Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория упругости. Часть 2. Учебно-методическое пособие
.pdf
Lcq
Рис. 20
Задача 4. Плоская задача теории упругости. Функция напряжений
По условию задачи на каждом из торцов полосы действуют только
касательные нагрузки, равнодействующие которых равны
(рис. 20).
Граничные условия на правом торце:
(4.35)
;0,1ипри
==+≤≤−= mlcycLx
33
(4.36)
.0,0≠=YX
Из граничных статических условий (4.20) с учетом (4.34)–(4.36)
найдем выражения для интенсивности поверхностных нагрузок:
3
][][
LxxLxxyx
==
q
ydmlX
333
3
c
q
2
yL
+−=σ=τ+σ=
3
;
y
3
24
c
mlY
33
][][
==
3
LxxyLxyxy
4
3
q
c
q
L
+−=τ=σ+τ=
3
4
c
(4.37)
2
.
yL
Из решения (4.37) следует, что, во-первых, касательные нагрузки изменяются по параболическому закону на торце; во-вторых, имеют место и нормальные поверхностные нагрузки.
Сен-Венаном было установлено,
что изменение распределения нагрузки
на торце стержня при одном и том же
главном векторе и главном моменте внешних сил приводит лишь к появлению
других местных напряжений вблизи торцов стержня, а напряжения вдали от места приложения нагрузки остаются почти
неизменными [1, 2, 4].
В связи с этим предлагается
вместо точных граничных условий
использовать интегральные граничные условия из табл. 4.2 (см. ч. I
учебно-методического пособия). На
правом торце показаны равнодействующие поверхностных внешних
сил, имеющие положительные значения. Соотношения между этими равнодействующими и интенсивностями поверхностных сил (рис. 21) имеют следующий вид:
Рис. 21
Теория упругости. Часть II
−===
2/
h
c
σ
[ ]
3
12
[ ]
[ ]
z
+
c
==
PdyXdAX
;
∫∫
−
)(
cA
+
c
∫∫
−
)(
cA
+
c
∫∫
−
)(
cA
1
==
MdyyXydAX
;
==
PdyYdAY
.
2
В данной задаче равнодействующие поверхностных нагрузок на
правом торце (см. рис. 19) имеют следующие значения:
.;0;0
qLPMP
21
(4.39)
Рассмотрим интегральные условия (4.38) с учетом (4.37) и (4.39).
Первое условие (4.38) имеет вид
+
c
∫
−
c
2
d
3
2
3
q
2
+−
yd
3
3
qy
3
4
c
yL
3
c
2
L
24
2
+−=
2
2
q
3
=
dyy
3
c
2/
+−h
4
y
qy
3
4
c
.0
=
(4.40)
Соотношение (4.40) превращается в тождество при любом зна-
чении
, так как переменная y имеет четные степени.
d
3
Второе интегральное условие (4.38) получает следующее выра-
жение:
+
c
3
∫
−
c
3
2
yd
3
c
22
+⋅−
yLq
24
q
4
=
dyy
3
c
(4.38)
+−c
3
d
3
qy
3
3
c
4
3
2
L
3
+−=
3
5
ycqy
3
5
2
,0
=
c
откуда
d −=
3
2
3
qL
4
3
q
.
3
42 43
(4.41)
10
c
σ
[ ]
3
12
[ ]
[ ]
z
Задача 4. Плоская задача теории упругости. Функция напряжений
Наконец, третье интегральное условие (4.38) превращается в
тождество
c
+
q
Lq
q
3
Ly
+−=
c
4
3
∫
4
c
−
3
y
q
L
3
3
4
c
3
L
+−=−
c
3
c
4
c
+
c
−
q
2
dyLy
=
3
1
3
+−=
2
2
.
LqLq
−=
Если в выражение для
(4.37) вместо коэффициента
x
ставим его значение в виде (4.41), то получим
3
q
x
3
4
c
3
q
2
22
yxL
3
3
4
c
2
23
−+−=σ ycy
5
.
(4.42)
Те же результаты получаются из интегральных условий на левом торце.
Осевой момент инерции поперечного сечения будет
33
1
I
=
z
2
⋅
ch
=
(см. рис. 21). Тогда окончательные выражения для
напряжений (4.34) с учетом (4.42) будут
2
q
x
I
q
y
2
I
qx
xy
2
3
2
c
3
z
−−=τ
I
q
yxL
3
22
I
zz
1
yyc
+−−=σ
3
22
.
yc
2
2322
;
ycy
−+−=σ
32
;
5
(4.43)
Сравним полученное решение с решением методами сопротивления материалов.
d
3
под-д-
4.4.3. Решение задачи методами сопротивления материалов
Рассмотрим решение задачи об изгибе балки равномерно распределенной нагрузкой элементарными методами сопротивления материалов (см. рис. 21).
Теория упругости. Часть II
z
z
( ) ( )
[ ]
22
( )
( ) ( )
( )
[ ]
τσσ
τ
σ
[ ]
z
σ
σ
σ
Из курса сопротивления материалов известно, что
отс
M
z
x
y
I
Рис. 22
QS
z
−=τ=σ=σ
xyy
.;0;
(4.44)
I
Методами сопротивления материалов найдем внутренние уси-
лия в поперечном сечении балки, показанной на рис. 22:
• изгибающий момент
чательные формулы:
z
• поперечная сила
q
xLqLM
q
2
xL
22
;
xL
−=−−−=
;qxxLqqLQ −=−+−=
• статический момент отсеченной части сечения
1
1
z
−+−=
2
1
2
22
.
ycycyycS
−=
Следовательно, для напряжений (4.44) получим следующие окон-
2
L
q
x
42
I
z
−=σ
yx
;0;
44 45
qx
xyy
2
I
z
yc
−−=τ=σ
222
.
(4.45)
τσσ
τ
σ
[ ]
z
σ
σ
σ
Задача 4. Плоская задача теории упругости. Функция напряжений
4.4.4. Анализ полученных решений
Сравнивая выражения для напряжений
,,
, полученные
xyyx
методами теории упругости и сопротивления материалов, можно сделать
следующие выводы:
1. Касательные напряжения
, определяемые методами сопро-
xy
тивления материалов и теории упругости, полностью совпадают. Распределение этих напряжений по высоте
поперечного сечения показано на рис. 23.
2. Выражение для напряжения
, полученное методами тео-
x
рии упругости, состоит из двух слагаемых:
• первое слагаемое (основное)
Рис. 23
совпадает с напряжением
q
x
I
2
, полученным элементарной теорией из-
x
22осн
yxL
−=σ
гиба (см. рис. 23);
• второе слагаемое (дополнительное)
q
x
I
2
z
2
2
3
23доп
−=σ ycy
5
q
3
ycy
3
c
2
1
1
−=
3
23
(4.46)
5
представляет поправку, которая не зависит от координаты x
(рис. 24). Эта поправка отсутствует в элементарной теории изгиба,
которая предполагает отсутствие надавливания волокон друг на друга. Между тем из решения теории упругости (4.43) видно, что между
этими волокнами действуют сжимающие напряжения
ление сжимающих напряжений
по высоте полосы, показанноее
y
. Распреде-
y
на рис. 24, не зависит от продольной координаты x.
Теория упругости. Часть II
σ
;0=x
cy =
[ ]
zz
2
c
3
L
L
,2ch =
σ
cL 10=
σ
cycx == и8
[ ]
σ
cL 10=
ch 2=
Оценим влияние
:
где
σy
q
c
2
c
2
c
2
c
2
доп
σ
x
)( cc
x
max
2
q
I
2
cqL
I
−
+=
15
I
I
W
z
0,5 q
Рис. 24
на
32
)35(
cq
z
;
27
q
32
+0,087 q
5
+0,2 q
q
32
)(
x
cL
0
2
M
max
W
M
max
max
q
I
zzz
==
доп
σ
x
–0,2 q
–0,087 q
, которое возникает при
2
1
qL
2
3
4
+=
15
2
.
332
−+−=σ
c
L
=
5
2
,
(4.47)
2
Из табл. 4.1 видно, что влияние
доп
σ
x
при
c
<
становится мень-
1
ше 3 % и им можно пренебречь.
Таблица 4.1
2
c
4
+
Влияние
c
L
2
4
c
15
2
L
1
+
1
1,0027 1,017 1,030 1,067
на величину (σх)
2
15
1
10
в формуле (4.47)
max
1
4
1
3
1
2
Таким образом, при расчете балок, длина которых L2 меньше
трех высот
решение (4.43) для нормальных напряжений ис-
пользовать нельзя.
46 47
σ
cL 10=
σ
cycx == и8
[ ]
σ
cL 10=
ch 2=
Задача 4. Плоская задача теории упругости. Функция напряжений
3. Полученное решение (4.43) является точным, если по торцам
приложены касательные нагрузки, изменяющиеся по параболическому закону, а также взаимно уравновешенные нагрузки, параллельные
оси x. Эти нагрузки по способу приложения отличаются от нагрузок,
действующих на рассматриваемую балку. Поэтому это решение на
основании принципа Сен-Венана пригодно для описания напряженного состояния только в точках, достаточно удаленных от торцов.
4. Найдем влияние на напряжения
взаимно уравновешенных
x
нагрузок, действующих вдоль оси x, на расстоянии 2c от торца и при
длине балки, равной
Из выражения
x
.
(4.43) в точке при
найдем:
• основное слагаемое
3
q
x
2
I
z
22осн
)8()10(
q
ccc
36
3
4
c
27
q
2
c
;
==−=σ
c
• дополнительное слагаемое или поправка
3
доп
x
q
3
2
c
Поправка для напряжений
−=σ
3
cc
за счет учета взаимно уравнове-
x
q
33
.
=
55
c
1
1
шенных сил на торце составляет всего
доп
σ
x
осн
σ
x
1
%100
=
275
⋅
=
%.74,0%100
Поэтому влиянием на нормальные напряжения в полосе длиной
взаимно уравновешенных сил, приложенных на торце, ужее
на расстоянии, равном
, можно пренебречь.
4.5. Изгиб прямоугольной полосы под действием
собственного веса
4.5.1. Постановка задачи
Прямоугольная полоса с узким поперечным сечением опирает-
ся шарнирно по концам (рис. 25). Она изгибается под действием соб-
Теория упругости. Часть II
.0;;0 =ρ== ZYX
z
1=b
τσσ
ϕ
ϕ
ϕ
=−⋅
ϕ
ϕ
;; LxLcy +≤≤−−=
11
==−==
;; LxLcy +≤≤−+=
22
ственного веса с интенсивностью ρ, т. е. на единичный объем в каждой точке тела действуют объемные нагрузки, интенсивность которых равна
(4.48)
Кроме того, на торцах приложены нагрузки, сводящиеся к па-
M
рам сил с моментом
.
0
Рис. 25
Полагаем, что напряженное состояние полосы является плоским
и не изменяется вдоль координаты
сы по координате z принята равной единице, т. е.
Требуется определить компоненты напряжений
. Поэтому ширина сечения поло-
.
,,
ме-
xyyx
тодами теории упругости и сопротивления материалов.
4.5.2. Решение задачи
Покажем, что задачу о напряжениях в указанной полосе можно
решить, используя функцию напряжений
, заданную в виде суммы
полиномов:
d
5
6
1
−=ϕ
b
523
yxy
3
d
2
yx
3
3
y
++
. (4.49)
625
Убедимся вначале, что при помощи этой функции можно описывать напряженное состояние полосы без разрывов и трещин. Для
этого подставим функцию напряжений
в основное уравнение (4.26)
плоской задачи
4
ϕ∂
+
4
∂
4
ϕ∂
∂∂
48 49
4
ϕ∂
+
22
∂
02
=
.
4
yyxx
ϕ
=−⋅
ϕ
;; LxLcy +≤≤−−=
11
==−==
;; LxLcy +≤≤−+=
22
Задача 4. Плоская задача теории упругости. Функция напряжений
Производные от функции
, входящие в это уравнение, имеютт
следующие значения:
4
ϕ∂
;0
4
∂
;4
ydy−=
5
4
ϕ∂
22
yx=∂∂
.2
yd
5
∂ϕ∂x
4
=
4
Подставим их в уравнение сплошности (4.26) и получим
.0422
ydyd
55
Поскольку уравнение сплошности обращается в тождество при
любых значениях коэффициентов
, то функция (4.49) опи-
,, ddb
533
сывает напряженное состояние без разрывов и трещин.
Неизвестные постоянные коэффициенты
определим из
,, ddb
533
статических граничных условий на контуре полосы (4.20):
mlX
τ+σ=
xyx
.;mlY
σ+τ=
yyx
Вначале выразим через функцию ϕ напряжения, входящие в
правую часть граничных условий (4.20). После подстановки функции
(4.49) в формулы (4.25) получим:
2
ϕ∂
=σ
2
y
∂
−=τ
xy
53
2
ϕ∂
yx
∂∂
2
32
;
yyxdyd
−+=
3
2
53
2
ϕ∂
=σ
yx
2
x
∂
2
)(
53
.)(
xydb
ρ−−−=
1
3
;
ydyb
+=
53
3
xxydbYxyX
=ρ−−−=−−
(4.50)
Постоянные коэффициенты, входящие в выражения (4.50), должны обеспечить равенство внутренних и внешних сил на контуре
полосы. Условием выполнения такого равенства является соблюдение статических граничных условий, в которые кроме напряжений
входят направляющие косинусы и интенсивности внешних нагрузок
(см. рис. 31):
на верхней грани: при
(4.51)
;0;1;0
YXml
на нижней грани: при
(4.52)
.0;1;0
==+== YXml
Теория упругости. Часть II
3
τσσ
2
2
2
c
c
ρ
ρ
2
c
Lx ±=
yx иcy
2cc
Граничные условия (4.20) для верхней грани с учетом (4.51) име-
ют следующий вид:
11
11
=τ+σ
−=
cyxyx
=σ+τ
−=
cyyyx
;)(
Xml
⇒
;)(
Yml
(
2
53
1
xcdb
3
cdcb
53
=−−−
откуда
ρ
2
cdb
53
1
2
cdb
−=
53
3
b
;
;
ρ−−=
⇒
;
=
3
2
d
5
(4.53)
ρ
3
−=
.
2
c
2
При рассмотрении граничных условий на нижней грани полу-
чим те же значения для коэффициентов
Для напряжений
,,
(4.64) с учетом (4.67) получим сле-
xyyx
.
, db
53
дующие выражения:
3
−=σ
x
(
−=τ
xy
yd
3
=σ
y
3
3
ρ
+
(
2
c
2
ρ
y
−
2
2
ρ
2
)
xy
2
2
32
yyx
);
−
3
ρ
3
y
;
2
c
3
ρ
−=
−
2
22
.)(
xyc
;0)1()(
=−ρ−−−
,0)1)(
(4.54)
Чтобы определить коэффициент
шних нагрузок
, например, на правом торце. Для этого подста-
YX ,
, найдем интенсивности вне-
d
3
вим выражения напряжений (4.54) и значения направляющих косинусов внешней нормали
в граничные статические
0;1
=+= ml
33
условия (4.20)
τ+σ=
mlX
σ+τ=
mlY
;)(
=
Lxxyx
33
33
⇒
;)(
=
Lxyyx
(
−=
Y
3
−=
ydX
3
ρ
3
2
(
2
c
2
2
32
+−
yyL
3
22
+−
).1()(
Lyc
50 51
);1()
(4.55)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]