Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория упругости. Часть 2. Учебно-методическое пособие
.pdf
x
ax =
y
Задача 5. Расчет тонких плит при поперечном изгибе
Выражая граничные условия через прогибы срединной поверхности, найдем, что для края, свободного от опирания и параллельного оси y, должно быть:
2
w
∂
DM
−=
x
x
2
x
∂
∂
∂
DV
−=
∂
x
∂
Для края, свободного от опирания и параллельного оси
2
w
∂
µ+
y
∂
2
w
2
x
;0.1
=
2
2
∂
w
µ−+
2
∂
y
(5.29)
.0)2(.2
=
, ана-
логично должно быть:
2
∂
w
2
∂
y
∂
∂
y
2
∂
w
=
µ+
∂
2
∂
w
2
∂
y
;0.1
2
x
2
∂
w
µ−+
2
∂
x
(5.30)
.0)2(.2
=
Если к краю, свободному от опирания, приложена распределенная свободная нагрузка, то вторые из граничных условий (5.29) и (5.30)
изменяются. Так, например, для края CT должны быть выполнены
следующие условия:
2
w
∂
2
x
∂
D
−
2
w
∂
µ+
y
∂
2
∂
∂
x
∂
∂
;0.1
=
2
2
w
2
x
w
∂
µ−+
=
2
y
∂
(5.31)
).()2(.2
yF
УПРУГО ОПЕРТЫЙ ИЛИ УПРУГО ЗАЩЕМЛЕННЫЙ КРАЙ
Если, например, край плиты при
жестко соединен с поддерживающей ее балкой (см. рис. 35), то прогиб и угол поворота края
относительно оси, параллельной оси
, не будут равны нулю и одно-
временно
Теория упругости. Часть II
h
y
yx
z
A
25,0=µ
ab =
K
w
∂
D
).3(8 axADq −=
yxq
z
z
3
∂
−=
x
w
DV
3
∂
x
2
∂
w
−=
DM
x
2
∂
x
3
∂
µ−+
w
2
∂∂
yx
2
∂
w
µ+
2
∂
y
==ax
;0)2(
≠
ax
.0
≠
Формулирование граничных условий с учетом жесткостей поддерживающей балки при ее изгибе и кручении можно найти во многих монографиях, например, в книге С. П. Тимошенко, С. Войновского-Кригера «Пластинки и оболочки» [3].
5.6. Пример расчета плиты при поперечном изгибе
5.6.1. Постановка задачи
Рассматривается прямоугольная плита постоянной толщины
края которой параллельны осям x и
До нагружения координатная плоскость
динной плоскостью, а ось
направлена вниз. Задачу о напряженно-
(см. рис. 35).
совпадает с ее сре-
деформированном состоянии плиты предлагается решить обратным
методом, полагая, что выражение для прогибов точек срединной плоскости по оси z имеет следующий вид:
22
(5.32)
,)(
yaxxAw −=
где
– некоторая постоянная величина, которая в данной задаче пред-
полагается известной.
Полагаем, что
и
.
Требуется определить:
• поверхностные нагрузки на плиту, вызывающие прогибы
(5.32) точек срединной плоскости;
• граничные условия на контуре плиты, которым соответству-
ют прогибы (5.32);
• погонные усилия в окрестности заданной точки
с коорди-
натами из табл. 5.2 в первой части учебно-методического пособия.
,
72 73
w
∂
D
).3(8 axADq −=
y
x
q
z
z
Задача 5. Расчет тонких плит при поперечном изгибе
5.6.2. Решение задачи
1. Определение распределенной поверхностной нагрузки
Поверхностная нагрузка входит в дифференциальное уравнение
(5.18) прогибов срединной плоскости. Чтобы определить нагрузку из
этого уравнения, найдем частные производные функции
:
w
∂
x
2
∂
w
2
∂
x
w
∂
y
∂
2
3
w
∂
2
∂∂
2
−=
axAy
w
∂
yaxAx
−=
y
∂
−⋅=
yx
3
∂
w
3
∂
x
2
2
2
axyA
2
Ay
axAx
−=
4
w
∂
22
yx
∂∂
22222
−=⋅+−⋅=
axxAyyAxyaxxA
);23()(2
4
∂
w
;0;6);26(
⋅=
∂
∂
=
4
∂
x
3
w
3
y
4
w
∂
=
4
y
∂
).26(2);26(2
axA
−⋅=
Подставляя найденные производные в уравнение (5.18), получим
q
axA =−⋅ )3(42
или
(5.33)
Интенсивность поверхностной нагрузки (5.33), удовлетворяющая дифференциальному уравнению (5.18), по оси
а вдоль оси
жительная интенсивность
правлением оси
направлена противоположно оси
она изменяется по линейному закону (рис. 37). Поло-
поверхностной нагрузки совпадает с на-
, т. е. направлена вниз, а отрицательная нагрузкаа
.
постоянна,
(5.32а)
;0;2)(;2)(
=
(5.32б)
2. Определение граничных условий на контуре плиты
Определим граничные условия, которым подчиняется уравнение прогибов (5.32).
Теория упругости. Часть II
)0;0( byx ≤≤=
y
y
0
x
)0;( byax ≤≤=
y
ax
[ ]
)0;0( axy ≤≤=
y
)0;( axby ≤≤=
∂
x
ay =
Рис. 37
Край BP
На этом крае, совпадающем с осью
плиты относительно оси
w
.
, прогибы w и поворот края
с учетом (5.32) и (5.32а) будут равны:
∂
w
=
0
x
=
∂
x
.0;0)(
=
=
Следовательно, этот край защемлен.
Край CT
.
На этом краю прогибы равны нулю, но край плиты поворачива-
ется относительно оси, параллельной оси
∂
w
w
=
ax
=
∂
x
=
, т. е.
22
yAa
.0;0)(
≠=
При этом изгибающий момент с учетом (5.32) имеет следующее
выражение:
2
∂
w
)(
=
axx
−=
DM
2
∂
x
2
∂
w
µ+
∂
y
=
ax
=
2
=
ax
222
.04)()26(
≠−=−µ+−−=
aADyaxAxaxAyD
(5.34)
Следовательно, край CT упруго шарнирно оперт.
Вдоль края CT изгибающие моменты
(5.34) изменяются по
M
x
параболическому закону. (Правила знаков для изгибающих моментов
74 75
)0;0( axy ≤≤=
y
)0;( axby ≤≤=
∂
ay =
Задача 5. Расчет тонких плит при поперечном изгибе
в теории плит (рис. 38, б) и в теории изгиба балок (рис. 38, а) при
принятом направлении оси z совпадают.)
Рис. 38
Край BC
.
На основании (5.32) и (5.32а) на этом краю прогибы и углы поворотов нормали к краю, параллельной оси
, равны следующим
значениям:
w
∂
w
0
y
=
x
∂
.0;0)(
=
0
==y
Это означает, что на краю BC имеет место защемление.
Край PT
.
Подставляя в выражение прогибов w (5.32) и углов поворотов
относительно оси, параллельной оси x, значение
yw∂
22
;0)()(
≠−=
=
by
∂
w
∂
y
=
by
baxAxw
2
.0)(2
≠−=
baxAx
, получим
Теория упругости. Часть II
)0;( axby ≤≤=
[ ]
.0)3()2(4 ≠−µ−−= baxAD
25,0=µ
ab =
[ ]
2
x
0 0,5а а
My (5.37) 0,5ADa3 0 ADa3
Vy (5.38) 7ADa2 –3,5ADa2 –14ADa2
ax <<0
xy
z
w
′′
x
Рис. 40
Следовательно, край PT свободен от жесткого закрепления. На
этом краю могут быть приложены изгибающие моменты
V
веденные поперечные силы
. Чтобы уточнить наличие или отсут-
y
M
и при-
y
ствие силовых факторов на этом крае, найдем указанные внутренние
усилия при
в сечении, бесконечно близкому к краю:
2
∂
w
−=
)(
ayy
DM
byy
∂
−=
DV
∂
2
∂
y
3
w
3
y
2
∂
w
µ+
∂
x
223
∂
µ−+
)2()(
2
=
2
==0
y
(5.35)
;0)3()(2
≠−µ+−−= axbxaxAD
3
w
∂∂
=
yx
==ay
(5.36)
Из (5.35) и (5.36) следует, что по краю PT приложены нагрузки
(5.35) и (5.36). Следовательно, край соединен с балкой, поддерживающей плиту и испытывающей изгиб и кручение.
Определим характер распределения и величины изгибающих
моментов и приведенных поперечных усилий на краю PT. При значе-
ниях
и
погонные усилия (5.35), (5.36) примут следую-
щий вид:
)(
1
abyy
==
abyy
==
По значениям погонных изгибающих моментов
ных поперечных усилий
V
(табл. 5.1) построены эпюры этих усилий
y
−−=
323
;344
aaxaxxADM
−+−−=
(5.37)
).3(7)( axADV
(5.38)
M
и приведен-
y
(см. рис. 38).
Таблица 5.1
Величины M
и Vy на краю PT плиты
y
76 77
ax <<0
xy
z
w
′′
Задача 5. Расчет тонких плит при поперечном изгибе
Рис. 40
)(
Поперечные усилия
VQ
и
yy
)(yyVQ
являются равнодейству-у-
ющими касательных напряжений, и правила знаков аналогичны правилам знаков для касательных напряжений в задаче 1 (рис. 39).
Рис. 39
)(
На этом рисунке погонные поперечные усилия
VQ
и
yy
имеют знак «плюс» и направлены вдоль положительной координатной оси z.
Проанализируем характер
изогнутой срединной поверхно-
По
сти плиты. Из выражения для
прогибов (5.32) видно, что при
все прогибы будут
иметь знак «минус». Следовательно, они откладываются от
координатной плоскости
вверх в направлении отрицательной оси
.
По
На рис. 40 показана пунктирной линией изогнутая срединная поверхность плиты, со-
Рис. 40
ответствующая найденным внешним нагрузкам и закреплениям на контуре плиты.
Точка перегиба изогнутой срединной поверхности находится там,
где
по направлению оси x равна нулю, т. е.
)(yyVQ
Теория упругости. Часть II
3/ax =
y
w
[ ]
[ ]
byax 5,0,5,0 ==
25,0и =µ= ab
K
2
∂
w
2
∂
x
=−=
yaxA
.0)26(
(5.39)
Уравнение (5.39) обращается в нуль при значении
ложение точки перегиба не зависит от координаты
.
3. Определение погонных усилий в окрестности заданной точки
Вначале найдем погонные внутренние усилия (5.12)–(5.16), ис-
пользуя функцию прогибов
(5.32):
• погонные изгибающие моменты
2
w
∂
DM
−=
x
y
2
x
∂
2
∂
−=
w
DM
2
∂
y
2
w
∂
µ+
µ+
=
2
y
∂
22
2
∂
w
∂
x
−µ+−−=
;)()3(2
axxyaxAD
−µ+−−=
=
2
22
;)3()(2
yaxaxxAD
• погонный крутящий момент
2
w
DH −µ−−=
∂
µ−−=
yx
∂∂
2
;)23()1(2)1(
yaxxAD
, и по-
• погонные поперечные усилия
x
x
∂
∂
DQ
−=
y
2
y
∂
∂
DQ
−=
222
−−=∇
);233(2)(
axxyADw
−+−=∇
.)3(4)(
yaxADw
Затем определим погонные усилия в окрестности точки K, на-
пример, с координатами
. (Координаты точки указаны в исходных данных задачи.) При этом, как и в предыдущем пункте
решения задачи, примем, что
78 79
. Тогда
K
Задача 5. Расчет тонких плит при поперечном изгибе
63
128
;
7
yx
16
;
ADaQADaQ
−=−=
yx
Внутренние погонные усилия (5.40) в окрестности точки
3
=−=−=
16
22
.;
ADaHADaMADaM
333
;
(5.40)
по-
казаны на рис. 41.
Рис. 41
Для оценки прочности вначале нужно найти наибольшие погонные усилия, а затем определить в опасных точках нормальные и касательные напряжения по формулам (5.17).
Теория упругости. Часть II
Рекомендуемая литература
1. Теребушко О. И. Основы теории упругости и пластичности /
О. И. Теребушко. – М.: Наука, 1984. – 319 с.
2. Тимошенко С. П. Теория упругости / С. П. Тимошенко, Д. Гудьер. –
М.: Наука, 1979. – 560 с.
3. Тимошенко С. П. Пластинки и оболочки / С. П. Тимошенко, С. Вой-
новский-Кригер. – М.: Физматгиз, 1963.
4. Филоненко-Бородич М. М. Теория упругости / М. М. Филоненко-
Бородич. – М.: Физматгиз, 1959. – 364 с.
5. Вязьменский С. П. Основы прикладной теории упругости и пластич-
ности / С. П. Вязьменский; ЛИСИ. – Л., 1976. – 82 с.
6. Вязьменский С. П. Плоская задача теории упругости / С. П. Вязьмен-
ский; ЛИСИ. – Л., 1977. – 83 с.
80 81
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]