Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория упругости. Часть 2. Учебно-методическое пособие
.pdf
Lx ±=
yx и
c
y
2
c
c
Задача 4. Плоская задача теории упругости. Функция напряжений
Из выражений (4.55) видно, что по торцу действуют касательные и нормальные внешние нагрузки. Однако при постановке задачи
не были заданы законы их распределения (см. рис. 25).
Используя принцип Сен-Венана, вместо точных граничных условий рассмотрим интегральные граничные условия (4.53), которые при
значении
имеют следующий вид (см. табл. 4.2 пособия, ч. 1,
и рис. 25):
c
===
PdyXdAX
;0
∫∫
cA
)(
−
c
∫∫
cA
)(
−
c
∫∫
)(
cA
−
1
===
MMydyXydAX
;
0
(4.56)
ρ−===
cLPdyYdAY
2
.2
В (4.56) были учтены правила знаков для проекций равнодействующих внешних сил на оси
, которые были показаны на рис. 20.
Вначале рассмотрим первое интегральное уравнение (4.56)
с учетом (4.55):
−
c
∫∫∫
)(
−
c
−
c
[
3
−
cA
ρ
3
−==
yddyXdAX )]
(
2
c
2
2
32
=−
dyyyL
3
c
2
y
[
−=
d
3
2
При четной функции
ство при любом значении
3
ρ
2
(
L
2
2
c
уравнение (4.57) превращается в тожде-
.
d
3
42
yy
62
.0)]
=−
(4.57)
−
Далее рассмотрим второе интегральное уравнение (4.56):
c
yd
[
3
∫
c
−
c
2
dyyd
3
c
3
2
c
d =
3
3
ρ
3
2
−
(
2
c
2
ρ
3
−=
2
c
2
2
3
−=
c
ρ
2
L
2
3
2
322
=−
dyyyL
)]
3
c
22
dyyL
c
3
ρ
+
2
c
ρ
4
+
∫∫∫
2
c
−−−
5
2
c
5
=
dyy
c
.
M
(4.58)
0
Теория упругости. Часть II
1=b
3
12
12
σ
zzz
zz
ρ
c
ρ
Y
c
τσσ
z
ρ
ρ
cq ρ= 2
Заметим, что осевой момент инерции для прямоугольного попе-
речного сечения при ширине
I
z
равен
8
333
2
ccbh
.
===
(4.59)
С учетом (4.59) из соотношения (4.58) получим для коэффици-
ента
следующее выражение:
d
3
d
3
M
2
ρ
cL
0
+=
I
I
ρ
3
.
−
(4.60)
5
zz
Если в формулу для нормальных напряжений
коэффициента
подставить его выражение в виде (4.60), то получим:
d
3
2
ρ
M
(
x
M
0
I
cL
0
+=σ )
I
I
c
ρ
y
+=
I
ρ
3
−
−
y
5
22
yxL
+−
ρ
c
()
I
ρ
()(
−
2
c
из (4.54) вместоо
x
2
32
=−
yyx
3
3
23
).
ycy
5
(4.61)
В выражение (4.61) входят три слагаемых:
• от изгибающих моментов
M
0
M
=σ
x
;0y
I
z
• от собственного веса (основное слагаемое)
c
=σ
x
I
z
22осн
;)(
yxL
−
• от собственного веса (дополнительное слагаемое)
3
доп
x
(
=σ
2
23
)
ycy
−
,
5
которые в виде эпюр показаны ниже (рис. 26).
Наконец рассмотрим третье интегральное условие по Сен-Венану
из (4.56):
c
ρ−==
∫∫
cA
)(
−
52 53
hLdyYdAY .2
Y
c
τσσ
z
ρ
ρ
cq ρ= 2
Задача 4. Плоская задача теории упругости. Функция напряжений
Рис. 26
Подставляя в это интегральное граничное условие вместо интенсивности поверхностных касательных нагрузок
ее выражение
из (4.55), получим тождество. Действительно,
c
3
ρ
−
∫
−
c
2
c
2
=
22
)(
−
ρ⋅
32
3
2
c
dyyc
c
3
c
−
3
ρ
2
yc
−=
2
c
2
3
3
−
.2
cL
ρ−=
c
3
y
3
−
=
Напряжения
,,
(4.54) с учетом (4.59)–(4.61) примут
xyyx
окончательный вид
M
0
x
I
c
+=σ
y
I
zz
=σ
y
−=τ
xy
22
+−
yxL
2
c
ρ
ρ
3
y
2
y
−
;
2
c
2
22
yccx
)(
−ρ
I
.
3
23
()(
−
);
ycy
5
(4.62)
4.5.3. Решение задачи методами сопротивления материалов
На рис. 27 показана расчетная схема балки, нагруженной распределенной нагрузкой
и изгибающими моментами
на концах.
M
0
Теория упругости. Часть II
;2)(22 cxxLccLQ ρ−=−ρ+ρ−=
2
2
y
( )
2
2
z
τ
σ
cy =
Рис. 27
Решение в элементарной теории изгиба, как и в предыдущей за-
даче, имеет следующий вид:
M
z
x
y
I
z
xyy
отс
QS
z
=τ=σ=σ
,;0;
(4.63)
I
z
где поперечная сила и изгибающий момент определяются соответственно по формулам
(4.64)
1
z
0
1
)[(2
2)(2 xLcxLcLMM
00
2
=−ρ−−ρ+=
)(
22
);()](
xLcMxLLxLcM −ρ+=−−−ρ+=
(4.65)
статический момент отсеченной части сечения,
расположенной ниже уровня
Рис. 28
том (4.64)–(4.66) примут окончательный вид
отс
z
1
=
Выражения для напряжений (4.63) с уче-
54 55
))((
+−
=
, равен (рис. 28)
−
yc
−−⋅=21
cycS
22
ycycyc −
=
)(
.
(4.66)
z
τ
σ
cy =
Задача 4. Плоская задача теории упругости. Функция напряжений
22
M
x
I
;0
0
y
==σ
−=τ=σ
xyy
xLcM
−ρ+
)(
y
I
zz
−ρ
;
22
(4.67)
ycc
)(
.
I
4.5.4. Анализ полученных решений
1. Формулы для касательных напряжений
, полученные в те-
xy
ории упругости и элементарной теории изгиба, совпали.
2. Выражение для напряжения
из соотношений (4.62) можно
x
представить в виде суммы двух слагаемых:
• первое (основное) слагаемое
осн
x
M
0
I
c
ρ
y
+=σ
I
zz
22
yxL
)(
−
(4.68)
совпадает с решением элементарной теории изгиба (4.67);
• второе (дополнительное) слагаемое
доп
x
ρ
=σ ycy
2
c
3
−
23
5
представляет необходимую поправку, учитывающую надавливание
продольных волокон друг на друга.
Если на торцах изгибающая нагрузка распределена по линейному закону, то выражение напряжения
(4.68) является точным ре-
σ
x
шением задачи.
Дополнительное слагаемое не зависит от координаты x (см. рис. 26)
и при значении
имеет следующее значение:
доп
x
ρ
=σ
2
c
3
−
23
5
cy
=
.4,0
cycy
ρ=
Второе слагаемое в выражении для напряжения
(4.62) имеет
σ
x
следующее значение:
==ρ
;;8при54
ρ
c
=σ
x
I
z
22осн
)(
yxL
=
=−
10
cL
cycxc
==ρ
.;0при150
cyxc
Теория упругости. Часть II
0=x
cx 8=
3
33
y
Рис. 29
Поправка к величине
(при
) составляет 0,27 %, а на расстоянии, равном высоте балки
от торца (при
осн
в виде
σ
x
), – 0,74 %. Следовательно, действием поверхно-
доп
в середине пролета балки
σ
x
стных самоуравновешенных нагрузок на торцах, параллельных оси x,
на напряженное состояние на расстоянии от торца, равном высоте
сечения, можно пренебречь.
3. В элементарной теории изгиба используется гипотеза об отсутствии давления продольных волокон друг на друга. В связи с этим
принимается, что напряжения
0=σ
. Однако в теории упругости
y
давление волокон друг на друга
σ
учитывается в виде напряжения
. Изменение по высоте сечения
y
этого напряжения показано на рис. 29. Его наибольшее значение воз-
никает в точке
y =
c
и равно
)(
max
cyρ
=σ
.
56 57
Задача 5. РАСЧЕТ ТОНКИХ ПЛИТ
ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ
5.1. Введение
Тело, у которого толщина мала по сравнению с другими размерами, называется тонкой плитой или пластинкой. Рассмотрим пли-
ту, которая имеет постоянную толщину h (рис. 30). Плоскость, равно-
отстоящая от верхней и нижней поверхностей плиты (делящая толщину плиты пополам), называется срединной плоскостью плиты.
Срединная плоскость
Рис. 30
Оси x и y лежат в срединной плоскости недеформированной
плиты.
Для большинства инженерных конструкций точное решение системы основных уравнений, которые получены в теории упругости,
оказывается очень трудным, а часто и невозможным. В таких случаях
приходится применять или приближенное решение системы уравнений, или принимать некоторые упрощения, более или менее справедливые лишь для определенного типа конструкций (тонкостенных стержней, тонких плит, оболочек и т. д.). Решение задачи определения
напряжений и деформаций, полученное таким образом, является приближенным. Однако опыты с конструкциями, для которых получены
Теория упругости. Часть II
3
5
min
z
σ
z
σ
σ
σ
E
xOy
nnByx,
приближенные решения, указывают, что эти решения часто оказываются вполне приемлемыми для инженерной практики.
Будем рассматривать малые деформации тонких плит под дей-
ствием нагрузок, перпендикулярных срединной плоскости.
Под малыми деформациями подразумеваются такие деформа-
ции, при которых прогибы удовлетворяют соотношению
1
.
hw <
(5.1)
Плиты называются тонкими, если их толщины удовлетворяют
соотношению
1
,
Lh <
(5.2)
min
где
– наименьший размер плиты в плане.
L
Решения рассматриваемой ниже прикладной теории тонких плит
в оговоренном диапазоне плит и величин деформаций имеют удовлетворительную для технических расчетов точность. Они получены на
основании следующих двух допущений, предложенных Кирхгофом:
1. «Гипотеза прямых нормалей». Нормали к срединной плоско-
сти до нагружения после изгиба в результате деформации не искривляются и остаются перпендикулярными срединной поверхности.
Это допущение аналогично «гипотезе плоских сечений» в теории изгиба балок. Оно представляет, по существу, пренебрежение влиянием деформации сдвига на общее напряженно-деформированное
состояние плит. Так же как и для балок, указанное допущение вносит
тем бóльшую погрешность, чем толще плита по сравнению с ее пролетами.
2. Напряжения
по площадкам, параллельным срединной плос-
кости плиты, малы по сравнению с другими компонентами напряжения, т. е.
.;
σ<<σσ<<σ
(5.3)
yzxz
Это допущение аналогично допущению теории изгиба балок о
том, что «продольные волокна не давят друг на друга». Оно может
внести ощутимую погрешность только для весьма толстых плит.
На основании допущения (5.3) в формулах обобщенного закона
Гука (3.4) можно отбросить
как величину весьма малую по срав-
58 59
σ
σ
E
xOy
B
yx,
Задача 5. Расчет тонких плит при поперечном изгибе
нению с расположенными рядом напряжениями
этого имеем
1
E
1
µσ−σ=ε
];[
yxx
(5.4)
µσ−σ=ε
].[
xyy
Откуда следует, что
E
=σ
=σ
2
µ−
1
E
2
µ−
1
εµ+ε
];[
yxx
(5.5)
εµ+ε
].[
xyy
5.2. Выражения напряжений через прогибы
срединной поверхности плиты
На рис. 31 представлена проекция на плоскость
ния произвольной точки плиты A.
и
. Исходя из
y
x
перемеще-
Рис. 31
Эта точка находилась до деформации на нормали nn, проходя-
щей через точку
(
) срединной плоскости плиты, и располага-
Теория упругости. Часть II
zBA =
AB и
xOy
xOy
x
∂
∂
),( yxww =
),( yxB
A
∂
ε
ε
γ
σσ
τσσ
ττ
yx и
лась на расстоянии
точки
, получив перемещение, займут положение
от последней. В результате деформации
и AB
на этойой
11
же нормали, которая в соответствии с первым допущением не искривляется и остается нормальной к деформированной срединной повер-
хности. Проекция нормали на плоскость
после изгиба составит
с вертикалью угол, который равен углу между осью x и линией пересечения касательной плоскости к деформированной срединной по-
верхности в точке
B
с плоскости
1
.
Этот угол ввиду малости рассматриваемых деформаций может
быть принят равным своему тангенсу, который, в свою очередь, равен
частной производной прогиба точки B по координате x (см. рис. 31).
Вследствие поворота нормали точка A получит горизонтальное
перемещение, проекция которого на ось x отрицательна, так как она
направлена в сторону, противоположную положительному направлению оси x, и это перемещение равно
w
,
−=
zu
(5.6)
где
плоскости плиты, через которую проходит нормаль
– прогиб точки
, принадлежащей срединной
1
.
Аналогично можно показать, что проекция перемещения
точки
на ось y будет равна
w
.
zv
−=
(5.7)
y
∂
Пользуясь (5.6) и (5.7), найдем компоненты линейной и угловой
деформации
1
В самом общем случае деформации плиты точка В также получит горизонтальное перемещение. Однако при действии только вертикальных нагрузок эти перемещения будут величинами высшего
порядка малости по сравнению с определяемыми и не повлияют на напряженное состояние плиты.
,
и
y
x
xy
u
∂
=ε
x
∂
xy
2
w
∂
−=
=γ
z
2
x
∂
∂
∂
∂
v
u
+
∂
x
y
60 61
v
∂
=ε
yx
y
∂
2
∂
−=
2
w
∂
;;
−=
w
∂∂
yx
z
2
y
∂
(5.8)
.2
z
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]