Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебник
.pdf
2.3. Дробно-линейные отображения 51
2.3.6. Примеры дробно-линейных отображений
Рассмотрим дробно-линейные отображения некоторых наиболее
просто устроенных областей: расширенной комплексной плоскостиbC,
комплексной плоскости C, единичного круга
U = {z ∈ C : |z| < 1} (2.11)
и верхней полуплоскости
H = {z ∈ C : Re z > 0}.
Дробно-линейным автоморфизмом области D ⊂bC будем называть любое дробно-линейное отображение области D на себя.
Ясно, что множество всех дробно-линейных автоморфизмов области образует группу, которая является подгруппой группы всех
дробно-линейных отображений.
Группы дробно-линейных автоморфизмов первых двух основных
областей описываются очевидным образом:
— для расширенной плоскостиbC совпадает с группой всех
дробно-линейных отображений;
— для плоскости C совпадает с группой всех линейных отображений, т.е. функций вида az + b.
Рассмотрим далее отображения полуплоскости H и круга U .
В следующем примере о писываются дробно- линейные автоморфизмы
единичного круга с заданным прообразом нуля.
Пример 2.2. Формула
z − z
f(z) = e
iθ
1 −z0z
0
, θ ∈ R, (2.12)
дает общий вид дробно-линейного отображения, которое ото бражает
единичный круг U на себя так, что заданная то чка z0переходит в
центр этого круга.
Р е ш е н и е. Пусть функция
f(z) = λ
z − a
z − b
2.13)
(
отображает U на U , причем f (z0) = 0. Тогда ясно, что a = z0.
52 Глава 2. Дифференцируемость
Отметим, что
f(∂U ) = ∂U. (2.14)
В самом деле, пусть |z| = 1, тогда неравенство |f (z)| < 1 невозможно (f отображает U на U ). Поэтому если предположить, что
|f(z)| > 1, то в некоторой точке отрезка [z0, z] ⊂ U непрерывная
функция |f | обязана принимать значение 1, что также невозможно.
Итак, f (∂U ) ⊂ ∂U , следовательно, в силу кругового свойства выполнено (2.14).
Рассмотрим теперь точку 1/z0, симметричную z0относительно
∂U = C1(0). Из (2.1 4) и свойства симметрии вытекает, что ее образ —
точка, симметричная началу координат, т.е. f (1/z0) = ∞. Отсюда
b = 1/z0и
z − z
f(z) = λ
1
1 −zz
0
0
с некоторым друг им λ1. Согласно (2.14) |f(1)| = 1, поэтому |λ1| = 1.
Докажем теперь, что любое отображение вида (2.12) отображает
U на себя так, что z0переходит в точку 0. Отметим, что если |z| = 1,
то zz = 1 и
|f(z)| =
z − z
zz − zz
0
0
|z − z0|
=
|z| · |z − z0|
= 1.
Поэтому f(∂U ) ⊂ ∂U и в силу кругового свойства выполнено равенство (2.14). Отсюда следует, что при |z| < 1 будет |f (z)| < 1 (если это
не так, то |f (z)| > 1 в некоторой точке z ∈ U и, так как f (z0) = 0,
непрерывная функция |f (z)| должна принимать в U и значение 1, а
это про тиворечит равенству (2.14)). Точно так же доказывается, что
|f(z)| > 1 при |z| > 1. Следова тельно, f (U ) = U .
Неединственность в примере 2.2 объясняется тем, что переход
в (2.12) от одного θ к другому равносилен повороту круга, поэтому
условия на отображение не нарушаются.
Пример 2.3. Формула
f(z) =
az + b
, где a, b, c, d ∈ R, ad − bc > 0, (2.15)
cz + d
дает общий вид дробно-линейного отображения, которое отоб ражает
верхнюю полуплоскость H на себя.
2.3. Дробно-линейные отображения 53
Р е ш е н и е. То, что отображение с указанными свойствами
должно иметь вид (2.15), можно вывести из теоремы 2.5. То, что отображение вида (2.15) обладает этими свойствами, доказывается подобно рассуждениям из примера 2.2. Читателю предлагается проделать
это самостоятельно.
Пример 2.4. Формула
z − z
f(z) = e
iθ
0
, θ ∈ R, (2.16)
z − z
0
дает общий вид дробно-линейного отображения, которое ото бражает
верхнюю полуплоскость H на единичный круг U так, что заданная
точка z0переходит в центр этого круга.
Р е ш е н и е. Пусть функция (2.13) отображает H на единичный
круг U так, что f (z0) = 0. Тогда a = z0.
Заметим, что сейчас
f(∂H) = ∂U. (2.17)
Пусть x ∈ R = ∂H , тогда неравенств о |f (x)| < 1 невозможно,
так как f(H ) = U . Если предположить, что |f (x)| > 1, то на отрезке,
соединяющем точки x и z0, непрерывная функция |f| обязана принимать значение 1 , что также невозможно. Итак, f (∂H ) ⊂ ∂U и в силу
кругового свойства выполнено (2.17).
Используя свойство симметрии, видим, что f (z0) = ∞, отсюда
b = z0. Для того чтобы найти λ, возьмем x ∈ R. Тогда числа x − z0и
x − z0являются взаимно сопряженными и имеют одинаковые модули,
поэтому
|f(x)| =
λ
x −z
x −z
0
0
= |λ|.
Это означает, что образ действительной оси — окружность радиуса |λ|,
поэтому |λ| = 1 и λ = eiθпри некотором θ ∈ R.
2.3.7. Функция Жуковского
Функция
f(z) =
1
2
z +
1
z 6= 0, f(0) = f (∞) = ∞, (2.18)
,
z
54 Глава 2. Дифференцируемость
называется функцией Жуковского1.
Производная
f′(z) =
1
2
1 −
1
2
z
функции Жуковского отлична от нуля при всех z 6= ±1, поэтому отображение (2.18) является конформным всюду в области определения,
кроме точек z = ±1.
Рассмотрим подробнее отображающие свойства функции (2.18).
Прежде всего отметим, что в силу очевидного равенства
f(z) = f
1
z
образы множеств {z ∈ C : |z| < 1} и {z ∈bC : |z| > 1} при отображении
с помощью функции Жуковского совпадают.
Рассмотрим образ окружности |z| = r, 0 < r < 1. Для э того
параметризуем окружность
z = r(cos t + i sin t), t ∈ [0, 2π),
и подставим это в выражение для функции:
f(z) = u + iv =
1
1
+ rcos t −i
2
r
1
2
1
− rsin t.
r
Отсюда, исключая параметр t из выражений для u и v, получим
2
u
1
1
+ r
2
r
+
2
2
v
1
1
− r
2
r
2
= 1.
Таким образом, функция Жуковского отображает окружность |z| = r,
0 < r < 1, на эллипс с фокусами ±1 и полуосями
1
a =
1
то название она получила потому, что «отец русской авиации» Н.Е. Жуков-
Э
ский использовал ее в аэродинамике.
1
+ r, b =
2
r
1
1
− r.
2
r
2.4. Элементарные аналитические функции 55
Ясно, что объединение всех таких эллипсов даст нам дополнение
b
C \ I к отрезку I := {x + 0i : x ∈ [−1, 1]} на действительной оси.
Таким образом, фу нкция Жуковского отображает взаимно однозначно
единичный круг {z ∈ C : |z| < 1} на множествоbC \I . И з предыдущего
ясно, что это же верно для образа множества {z ∈bC : |z| > 1}.
В качестве упражнения полезно найти образы радиусов единичного круга {z ∈ C : |z| < 1}.
2.4. Элементарные аналитические
функции
2.4.1. Экспоненциальная функция
Определение 2.7. Для z ∈ C положим
ez:= ex(cos y + i sin y),
где z = x + iy.
В частности, при x = 0 получим формулу Эйлера
eiy= cos y + i sin y, y ∈ R, (2.19)
1
которая приводит к экспоненциальной форме записи комплексных
чисел:
z = |z|e
i Arg z
. (2.20)
Запишем действительную и мнимую части для ez:
u(x, y) = excos y, v(x, y) = exsin y.
Они имеют частные производные любого порядка. В частности, непосредственное вычисление дает равенства
∂u
= excos y,
∂x
∂v
= exs
∂x
1
ногда мы пишем exp z вместо ez.
И
in y,
∂u
= −exsin y,
∂y
∂v
= exc
∂y
os y,
56 Глава 2. Дифференцируемость
которые показывают, что условия Коши – Римана (2.3) выполнены,
поэтому по т еореме 2.2 функция f (z) = ezявляется аналитической во
всей комплексной плоскости, т.е. целой (см. п. 2.2.3). Кроме того, из
соотношений (2.4) следует, что
(ez)′=
∂
(exeiy) = eiyex= ez.
∂x
Очевидно, что |eiy| = 1 для любого y ∈ R, поэтому |ez| = ex6= 0.
Следовательно, экспоненциальная функция осуществляет конформное
отображение в любой точке z ∈ C.
Важнейшее свойство экспоненциальной функции
e
z1+z
2
= e
z
z
1
2
· e
, (2.21)
известное нам для действительных значений z1, z2∈ R, остается спра-
ведливым и для любых комплексных z1= x1+ iy1и z2= x2+ iy2. В
самом деле,
z
z
e
1
e
= e
x
2
1
= e
(cos y1+ i sin y1)e
x1+x
2
[cos(y1+ y2) + i sin(y1+ y2)] = e
x
2
(cos y2+ i sin y2) =
z1+z
2
.
Если k ∈ Z, то
z+2πik
e
= ex[cos(y + 2πk) + i sin(y + 2πk)] = ez,
поэтому w = 2πik является периодом экспоненциальной функции. Обратно, если w — период, т.е. e
z+w
= ezдля любого z, то при z = 0
получим ew= 1, отсюда w = 2πik. Таким образом, мы описали мно-
жество всех периодов функции ez, это {2πik : k ∈ Z}. Простейший
ненулевой период 2πi называется основным периодом экспоненциальной функции.
2.4.2. Тригонометрические и гиперболические
функции
Из формулы Эйлера (2.19) следует, что
−ix
sin x =
eix− e
2i
, cos x =
eix+ e
Это дает нам возможность распространить определения синуса и косинуса на комплексные значения аргумента.
−ix
.
2
2.4. Элементарные аналитические функции 57
Определение 2.8. Для z ∈ C положим
sin z :=
eiz− e
2i
−iz
, cos z :=
eiz+ e
2
−iz
. (2.22)
Эти функции называются синусом и косинусом соответственно.
Непосредственно из определения вытекает, что первая из них
нечетная, а вторая — четная. Обе являются периодическими с периодом 2πk, k ∈ Z. Число 2π называется основным периодом для этих
функций.
Из теоремы 2.1 вытекает, что эти функции дифференцируемы и
их производные вычисляются по привычным формулам
(sin z)′= cos z, (cos z)′= −sin z.
Следующие два тождества
o
=
iz
1
− e
−iz
iz
1
)(e
−iz
2
∓ e
2
)
= (e
i(z1+z2)
2ne
iz
−iz
1
+ e
1
)(e
iz
2
± e
−iz
± e
2
) + (e
−i(z1+z2)
легко проверяются с помощью раскрытия скобок в правой части. Из
них нетрудно вывести формулы сложения для тригонометрических
функций
sin(z1+ z2) = sin z1cos z2+ cos z1sin z2, (2.23)
cos(z1+ z2) = cos z1cos z2− sin z1sin z2, (2.24)
которые являются основными в тео рии тригонометрических функций,
так как из (2.23), (2.24) легко выводятся другие хорошо известные
тождества для тригонометрических функций.
С помощью синуса и косинуса вводится еще одна пара тригонометрических функций — тангенс и котангенс.
Определение 2.9. Для z ∈ C положим
tg z :=
ctg z :=
sin z
, z 6=
cos z
cos z
, z 6= πk (k ∈ Z).
sin z
π
+ πk (k ∈ Z),
2
Эти функции называются тангенсом и котангенсом соответственно.
58 Глава 2. Дифференцируемость
Для данных функций также легко вывести стандартные триго-
нометрические формулы, связывающие их.
С тригонометрическими функциями тесно связаны так называе-
мые гиперболические функции.
Определение 2.10. Для z ∈ C положим
sh z :=
ez− e
2
−z
, chz :=
ez+ e
2
−z
.
Эти функции называются соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом.
Из определений 2.8 и 2.10 выт е кают следующие формулы, выражающие связь между тригонометрическими и гиперболическими
функциями:
ch iz = cos z, sh iz = i sin z.
В свою очередь отсюда и из тригонометрических формул сложения (2.23), (2.24) следуют формулы сложения для гиперболических
функций
ch(z1+ z2) = ch z1ch z2+ sh z1sh z2,
sh(z1+ z2) = sh z1ch z2+ chz1sh z2.
Отметим еще несколько формул подобного рода:
Re cos z = cos x ch y, Im cos z = −sin x sh y,
Re sin z = sin x ch y, Im sin z = cos x sh y.
Отсюда, в частности,
|cos z|2= sh2y + cos2x,
|sin z|2= sh2y + sin2x.
Из теоремы 2.1 следует, что гиперболические функции дифференцируемы, а формула для производной экспоненциальной функции
приводит к ра венствам
(sh z)′= ch z, (ch z)′= sh z.
2.4. Элементарные аналитические функции 59
2.4.3. Логарифмическая функция
Здесь мы впервые столкнемся с многозначной функцией (см.
п. 1.3.1). Для любого w 6= 0 множеством решений уравнения ez= w
является
{ln |w| + i(2πk + arg w) : k ∈ Z} = ln |w| + i Arg w. (2.25)
Определение 2.11. Логарифмической (с основанием e) на-
зывается многозначная функция
Ln z := {ln |z| + i(2 πk + arg z) : k ∈ Z} = ln |z| + i Arg z.
Главным значением логарифма называется
ln z := ln |z| + i arg z.
Для любого значения Ln z справедливы равенства e
Ln z
= z (при
z 6= 0) и Ln ez= z. Это показывает, что логарифмическая функция
является в некотором смысле обратной к экспоненциальной. Хотя в
обычном по нимании термина «обратная функция» это не так, потому
что экспоненциальная функция не является взаимно однозначной.
В силу основного с войства экспоненциальной функции справедливы равенства
ln(z1· z2) = ln z1+ ln z
2
и
Ln(z1· z2) = Ln z1+ Ln z2,
если последнее равенство понимать как совпадение множества слева и
множества сумм элементов из слагаемых справа.
Отметим, что с равенствами для многозначных функций надо
быть осторожным. Это показывает, например, следующий парадокс
Бернулли:
(−z)2= z2⇒ Ln(−z)2= Ln z2⇒ 2 Ln(−z) = 2 Ln z,
но множества Ln(−z) и Ln z не имеют общих элементов. Найдите ошибку в этом «рассуждении».
60 Глава 2. Дифференцируемость
Im z
a + (2k + 1)πa + (2k + 1)π
a + (2k − 1)π < Im z 6 a + (2k + 1)π
a + (2k − 1)π
Рис. 2.3
Re z
Выделение однозначной ветви логарифмической функции можно произвес ти, рассматривая сужение экспоненциальной функции на
какое-либо множество ее однолистности, к примеру на полосу (рис. 2.3)
S(a, k) = {z ∈ C : a + (2k − 1)π < Im z 6 a + (2k + 1)π}.
Однако можно поступить другим спос обом. Зафиксируем числа
z0∈ C \ {0} и k ∈ Z, задавая тем самым значение логарифмической
функции
lnkz0= ln |z0| + i(arg z0+ 2πk).
При обходе вокруг начала координат с возв ратом в z0мы придем
к другому значению логарифмической функции. Поэтому 0 называется точкой ветвления логарифмической функции.
Для того чтобы избежать этого, проведем разрез комплексной
плоскости, соединяя 0 с бесконечно удаленной точкой ∞, например,
лучом
iϕ
0
{te
: t ∈ [0, +∞)},
где ϕ0∈ [0, 2π) фиксировано (рис. 2.4). Тогда, переходя по любому
пути из любой точки 0 6= z ∈ C, мы не сможем вернуться в нее, пересекая данный луч. Поэ тому мы возвращаемся в точку z, не изменяя
значения функции в э той точке.
Таким образом, фиксация значения логарифмической функции
в какой-либо точке 0 6= z0∈ C и проведение разреза, соединяющего
точку ветвления с бесконечно удаленной точкой, позволяют выделить
однозначную ветвь логарифмической функции.
Производная логарифмической функции вычисляется независимо от выбора ветви на основании теоремы 2.1 по формуле
(Ln z)′=
1
.
z
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]