак, восемь уравнений (4.4), (4.8), (4.9) содержат восемь неизвестных функций:
xyyxxyxx
.,,,,,,, vu
Три компоненты деформации выражаются через две функции
. Следовательно, они не могут выбираться произвольно и должны
удовлетворять уравнениям сплошности деформаций Сен-Венана (3.3).
Дважды дифференцируя первое уравнение (4.4) по
, а второе –
по x, а затем складывая их, получим
2
∂
2
ε∂
ε∂
x
2
y
+
2
xy
∂
2
u
∂
=
2
xy
∂∂
2
v
∂
+
2
yx
∂∂
2
u
∂
∂
=
y
yx
∂
∂∂
∂
v
,
+
∂
x
которое, если учесть третье уравнение (4.4), является одним из шести
условий сплошности Сен-Венана
2
∂
2
ε∂
x
2
ε∂
+
yx
∂
2
γ∂
xyy
=
2
.
(4.12)
yx
∂∂
Из шести условий сплошности (неразрывности деформаций)
Сен-Венана остается только уравнение (4.12), а остальные тождественно удовлетворяются. Для тела, подчиняющегося закону Гука (4.8), это
условие можно выразить в напряжениях:
Теория упругости. Часть II
τσσ
const;=X
const=Y
τ∂
0=w
y
xy
ah <<
zσz
τ
τσσ
∂
Y
,
+
∂
y
где
1
∂
2
2
∂
2
=∇
∂
∂
+
2
∂
)(
−=σ+σ∇
yx (4.13)
1
2
называется оператором Лапласа или гармо-
2
yx
X
∂
µ−
x
ническим оператором.
Если ограничиться исследованиями задач, в которых объемные
силы не зависят от координат, то условие сплошности (4.13) упрощается и принимает вид
2
Таким образом, для трех компонент напряжений
(4.14)
.0)(
=σ+σ∇
yx
,,
при
xyyx
плоской деформации в случае объемных нагрузок
имеем три уравнения:
σ∂
x
∂
τ∂
∂
xy
+
∂
+
2
X
;0
=+
yx
σ∂
yyx
Y
;0
=+
yx
∂
yx
.0)(
=σ+σ∇
(4.15)
Для цилиндрического тела большой длины, к которому приложены нагрузки (4.1) и (4.2), решение задачи о плоской деформации
имеет значение даже и в том случае, если концы стержня будут перемещаться в направлении оси z.
Действительно, если определены напряжения в сечениях стержня при
, то можно определить главный вектор и главный момент
внешних сил, приложенных к торцам. Теперь наложим на решение,
соответствующее плоской деформации, решение задачи методами
сопротивления материалов под действием сил, равных по величине и
противоположных по направлению главному вектору и главному моменту сил, возникающих при плоской деформации, на торцах.
Очевидно, что при этом получаем решение задачи о напряжениях в теле, к которому приложены нагрузки по боковой поверхности
(4.1) и по объему (4.2), а на торцах нагрузки статически эквивалент-
32 33
y
xy
ah <<
z
σ
z
τ
τσσ
Задача 4. Плоская задача теории упругости. Функция напряжений
ны нулю. Согласно принципу Сен-Венана для достаточно длинного
тела на участках, удаленных от торцов, полученное решение будет
справедливо и в том случае, если торцы тела будут свободны и от
закреплений, и от нагрузок.
4.2. Плоское напряженное состояние
Рассмотрим другой предельный случай, когда размер тела в на-
правлении оси z мал по сравнению с размерами по осям x и
. Например, тонкая пластинка постоянной толщины нагружена силами,
приложенными по контуру пластинки параллельно ее срединной плоскости
Пусть a – наименьший размер пластинки и
и распределенными равномерно по ее толщине h (рис. 17).
.
Рис. 17
Тогда, как и в случае плоской деформации, возможно упроще-
ние основных уравнений теории упругости.
Поскольку поверхностные нагрузки по боковым плоскостям от-
сутствуют, то и компоненты напряжения
ττσ ,,
по этим поверх-
zyzxz
ностям пластинки также равны нулю.
и
На рис. 18 показаны эпюры для напряжений
по толщине
h при точном решении задачи. Кроме того, должно существовать изменение напряжений
,,
по координате z. Однако, как отме-
xyyx
Теория упругости. Часть II
yx и
σ=σ
τσσ
σ∂
τ∂
τ∂
E
yx и
∂
∂
∂
∂
y
y
Рис. 18
чает С. П. Тимошенко, «в достаточно тонкой
пластинке им можно пренебречь подобно тому,
как пренебрегают существованием мениска на
вершине столбика жидкости в капиллярной
трубке термометра» [2]. Поэтому при малой
толщине пластинки принимают
,0;0;0 ≅τ≅τ≅σ
(4.16)
zyzxz
т. е. они равны нулю и внутри пластинки. Тогда остальные компоненты напряжения также
будут функциями только координат
);,(
yx
xx
);,(
σ=σ
yx
yy
τ=τ
xyxy
).,(
yx
:
(4.17)
На основании (4.16) напряженное состояние пластинки, кото-
рое определяется только напряжениями
,,
, называется плос-
xyyx
ким напряженным состоянием.
Рассмотрим общие уравнения теории упругости в случае плоского напряженного состояния, полагая, что поверхностные и объемные нагрузки определяются, как и при плоской деформации, соотношениями (4.1) и (4.2):
==
==
==
ZZ
);,();,(
yxXXyxXX
);,();,(
yxYYyxYY
(4.18)
.0;0
Из трех дифференциальных уравнений равновесия для плоского напряженного состояния остаются только два, которые полностью
совпадают с аналогичными уравнениями (4.9):
σ∂
x
+
∂
∂
yx
=+
X
xyyx
+
∂
∂
y
yx
Y
.0;0 =+
(4.19)
Напряжения непрерывно изменяются по объему рассматриваемой пластинки. Уравнения (4.19) должны удовлетворяться во всех
точках по объему нагруженного тела. При достижении его границ
34 35
E
yx и
∂
∂
∂
∂
y
y
Задача 4. Плоская задача теории упругости. Функция напряжений
напряжения должны быть такими, чтобы находиться в равновесии
с поверхностными нагрузками, приложенными на границе пластинки.
Поэтому внешние нагрузки можно рассматривать как продолжение
внутренних сил. Условия равновесия на поверхности имеют вид (3.6).
Из трех уравнений (3.6) останутся только два:
mlX
τ+σ=
xyx
(4.20)
.;mlY
σ+τ=
yyx
После введенных допущений закон Гука примет вид
1
];[
1
E
1
1
;
τ=γµσ−σ=ε
xyxyyxx
GE
;0];[
=γµσ−σ=ε
zyxyy
(4.21)
.0];[
=γσ+σµ−=ε
zxyxz
Как видно, функции деформаций зависят только от координат
. Из шести уравнений Коши (3.2) для плоского напряженногоо
состояния останутся только три уравнения:
v
u
=ε
x
∂
v
=ε
y
∂
u
=γ
xyyx
y
∂
,;;
+
(4.22)
∂
x
совпадающие с уравнениями (4.4).
Три компоненты деформаций выражаются через две функции u
и
. Поэтому деформации не могут задаваться независимо друг отт
друга. Дважды дифференцируя первое уравнение (4.22) по
, а вто-
рое – по x, а затем их складывая, получим уравнение
2
ε∂
∂
2
ε∂
x
2
y
+
2
∂
xy
2
∂
u
=
2
∂∂
xy
2
∂
v
+
2
∂∂
yx
2
∂
=
∂
u
v
∂
∂∂
y
yx
∂
v
+
,
∂
x
которое, если учесть третье уравнение (4.22), совпадает с одним из
шести условий сплошности Сен-Венана (3.3)
2
∂
2
ε∂
2
ε∂
x
+
yx
∂
2
γ∂
xyy
=
2
.
(4.23)
yx
∂∂
Теория упругости. Часть II
τσσ
γεε
γεε
τσσ
τ∂
ϕ
Lch <<= 2
b
Таким образом, как и в случае плоской деформации, имеем восемь неизвестных
,,,
xyyx
xyyx
.,,,, vu
Если исключить из уравнения (4.23) компоненты деформации
,,
, используя уравнения (4.19) и (4.22), то получим уравне-
xyyx
ние, совпадающее с (4.13),
∂
2
yx
X
µ+−=σ+σ∇
∂
x
∂
Y
.)1()(
+
∂
y
При постоянных объемных нагрузках для компонент напряжения
,,
получим систему уравнений
xyyx
σ∂
x
∂
τ∂
∂
xy
+
∂
yx
σ∂
+
∂
2
=+
X
yyx
,0;0=+
Y
(4.24а)
yx
(4.24б)
,0)(
=σ+σ∇
yx
которая аналогична системе уравнений (4.15) для плоской деформации.
На поверхности тела компоненты напряжения
τσσ ,,
xyyx
долж-
ны удовлетворять статическим граничным условиям (4.20).
4.3. Функция напряжений
Итак, решение двумерных задач сводится к интегрированию
дифференциальных уравнений равновесия (4.24а) вместе с уравнением совместности деформаций (4.24б). Эти уравнения следует дополнить граничными статическими условиями. В дальнейшем полагаем, что объемными силами является только сила тяжести.
При решении уравнений (4.24а) и (4.24б) вводится новая функция, называемая функцией напряжений, которая была предложена
Эри. Уравнения (4.24а) тождественно удовлетворяются, если компоненты напряжений выразить через функцию
2
ϕ∂
=σ
2
∂
2
ϕ∂
=σ
2
∂
yx
−=τ
xyyx
36 37
следующим образомм:
2
ϕ∂
yx
∂∂
−−
.;;
xYyX
(4.25)
Lch <<= 2
Задача 4. Плоская задача теории упругости. Функция напряжений
Таким образом, получают множество решений уравнений (4.24а).
Искомое решение, во-первых, должно удовлетворять уравнению
совместности (4.24б), которое с учетом выражений для компонентов
напряжений (4.25) получит следующий вид:
4
ϕ∂
+
4
∂
4
ϕ∂
∂∂
4
ϕ∂
02
+
22
=
4
∂
yyxx
или
422
(4.26)
=ϕ∇=ϕ∇∇
.0
Во-вторых, искомое решение должно удовлетворять статическим граничным условиям (4.20).
Функцию, удовлетворяющую уравнению (4.26), можно задать
в некоторых задачах (например, в виде алгебраических полиномов
с постоянными коэффициентами, а эти коэффициенты определяются
из условий нагружения на поверхности тела).
Рассмотрим применение этого метода решения на нескольких
примерах.
4.4. Изгиб прямоугольной полосы под действием
поверхностной нагрузки
4.4.1. Постановка задачи
Прямоугольная полоса с узким поперечным сечением, опертая по
концам, изгибается равномерно распределенной нагрузкой (рис. 19).
Рис. 19
Поскольку
и толщина b мала по сравнению с высо-
той h, то напряженное состояние полосы можно рассматривать как
Теория упругости. Часть II
τσσ
2
.0=== ZYX
ϕ
=−+
ϕ
ϕ
плоское напряженное состояние, т. е. полагать, что напряжения
,,
не зависят от координаты z. Поэтому ширину сечения b
xyyx
примем равной единице.
qL
По торцам действуют касательные нагрузки, равные
, а воп-
рос о распределении касательных нагрузок по торцам будет рассмотрен далее.
Также полагаем, что полоса невесома, т. е. объемные нагрузки
равны нулю:
(4.27)
Задача о нагружении полосы объемной нагрузкой будет рассмотрена отдельно. (Решение задачи об изгибе полосы одновременно поверхностной и объемной нагрузками получим, используя принцип
суперпозиции или наложения.)
Требуется определить напряжения в полосе методами теории
упругости и сравнить их с напряжениями, полученными методами
сопротивления материалов.
4.4.2. Решение задачи
Решение плоской задачи осуществим обратным методом, задаваясь сначала функцией напряжений, удовлетворяющей уравнению
совместности деформаций Сен-Венана (4.26)
4
ϕ∂
4
∂
4
+
ϕ∂
∂∂
4
ϕ∂
02
=
+
4
22
∂
yyxx
и статическим граничным условиям (4.20) на контуре полосы
mlX
τ+σ=
xyx
.;mlY
σ+τ=
yyx
Рассмотрим функцию напряжений в виде суммы алгебраических полиномов
532
a
b
2
2
3
x
d
2
3
++=ϕ
yx
⋅
38 39
3
dy
5
yyx
−+
.
(4.28)
3063222
ϕ
=−+
ϕ
ϕ
Задача 4. Плоская задача теории упругости. Функция напряжений
Каждому полиному соответствуют определенные внешние нагрузки на поверхности полосы. Выбирая полиномы разных степеней
и подбирая для них соответствующие коэффициенты, можно решить
много практически важных задач.
Убедимся в том, что, например, функция (4.28) при соответствующем подборе коэффициентов
дает решение задачи об
,,, ddba
5332
изгибе полосы под действием равномерно распределенной нагрузки.
Проверка выполнения уравнения сплошности. Вначале найдем частные производные от функции
, входящие в уравнение сплош-
ности Сен-Венана:
2
ϕ∂
2
∂
x
d
5
++=
yba
32
y
3
4
ϕ∂
=
4
∂
2
3
ϕ∂
;
2
∂
y
4
ϕ∂
4
∂
4
ϕ∂
22
yx=∂∂
yd
5
53
;4;0
ydyx−=
5
.2
2
32
−+=
;
yyxdyd
3
Подставляя в условие сплошности (4.26) производные, получим
(4.29)
.04)2(20
ydyd
55
Следовательно, условие сплошности деформаций удовлетворяется при любых значениях коэффициентов
Определение напряжений через заданную функцию ϕ
в (4.25) вместо функции
подставить ее выражение (4.28), то получим
.
,,, ddba
5332
. Если
2
ϕ∂
=σ
x
2
∂
y
2
ϕ∂
=σ
y
2
x
∂
2
ϕ∂
=τ
xy
yx
∂∂
53
2
32
−+=
1
++=
3
−−=
53
;
yyxdyd
3
3
;
ydyba
532
2
.
xydxb
(4.30)
Уравнения равновесия внутри тела выполняются, если искомые
напряжения выражены через функцию
в виде (4.25). Неизвестные
Теория упругости. Часть II
Lcq
≠=
Рис. 20
−==≤≤−−=
==≤≤−=
4
4
2
c
c
постоянные коэффициенты
определим из граничных ус-
,,, ddba
5332
ловий на контуре полосы (b).
Рассмотрим статические граничные условия по граням полосы
(см. рис. 19):
• верхняя грань:
;1;0;при
11
(4.31)
;1;0;при
22
(4.32)
• нижняя грань:
mlLxLcy
;;0
qYX
==
mlLxLcy
.0;0
==
YX
Подставляя в граничные статические условия (4.20) компонен-
ты напряжения (4.30) с учетом (4.31) и (4.32), получим
11
11
=τ+σ
−=
cyxyx
=σ+τ
−=
cyyyx
;)(
Xml
Yml
(
⇒
;)(
1
3
532
3
3
53
=−−−
xcdcb
и
11
11
=τ+σ
+=
cyxyx
=σ+τ
+=
cyyyx
;)(
Xml
Yml
(
⇒
;)(
1
3
cdcba
532
3
3
xcdcb
53
=+++
=−−−
qcdcba
,0)1()(
=+++
.0)1()(
;)1()
(а)
;0)1()
(б)
Решая систему уравнений (a) и (б), находим
3
a −==−=
q
;
b
q
;
d
Если в (4.30) вместо коэффициентов
3
q
.
532
(4.33)
3
подставить их
,, dba
532
значения в виде (4.33), то выражения для напряжений будут иметь
следующий вид:
x
y
xy
3
c
qq
3
y
c
4
2
q
3
x
+−=τ
c
4
40 41
3
yd
3
q
2
yxq
+−=σ
2
−+−=σ
c
4
3
q
3
4
c
3
y
;
3
c
24
q
3
y
;
3
2
.
yx
(4.34
)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]