Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебное пособие-1
.pdf
Решение
e
23
++
z № 0
++
z00=
z = 0
z = 0
Используем разложение в ряд Тейлора функции
23
=+ +++1
zz z
!!!
123
...
z
e
Задача № 9
z
:
Заменим в разложении z на
1
:
z
1
z
e
1121
1
=+ +++
zz z
3
!!
...
Тогда
1
z
ze z
Ч=++
Данное разложение имеет место при любом
Ответ:
1
z
ze z
Ч=++
1
2
1
zz
3!!
1
1
2
1
zz
2
3!!
...
.
1
...
2
Задача № 9
z
()
sin
=
.
z
Определить тип особой точки
для функции
fz
Решение
Особой точкой является точка
. В данной точке функция
не определена. Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности дан‑
ной точки:
357
sin
zzz
= -+-+
357
!!!
...zz
Тогда
sin
z
=- +-+1
z
246
zzz
!!!
357
...
Так как в разложении отсутствует главная часть, то точка
ляется устранимой особой точкой.
Данный результат следует и из определения устранимой особой
точки:
81
яв‑
7. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА РАСЧЕТНОЙ РАБОТЫ
==
z = 0
01
=+
1212 12 12+- =+--=- ++iz ixiy xi y() ()
yy
=- =+
12
()
xx
,(
3
()
()L
lim
z
®
0
sin
z
1
.
z
Ответ:
является устранимой особой точкой.
Задача № 10
Вычислить интеграл
(),: ,,12
+- ==
izdz AB yxzz i
т
AB
Решение
Выделим действительную и мнимую части у подынтегральной
функции:
uxyxvx
(,),(, )
12
Вычислим интеграл, используя формулу (3.2):
()()() ()
12 12 12 12 12+- =- -+ ++ ++
Так как
()(()()12 12 12 12 12 2
тт
Ответ:
izdz xdxydy iydx xdy
2
yxdy xd
== <<
1
-+2
й
л
0
4
+- =--+
izdz xxdx ix xxdxAB==- +т2
201
i
.
2
щ
ы
2
AB
.
ттт
ABABAB
)
, то
1
й
+++-
л
0
2
.
,
щ
ы
.
4
i
.
3
Задача № 11
Вычислить, используя основную теорему о вычетах,
ln
где
– окружность
||z=1
.
z
z
L
82
+т3
2
,
Решение
z00=
=
00
ii
pp
zz
()-+
11
()L
||
12
()
z11=
zi
=
zi
=-
z11=, zi
=
zz
12
,
zz
®®
22
22
pp
В круге
го порядка. Найдем вычет в точке
||z=1
содержится одна особая точка
ln()
+
() lim
resf zz
0
ж
з
zzz
0
®®®
и
z
2
2
z
z00
:
ў
3
ц
limln( )lim=
=+
ч
ш
z
()
ў
3
=
Вычислим интеграл:
Ответ:
3
=Ч=
2
т
z
L
2
pi
.
132
2
.
3
ln()z
+
3
Задача № 12
Вычислить, используя основную теорему о вычетах,
Задача № 12
— полюс второ‑
1
.
zz +=313
где
— окружность
т
L
zi-- =
dz
22
()
.
,
Решение
Разложим знаменатель подынтегральной функции на множители:
()()()()
Особые точки функции:
простой полюс,
ся точки
resz
=-
1
3
2
ж
lim( )
з
1
и
res
1
22 2
1111
zz zzizi-+=--+
.
— полюс второго порядка,
— простой полюс. Внутри контура L находят‑
. Найдем вычеты в точках
ў
2
1
()()
=
lim
®
zi
i
1
22
zz
11
-+
1
zzii i
-+=-
()()()
1
ц
=
ч
ш
ж
lim
з
1
()
и
1
1214
z
:
ц
z
2
-
22
+
=
=-
ч
1
шш
.
1
2
,
Вычислим интеграл:
т
L
dz
22
zz
()()
-+
11
ires fz resf zi
(()())
=+=-+
1
i
ж
з
и
121
ppi
ц
=-
ч
4
2
ш
—
2
.
83
7. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА РАСЧЕТНОЙ РАБОТЫ
p
2
ez
()
zz
()
4
2
Fz()
и
ш
27
p
i
Ответ:
-
.
Задача № 13
Вычислить интеграл
2
p
Решение
Используя подстановку
p
2
где
тт
0
Lz xFz
:| |, ;()
=ЈЈ=
dt
(cos )( )
54
+
ti
00 2
2
p
т
+
0
ix
=
4
=
22
zz i
4104
L
++
4104
zz
()
dt
.
2
t(cos )54
, получим
zdz
=
z
22
++
4
iresFz
2
p
е
k
=
ж
16
з
и
n
=
1
+
,
k
z
1
ц
ч
2
ш
.
+
2
Внутри единичного круга находится только один полюс (двукрат‑
ный):
22
Найдем вычет функции
() lim
resF z
z
1
=
z
1
zz
=
®
554
-+ -
относительно этого полюса:
ж
з
1
()
-
zz z
4
()()
2
--
zz zz
1
1
=-
2
1
.
ў
ц
5
=
ч
2
2
.
108
Итак,
2
p
Ответ:
dt
т
+
0
5
.
=Ч =
2
t(cos )54
84
5
8
p
p
108527
.
Вычислить интеграл
()
22
22
()
zi= 3
zz
и
ш
85
p
54
Решение
Функция
1
x +
Задача № 14
+Ґ
dx
т
x
-Ґ
является аналитической в верхней полуплоско‑
9
.
9+
Задача № 14
сти, за исключением полюса
ного полюса:
ж
()
-
() lim
resf z
i
3
=
zi
з
®®
zi zi
22
3
()
Итак,
+Ґ
Ответ:
.
dx
22
т
x
()
-Ґ
9
. Найдем вычет относительно дан‑
2
ў
ц
3
+
=
ч
9
i
2
=-
p
lim
ж
з
и
3
10
ж
з
и
i
ў
ц
1
ч
2
3
()
i
+
шш
p
ц
=
ч
ш
.
4+
=-
i
108
.
85
8. РАСЧЕТНАЯ РАБОТА ПО КУРСУ «ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО»
01<Ј
22
Wz
=-
fz
()
еy
()
()
+
z = 0
8. Расчетная работа по курсу
«Функции комплексного переменного»
Вариант 1
1. Показать на комплексной плоскости множества, заданные сле‑
дующими неравенствами:
zi+<2
2. Определить действительную и мнимую части комплексного числа
Rez
,
.
1
.
1- i
3. Решить уравнение
63
zz
0++=
.
4. По условиям Даламбера — Эйлера доказать аналитичность функ‑
ции и найти ее производную:
2
5. Найти аналитическую функцию
iz
.
, действительная часть ко‑
торой равна
х
3
sin
.
6. Исследовать сходимость ряда
Ґ
й
lnn
е
n21
=
к
n
к
л
n
щ
i
1+-
()
ъ
n
ъ
ы
.
7. Найти и построить круг сходимости
zi
+
+
i
n
.
+
1
n
Ґ
е
n
=
23
1
ки
8. Функцию
2
z
sin p
z
разложить в ряд Лорана в окрестности точ‑
1
z
z00=.
9. Определить тип особой точки
86
для функции
z5
e
1
-
z
1
--ch
.
2
z
2
10. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного
{}
zz
e.
()
32
()
()
2
22
91
()
по данной кривой:
;
т
L
L — граница области:
z
12 0<< >
,R
z
dz
11. Вычислить, используя основную теорему о вычетах,
Вариант 1
где
L
— окружность
z=2
sin z
т
ж
L
z
з
и
.
dz
,
3
p
ц
-
ч
2
ш
12. Вычислить, используя основную теорему о вычетах,
L
где
— окружность
13. Вычислить интеграл
14. Вычислить интеграл
т
L
zi e
=+
dz
zzz
()
3
it
.
2
p
dt
-тsin
0
+Ґ
dx
т
xx
+
-Ґ
()
,
4+
+
.
t35
.
2
+
87
8. РАСЧЕТНАЯ РАБОТА ПО КУРСУ «ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО»
-Ј
4
<Ј
p
+=
Wz
ee
zz
2
fz
()
xx
32
()
()
zi
zi
z = 0
44
zz
ez
-
Вариант 2
1. Показать на комплексной плоскости множества, заданные сле‑
дующими неравенствами:
zi
1, 0
argz
.
2. Определить действительную и мнимую части комплексного
числа
3
i
1
-
ж
ц
з
1
и
.
ч
i
+
ш
3. Решить уравнение
z416 0
.
4. По условиям Даламбера — Эйлера доказать аналитичность функ‑
ции и найти ее производную:
-
==
sh
5. Найти аналитическую функцию
-
.
, действительная часть ко‑
торой равна
y
3-
.
6. Исследовать сходимость ряда
2
Ґ
й
nin
е
n
+
к
n
2
=
1
л
ln
n
щ
.
ъ
2
ы
7. Найти и построить круг сходимости
8. Функцию
ки
0
9. Определить тип особой точки
2=-.
n
2
.
-
1
n
i
z
cosp
Ґ
zi
-+
е
+
43
=
1
n
z
разложить в ряд Лорана в окрестности точ‑
+ 2
88
для функции
sin
z
--
.
1
Вариант 2
zi
()
s;
zz zi
==-=01,,.
()
()
()
ze
()
10. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного
по данной кривой:
т
ABC
ch
z
+
co
ABC — ломаная,
AB C
11. Вычислить, используя основную теорему о вычетах,
cosz
где
L
– окружность
z=1
т
L
.
dz
,
3
z
12. Вычислить, используя основную теорему о вычетах,
L
где
– окружность
13. Вычислить интеграл
14. Вычислить интеграл
т
zzz
-
132
()
L
=+44
()
it
.
2
p
т
-
0
+Ґ
т
2
xx
-Ґ
zdz
-
dt
sin
2
x
11+
++
,
+
.
t322
dx
.
2
89
8. РАСЧЕТНАЯ РАБОТА ПО КУРСУ «ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО»
-Ј
02<<Im z
-=
Wz
fz
()
()
()
()
45
zz
()
z02= .
z = 0
s.
Вариант 3
1. Показать на комплексной плоскости множества, заданные сле‑
дующими неравенствами:
zi
2. Определить действительную и мнимую части комплексного
числа
3. Решить уравнение
2
,
ж
1
-
з
з
2
и
3
ц
3
i
.
ч
ч
2
ш
.
z664 0
.
4. По условиям Даламбера — Эйлера доказать аналитичность функ‑
ции и найти ее производную:
2
5. Найти аналитическую функцию
=
.
, действительная часть ко‑
торой равна
22
xy x
2-+
.
6. Исследовать сходимость ряда
Ґ
й
1
к
tg
е
n
=
1
+
n
к
л
n
21
щ
i
ъ
.
2
ъ
+
ы
7. Найти и построить круг сходимости
n
n
Ч
.
n
i
8. Функцию
cos
Ґ
zi
+
е
43
=
n
2
42-
разложить в ряд Лорана в окрестности точ‑
2
z
-
-
1
ки
9. Определить тип особой точки
90
для функции
z
2
z
5
4
co
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]