Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебник
.pdf
1.2. Базовые индивидуальные задания 171
2)
а) 3i Re z + (2 + 3i)z + 4 Im z = 13 + 16i, б) z2−3z + 3 − i = 0;
3) а) |z| + z = 5 + 5i, б) z2− (2 − 2i)z + 1 −2i = 0;
4) а) zz + z = 11 + 3i, б) z2− (1 + 3i)z − 2 + i = 0;
5) а) −2i Re z + (1 + 2i)z + Im z = 2 − i, б) z2+ z + 1 − i = 0;
6)
а) 3i Re z + (1 +3i)z + Im z = 9 + 4i, б) z2−(2 −2i)z −3 −6i = 0;
7)
а) −i Re z +(−1 + 2i)z + 3 Im z = −8 −4i, б) z2−2z +1 + 2i = 0;
8) а) zz − 2z = 12 −4i, б) z2− (1 + 2i)z − 3 + i = 0;
9) а) |z| − z = 2 + 2√3i, б) z2+ (1 + i)z − 6 −2i = 0;
10) а) zz + iz = 7 −i, б) z2− (1 − 4i)z − 3 −i = 0;
11) а) |z| + z = 2 + 2√3i, б) z2+ (1 + 3i)z − 2 − 3i = 0;
12) а) −i Re z + (2 − 2i)z + Im z = 1 − 5i, б) z2− 5z + 7 + i = 0;
13) а) zz + 3iz = 4 + 6i, б) z2+ (5 − 2i)z − 10i = 0;
14) а) |z| − z = 5 + 5i, б) z2− 4z + 1 − 4i = 0;
15) а) 2i Re z + (1 + 3i)z + 3 Im z = 9 + 14i, б) z2− z + 4 − 2i = 0;
16) а) zz − 2iz = 12 + 6i, б) z2− 2iz −1 + 8i = 0;
17) а) z| − 2z = −√3i, б) z2− (4 + 2i)z + 2 + 4i = 0;
18) а) zz + 3iz = 14 −6i, б) z2− (4 − 2i)z + 3 − 2i = 0;
19)
а) 4i Re z + (2 + 2i)z − Im z = −1 −8i, б) z2+ 2iz + 2 + 4i = 0;
20)
а) 2i Re z + (3 −i)z + 3 Im z = −15 + 6i, б) z2−2iz −1 + 2i = 0.
13. Изобразить на комплексной плоскости следующие множества точек:
1) {z : 2 < |z − i| < 4}; 2) { z : 1 < |z| < 2};
o
3)nz : 0 < arg(z − i) <
5) {z : |z − i| > 1}; 6
o
7)nz : arg z =
π
4
π
; 4) {z : 0 < Re(iz) < 1};
4
) {z : |z − i| = |z + i|};
; 8
)nz :
π
4
< a
rg z <
o
π
;
2
172 Глава 1. Комплексные числа и действия над ними
9) {z : z · z = 4}; 10) {z : (z − i)(z − i) = 16};
11) {z : Re z + Im z > 1}; 12) {z : 2 Rez + Im z = 1};
13) {z : |z + 1| = |z − 1|}; 14) {z : 1 < Im z < 4};
15) {z : Im z + Re(z + i) < 3}; 16) {z : Im(z + i) + Re(z + 1) = 1};
o
17)nz : 0 < arg(z − i) <
π
; 18) {z : Re z < Im z};
2
19) {z : Re z = Im z}; 20 ) {z : |z + 1| = |z − i|}.
14. Определить кривые, которые задаются следующими параметри-
ческими уравнениями, изобразить их на комплексной плоскости.
i
1) z = 1 + 2eit, t ∈h0,
π
; 2) z = i + eit, t ∈ [0, π];
4
3) z = t + i, t ∈ [0, 1]; 4) z = (1 − t) + ti, t ∈ [−1, 1];
5) z = t2+ ti, t ∈ [0, 1]; 6) z = t + i√t, t ∈ [0, 4];
7) z = 2 + (1 − t)i, t ∈ [0, 1]; 8) z = 2 + 2ti, t ∈ [0, 5];
9) z =
1
+ ti, t ∈ (0, +∞); 10) z = 2(eit+ e
t
−it
), t ∈ [0, π];
11) z = t + 3i, t ∈ R; 12) z = t + 4t2i, t ∈ [0, 2];
13) z = 2eit+
15) z = eit+ 2e
−it
e
, t ∈ [−π, π]; 14) z = 2eit+ e
2
−it
, t ∈ [0, π]; 16) z = −1 + eit, t ∈h0,
−it
, t ∈ [0, π];
π
4
i
;
1
17) z = t + it3, t ∈ [0, 1]; 18) z = t3+ it, t ∈ [0, 1];
19) z = t + i ln t, t ∈ [0, e]; 20) z = t + iet, t ∈ [0, 1].
1.3. Задания для самостоятельной
работы
15. Решить уравнения:
1) z4+ iz2+ 2 = 0; 2) z6+ iz3− i = 0; 3) |z + 2i| + z = 4;
4) (1 + i)n= (1 − i)n, n ∈ Z.
1.3. Задания для самостоятельной работы 173
16. Используя формулу Муавра (1.5), выразить sin kx, cos kx через
степени sin x, cos x, если:
1) k = 3; 2) k = 4; 3) k = 5; 4) k = 6; 5 ) k = 7.
17. Выразить sinkx, coskx через тригонометрические функции крат-
ных углов, если:
1) k = 3; 2) k = 4; 3) k = 5; 4) k = 6; 5 ) k = 7.
18. Найти суммы:
1) sin x + sin 2x + . . . + sin nx; 2) cos x + cos 2x + . . . + cos nx;
3) sin x + sin 3x + . . . + sin(2n −1)x;
4) cos x + cos 3x + . . . + cos(2n − 1)x;
5) sin x − sin 2x + . . . + (−1)
n−1
sin nx;
6) sin x + sin(x + y) + . . . + sin(x + ny);
7) cos x + cos(x + y) + . . . + cos(x + ny).
19. Изобразить на комплексной плоскости множества точек:
1) {z : |z| = Re z + 1}; 2) {z : |2z| > |1 + z2|};
3) {z : |z| < arg z, 0 6 arg z < 2π};
4) {z : |z| < arg z, 0 < arg z 6 2π}; 5) {z : |z|2− Im z 6 0};
6) {z : |z|2+ Im z = 4}; 7)z : Im
8) {z : |z − i| + |z + i| < 4}; 9)nz :
z − 1
= 0, Re
z − 2
π
< arg(z + i) <
4
z − 1
z − 2
= 0;
o
π
2
.
20. Доказать следующие соотношения и (если это возможно) выяснить их геометрический смысл:
1)
|z1| −|z2|
3) |z − 1| 6
6 |z1− z2|; 2)
|z| − 1
+ |z| ·| arg z|;
z
|z|
− 1
6 |arg z|;
4) |z1+ z2|2+ |z1− z2|2= 2(|z1|2+ |z2|2);
174 Глава 1. Комплексные числа и действия над ними
5) |1 −z1z2|2− |z1− z2|2= (1 − |z1|2)(1 −|z2|2);
6)
1
2
(|z1| + |z2|)
z
|z1|
1
Р е ш е н и е п. 1. Пусть точки z1и z2лежат в одном квадранте
(рис. 1.7).
Точки A и B лежат на окружности с центром в нуле и радиусом |z1|.
Точки C и D лежат на окружности с центром в нуле и радиусом |z2|. Очевидно, что AC = |z1− z2|, BD =
увидеть, что AC > BD (равенство будет в случае, когда A и C лежат на одном луче). Аналогично рассматриваются случаи, когда точки z1и z2лежат
в разных квадрантах.
z
2
+
|z2|
y
O
6 |z1+ z2|.
A
b
z
1
z
B D
b b
|z1| |z2|
Рис. 1.7
|z1| − |z2|
C
b
2
x
. С помощью рис. 1.7 легко
1.4. Задания творческого характера
21. Пусть в точках z1, z2, . . . , znкомплексной плоскости помещены
материальные точки с массами λ1, λ2, . . ., λnсоответственно. Доказать, что центр тяжести такой системы материальных точек
находится в точке
λ1z1+ λ2z2+ . . . + λnz
ξ =
λ1+ λ2+ . . . + λ
n
.
n
22. Вычислить сумму
1 + C
1
cos x + C
n
2
cos 2x + . . . + C
n
n
cos nx.
n
23. Доказать, что число
p = (n2+ 1)(m2+ 1)(l2+ 1), n, m, l ∈ Z,
можно представить в виде суммы двух точных квадратов.
1.4. Задания творческого характера 175
24. Доказать, что
arg z = 2 arctg
b
a + |z|
,
если z = a + ib 6∈ (−∞, 0].
25. Доказать, что существуют два неравных комплексных числа,
каждое из которых равно кубу другого. Определить количество
таких пар чисел.
26. Студент П. рассуждает: «Очевидно, чт о
21
21
4
i21= (i4)
= 1
4
= 1,
однако
i21= (i4)5· i = 15· i = i,
следовательно, i = 1». Объяснить, в чем заключается его ошибка.
27. Доказать, что для любых a, b, c ∈ R
p
a2+ b2−pa2+ c
2
6 |b − c|.
28. Задача Эйлера. Изв естно, что в каждом параллелограмме сумма
квадратов его диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. На сколько отличаются те же суммы в случае произвольного
четырехугольника? Доказать, что справедливо следующее утверждение (теорема Эйлера о четырехугольнике): сумма квадратов
сторон любого четырехугольника больше суммы квадратов его
диагоналей на учетверенный квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей.
29. Пусть z1, z2, z3∈ C. Объяснить геометрический смысл равенства
z1− z
z1− z
2
3
= 0?
Im
30. Доказать теорему Птолемея: в каждом вписанном в окружность
четырехугольнике сумма произведений противоположных сторон равна произведению его диагоналей.
Глава 2
Элементарные
трансцендентные функции
2.1. Задания для аудиторной работы
31. Вычислить числа и изобразить на комплексной плоскости:
1) Ln(−1), ii; 2) Ln i, (1 − i)i; 3) Ln(1 + i), (−1)i;
4) Ln(1 −i), 1−i; 5) Ln(1 + i√3), (1 + i)i; 6) Ln(− i), i
Р е ш е н и е п. 1. По определению 2.11
Ln z = ln |z| + i arg z + i2kπ, k ∈ Z,
где главное значение аргумента arg z ∈ (−π, π]. Поскольку | − 1| = 1,
arg(−1) = π, то
Ln(−1) = ln 1 + iπ + i2kπ = i(π + 2kπ), k ∈ Z.
При возведении в степень поступим следующим образом (см. п. 2.4.4т):
zα= e
поэтому
ii= e
Из определения логарифма следует, что
Ln i = ln |i| + i arg i + i2kπ = ln 1 + i
поэтому
ii= e
π
2kπ
i·i
+
(
2
π
−
)
= e
Самостоятельно схематично изобразите полученные числа.
т
α Ln z
,
i Ln i
.
π
+ i2kπ = i
2
2mπ
+
2
, m = −k ∈ Z.
π
+ 2kπ, k ∈ Z,
2
−1+i
.
2.1. Задания для аудиторной работы 177
32. Найти Re f (z) и Im f (z) функции w = f (z) (в случае, если f (z)
многозначна, считать, что f (z) — ее главная ветвь), если:
1) а) w = iz2, б) w = ch iz, в) w = zi;
2) а) w =
z + i
, б) w = sh z, в) w = iz;
z − i
3) а) w = (iz)2− 2z, б) w = cos iz, в) w = (−1)z;
4) а) w =
1
+ z, б) w = sin iz, в) w = (1 + i)z;
z
5) а) w = z · z + iz, б) w = sh iz, в) w = (1 − i)z;
6) а) w =
z
, б) w = cos z, в) w = z
z + 1
Р е ш е н и е п. 1. а) Положим z = x + iy, тогда
w = iz2= i(x + iy)2= i(x2+ i2xy − y2) = −2xy + i(x2− y2),
отсюда
Re w = −2xy, Im w = x2− y2.
б) Положим z = x + iy. Учитывая формулы для гиперболических
функций (см. п. 2.4.2т), получим
w = ch iz = ch i(x + iy) = ch(ix − y) = ch ix ch y − sh ix sh y.
1+i
.
Осталось применить формулы связи гиперболических и тригономет-
рических функций
ch ix = cos x, sh ix = i sin x,
окончательно
w = cos x ch y − i sin x sh y,
т.е.
Re w = cos x chy, Im w = − sin x sh y.
в) Пусть z = |z|e
i arg z
, arg z ∈ (−π, π]. По определению степенной функ-
ции (см. п. 2.4.4т)
w = zi= e
тогда
i ln z
i(ln |z |+i arg z )
= e
Re w = e
= e
− arg zei ln |z|
= e
−arg z
cos(ln |z|), Im w = e
−arg z +i ln |z|
= e
=
−arg z
(cos(ln |z|) + i sin(ln |z|)),
−arg z
sin(ln |z|).
178 Глава 2. Элементарные трансцендентные функции
33. Доказать с леду ющие равенства:
1) Arccos z = −i Lnz +pz2− 1; 2) s in2z + cos2z = 1;
i
3) tg iz = i th z; 4) ch2z − sh2z = 1; 5) Arctg z =
1
6) Arth z =
Р е ш е н и е п. 1. По определению (см. п. 2.4.5т) Arccos z — такое число
w, что
Учитывая опред еление cos w, последнее равенство перепишем в виде
Выразим w из этого уравнения, сделаем замену:
Получим и решим уравнение относительно t:
Дискриминант этого уравнения D = 4z2− 4, поэтому его решениями
будут
Здесь корень принимает два значения и правая часть может быть пе-
реписана в виде
но обычно это не делают, а указывают соответствующую ветвь квадратного
корня. Далее, учитывая замену, получим
1 + z
Ln
2
1 −z
t +
.
cos w = z.
−iw
eiw+ e
eiw= t.
1
= 2z, t2− 2zt + 1 = 0.
t
t = z +pz2− 1.
t = z ±pz2− 1,
= z.
2
i + z
Ln
2
i −z
;
откуда следует, что
iw = Lnz +pz2− 1, w = −i Lnz +pz2− 1,
т.е.
Arccos z = −i Lnz +pz2− 1,
то и требовалось доказать.
ч
eiw= z +pz2− 1,
2.1. Задания для аудиторной работы 179
Р е ш е н и е п. 2. По определению (см. п. 2.4.2т)
sin z =
eiz− e
2i
−iz
, cos z =
eiz+ e
2
−iz
.
Возведем оба равенства в квадрат:
sin2z =
2iz
e
− 2 + e
−4
−2iz
, cos2z =
e
2iz
+ 2 + e
4
−2iz
.
Сложим:
sin2z + cos2z =
1
2iz
−e
4
+ 2 − e
−2iz
+ e
2iz
+ 2 + e
−2iz
1
=
· 4 = 1,
4
что и требовалось доказать.
34. Найти все значения функций:
1) Arcsin i; 2) Arccos i; 3) Arccos 2; 4) Arth i;
5) Arch 2i; 6) Arcsin
Р е ш е н и е п. 1. Воспользуемся формулой (см. п. 2.4.5т):
Arcsin z = −i Ln iz +pz2− 1,
получим
1
.
2
Arcsin i = −i Ln i(i +√−2) = −i Ln i(i ± i√2) = −i Ln(−1 ±√2).
Заметим, что
Ln(√2 − 1) = ln(√2 −1) + i2kπ, Ln(−√2 −1) = ln(√2 + 1) + iπ + i2kπ,
поэтому
Arcsin i = −iln(√2 − 1) + i2kπ= 2kπ − i ln(√2 −1),
Arcsin i = −iln(√2 + 1) + iπ + i2kπ= π + 2kπ − i ln(√2 + 1), k ∈ Z.
35. Решить уравнения:
1) cos z = 2; 2) sin z + cos z = 2; 3) ch z − sh z = 1;
4) sh z − ch z = 2i; 5) th z = i; 6) sin z −cos z = 3;
7) sin z − cos z = i; 8) sh z + ch z = i.
180 Глава 2. Элементарные трансцендентные функции
Р е ш е н и е п. 1. Очевидно, что
z = Arccos 2.
Для нахождения этих значений воспользуемся формулой (см. п. 2.4.5т)
Arccos z = −i Lnz +pz2− 1,
определением логарифма и тем, что ln(2 ±√3) = ±ln(2 +√3), поэтому
Arccos 2 = −i Ln2 ±√3.
Получим
z = −i Ln2 ±√3= −iln2 ±√3+ i2πk= 2kπ ± i ln(2 +√3), k ∈ Z.
Р е ш е н и е п. 2. Разделив обе части уравнения на√2, получим
1
√
sin z +
2
или
cosz −
Теперь поступим так же, как и при решении предыдущей задачи:
=
√
2 ±1=
π
− iln
4
√
2 ±1+ i2πk=
z =
π
4
− i Ln
1
√
cos z =√2,
2
π
=√2.
4
π
+ 2kπ ± i ln(√2 + 1), k ∈ Z.
4
2.2. Базовые индивидуальные задания
36. Найти все значения функций:
1) Ln(−4), (1 − i√3)i; 2) Ln(1 − i√3), i
4) Ln 2, (1 + i√3)i; 5) Ln(√3 + i), (−i)−i; 6) Ln(ie), (−i)i;
7) Ln(−1 −i), (1 + i)
9) Ln(−e), (1 − i)
1+i
; 8) Ln
1+i
; 10) Ln(√3 −i), (1 + i)
1−i
1 + i
√
, (1 + i√3)−i;
2
; 3) Ln(2 − 3i), (−1)
1−i
; 11) Ln(−2i), i3i;
1−i
;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]