Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебник
.pdf
Предисловие
Теория функций комплексного переменного является одной из
основных математических дисциплин и входит в учебные планы для
математических специальностей учреждений образования, обеспечивающих получение высшего образования. Для ряда с пециальностей ее
содержание расширяется дисциплиной «Дополнительные главы теории функций».
Предлагаемый учебник посвящен изложению этих взаимосвязанных дисциплин в полном соот ветствии с действующими программами
обучения для математических специальностей.
Материал книги делится на две части: «Теория» и «Практика».
Теоретическая часть содержит следующие темы (главы):
1) «Введение в комплексный анализ»: рассматривается множество комплексных чисел, комплексная плоскость, предел и непрерывность функций комплексного переменного, кривые и области;
2) «Дифференцируемость»: вводятся и исследуются такие фундаментальные понятия, как комплексное дифференцирование, аналитические функции и конформные отображения, элементарные аналитические функции;
3) «Интегральные теорема и формула Коши»: вводится понятие
комплексного интеграла, рассматривается интегральная теорема Коши и интегральная формула Кош и;
4) «Последовательности и ряды»: исследуются ряды Тейлора,
теоремы единственности, последовательности аналитических функций;
5) «Ряды Лорана»: дается представление о разложении в ряд
Лорана и проводится классификация изолированных особы х точек;
6) «Теория вычетов»: содержится материал по вычетам и основной тео реме о вычетах, а также о логарифмическом вычете и его приложениях;
12 Предисловие
7) «Дополнительные главы комплексного анализа »: даются понятия об аналитическом продолжении, однолистных функциях, конформных отображениях областей.
Первые шесть глав содержат теоретический материал к дисциплине «Теория функций комплексного переменного», а последняя — к
дисциплине «Дополнительные главы теории функций».
Все математические утверждения в теоретической части учебника стро г о доказаны. Исключение сделано только для нескольких теорем (теорема Жордана, теорема Пикара и т еорема о монодромии), доказательства которых потребовали бы существенного увеличения объема.
Каждая глава состоит из параграфов, примерно соответствующих одной лекции. Параграфы разбиваются на подпараграфы, посвященные рассмотрению отдельных вопросов, минимальных по объему,
но замкнутых по содержанию.
Кроме того, учебник снабжен предметным указателем и списком
основных математических обозначений. В книге используется двойная
нумерация формул и других объектов. Первое число обозначает номер
главы, содержащей данный объект, второе — номер объекта внутри
этой главы. В конце доказательств теорем и решений задач для удобства читателя ставится знак .
Содержание задачника соот ветствует теоретической части. В нем
приведены задачи по следующим темам: комплексные числа и действия над ними, элементарные трансцендентные функции, дифференцируемость функции комплексного переменного, геометрический
смысл модуля и аргумента производной, линейная функция, дробнолинейная функция, функция Жуковского, интегральная теорема и
формула Коши, степенные ряды, ряды Тейлора, нули аналитической
функции и теорема единственности, ряд Лорана, изолированные особые точки аналитической функции, вычисление в ы четов, вычисление
интегралов с помощью вычетов, вычисление собственных и несобственных интегралов, применение теории вычетов для вычисления
преобразований Фурье и Лапласа, логарифмический вычет, а также
отображение с помощью элементарных фу нкций.
Каждая глава задачника содержит задания для аудиторной работы, базовые индивидуальные задания, задания для самостоятельной
работы и задания творческого характера. Задания для аудиторной ра-
Предисловие 13
боты включают набор типовых примеров по рассматриваемой теме.
Отдельные задачи сопровождаются подробным решением, что позволяет использовать книгу для самостоятельного изучения и на заочных
отделениях. Базовые индивидуальные задания рекомендуется применять для домашней работы в качестве минимального уровня усвоения
материала по изучаемой теме. Задания для самостоятельной работы
содержат задачи более высокого уровня сложности, однако вполне по
силам студентам-математикам. Степень использования этих заданий
зависит от специальности студентов и подходов в организации учебного процесса преподавателем. Зада ния творческого характера имеют
повышенный уровень сложности и предназначены для наиболее подготовленных студентов. Задачи для аудиторной и самостоятельной работы снабжены ответами, некоторая часть — решениями.
Последовательность глав в практическом материале не полностью соответствует изложению теоретического материала. В частности, элементарные трансцендентные функции на практике изучаются
раньше, чем они рассмотрены в теории. Такой подход поз воляет расширить перечень задач в последующих главах, в которых, безусловно,
будет продолжено изучение свойст в элементарных трансцендентных
функций. Также отметим, что в некоторых источниках отображения
с помощью элементарных функций (глава 19 практики) изучаются
раньше, чем теория интегрирования. Авторы посчитали целесообразным отнести этот материал к дополнительным главам комплексного анализа, например, из-за использования интегра ла Кристоффеля –
Шварца.
В задачнике имеется довольно много отсылок к первой (теоретической) части книги. В таких случаях при оформлении ссылки на
нумерованный объект т еоретической части применяется буква «т» (от
слова «теория») в верхнем индексе. Например, фраза «см. п. 1.1.1т»
означает ссылку на п. 1.1.1 первой (теоретической) части.
В список литературы авторы включили основные учебники по
теории функций комплексного переменного на русском языке. Этот
список дополнен книгой Н.В. Александровой «Ист ория математических терминов, понятий, обозначений: сло варь-справочник», из которой можно узнать многое об истории формирований о сновных понятий
комплексного анализа.
14 Предисловие
Учебник адресуется прежде всего преподавателям, читающим
лекции и ведущим практические и лабораторные занятия по комплексному анализу, а также студентам-математикам, изучающим его. Оно
может быть рекомендовано магистрантам, аспирантам и научным работникам, интересующимся теорией функций комплексного переменного и ее приложениями.
В теоретическую часть учебника включен новый раздел «Вычисление интегралов с помощью вычетов», что позволило более полно
изложить главу «Теория вычетов». Существенно переработан и расширен материал для проведения практических занятий, в частности
главы 1, 5, 9 и 15. Исправлены замеченные опечатки и неточности.
Авторы благодарят заведующего отделом нелинейного и стохастического анализа Института математики Национальной академии наук Беларуси, члена-корреспондента Национальной академии
наук Беларуси, доктора физико-математических наук, профессора
В.В. Гороховика, доктора физико-математических наук, про фессора
кафедры теории функций Белорусского государственного университета Э.И. Зверовича, кандидата физико-математических наук, доцента
кафедры высшей математики и матема тической физики Белорусского государственного университета А.П. Шилина, кандидата физикоматематических наук, доцента кафедры теории функций Белорусского государственного университета Т.С. Мардвилко; кафедру математики и методики преподавания математики физико-математического
факультета Белорусского государственного педагогического университета имени Максима Танка, в особенности, кандидатов физикоматематических наук, доцентов Н.В. Г риба и И.Н. Гуло за множество полезных замечаний по т еоретической части книги, которые существенно улучшили изложение материа ла.
Авторы
Часть I
Теория
Глава 1
Введение в комплексный
анализ
1.1. Множество комплексных чисел
1.1.1. Операции с комплексными числами
Всюду ниже множество всех действительных чисел обозначается
общепринятым символом R.
Определение 1.1. Множество всех комплексных чисел
(комплексная плоскость) C определяется как множество
C := {z = (x, y) : x, y ∈ R}
всех упорядоченных пар действительных чисел, на котором определены отношение равенства и две операции — сложения и умножения.
Равенство. Две пары z1= (x1, y1) ∈ C и z2= (x2, y2) ∈ C назы-
ваются равными, если x1= x2и y1= y2.
Сложение. Суммой элементов z1= (x1, y1) ∈ C и
z2= (x2, y2) ∈ C наз ы вается
z1+ z2:= (x1+ x2, y1+ y2).
Умножение. Произведением элементов z1= (x1, y1) ∈ C и
z2= (x2, y2) ∈ C наз ы вается
z1· z2:= (x1x2− y1y2, x1y2+ x2y1).
1.1. Множество комплексных чисел 17
Как и в случае действитель ных чисел, мы чаще всего будем опус-
кать знак операции умножения (точку) и писать просто z1z2вместо
z1· z2.
Первый элемент пары z = (x, y) ∈ C будем называть действи-
тельной частью z, а второй — мнимой частью z (основания для
этого у нас скоро появятся). Для них используются следующие стандартные обозначения:
Re z := x, Im z := y.
Как множество комплексная плоскость C совпадает с обычной
плоскостью R2. Отношение равенства и операция сложения тоже определяются точно так же, как и для R2. Специфика множества комплексных чисел C начинает проявляться тогда, когда мы вводим умножение.
Напомним, что в R2умножение вообще не вводится.
1.1.2. Поле комплексных чисел
Непосредственной проверкой легко убедиться (мы рекомендуем
выполнить это самостоятельно), что сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:
1) z1+ z2= z2+ z1для любых z1, z2∈ C (коммутативность сло-
жения);
2) z1+ (z2+ z3) = (z1+ z2) + z3для любых z1, z2, z3∈ C (ассоциа-
тивность сложения);
3) z + (0, 0) = z для любого z ∈ C (элемент (0, 0) является ней-
тральным элементом для сложения);
4) для любого z = (x, y) ∈ C существует противоположный эле-
мент −z = (−x, −y) ∈ C со свойством z + (−z) = (0, 0).
Свойства 1)–4) означают, что C является коммутативной группой
относительно введенной операции сложения.
Умножение комплексных чисел обладает такими свойствами:
1) z1· z2= z2· z1для любых z1, z2∈ C (коммутативность умно-
жения);
2) z1·(z2·z3) = (z1·z2)·z3для любых z1, z2, z3∈ C (ассоциативность
умножения);
3) z · (1, 0) = z для любого z ∈ C (элемент (1, 0) является ней-
тральным элементом для умножения);
18 Глава 1. Введение в комплексный анализ
4) для любого z = (x, y) ∈ C, z 6= (0, 0), в C существует об ратный
элемент
z−1=
x2+ y
x
, −
2
x2+ y
y
2
со свойством z · z−1= (1, 0).
Кроме того, операции сложения и умножения связаны дистри-
бутивным законом: для любых z1, z2, z3∈ C выполнено равенство
z1· (z2+ z3) = z1· z2+ z1· z3.
Полный набор перечисленных свойств говорит нам о том, что
множество комплексных чисел C с указанными операциями сложения
и умножения является полем. Оно называется полем комплексных
чисел и обозначается тем же символом C. В частности, для любых
комплексных чисел z1и z26= 0 можно определить деление с помощью
равенства
z
1
z
2
:= z1·z
−1
, используя для него традиционное обозначение.
2
1.1.3. Алгебраическая форма записи
Множество действительных чисел R естественным образом вкладывается в C. Это делается с помощью взаимно однозначного отображения
R ∋ x 7→ (x, 0) ∈ C.
Ниже мы будем систематически использовать это отождествление действительных чисел как комплексных и часто вместо (x, 0) будем писать
просто x. Таким образом, пара (0, 0) отождествляется нами с действительным числом 0, а пара (1, 0) — с 1. Скоро мы увидим выгоду от
этого.
Рассмотрим еще одно специальное комплексное число i := (0, 1),
которое в дальнейшем будет называться мнимой единицей. Из определения умножения комплексных чисел следует (проверьте это самостоятельно), что
i2= −1.
Используя мнимую единицу и наше соглашение об обозначениях
для действительных чисел, мы приходим к так называемой алгебраи-
ческой (декартовой) форме записи комплексных чисел
x + iy := (x, y). (1.1)
1.1. Множество комплексных чисел 19
В самом деле,
(x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) · (y, 0) = x + iy.
Если Re z = 0, то комплексное число z назы вается мнимым или,
для большей выразите льности, чисто мнимым. Кроме того, комплексное число z = x − iy называется комплексно-сопряженным
числом для z = x + iy.
1.1.4. Тригонометрическая форма записи
Используя полярные координаты на плоскости R2, можно получить другое представление для комплексных чисел. Действительно,
для z = (x, y) 6= 0 рассмотрим полярные координаты
(
x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ,
где
r :=px2+ y2> 0, (1.3)
а ϕ — угол (между векторами (x, y) и (1, 0)), определяемый системой
уравнений
cos ϕ =
p
x
x2+ y
, sin ϕ =
2
p
y
x2+ y
.
2
(1.2)
Число r в формуле (1.3) называе тся модулем комплексного чис-
ла z и обозначается |z|. Оно определяется по комплексному числу z
вполне однозначно.
Угол ϕ в формуле (1 .2) называется аргументом комплексного
числа z 6= 0 и обозначается Arg z. Он определен не однозначно, а лишь
с точностью до слагаемого вида 2πk, где k ∈ Z — любое целое число.
Однако множество Arg z содержит единственное число, принадлежащее промежутку (−π, π], которое называ ется главным значением
аргумента и обозначается arg z1. Таким образом, мы можем записать,
что
Arg z = {arg z + 2πk : k ∈ Z}.
1
ногда для выделения главного значения аргумента вместо промежутка
И
(−π, π] берется промежуток [0, 2π).
20 Глава 1. Введение в комплексный анализ
В терминах координат (1.2) можно записать тригонометриче-
скую форму комплексного числа:
z = r(cos ϕ + i sin ϕ). (1.4)
Из формулы (1.4) нетрудно вывести следующие равенства для
натуральных степеней комплексных чисел:
zn= rn(cos nϕ + i sin nϕ), z ∈ C, n ∈ N. (1.5)
Докажите это самостоятельно, используя индукцию по n. Равен-
ства (1.5) называются формулами Муавра.
Oy
y = Im z
0
z = x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ)
r = |z|
ϕ = arg z
x = Re z
Рис. 1.1
b
Ox
Комплексное число изображается на плоскости точкой или
радиусом-вектором, проведенным в эту точку (рис. 1.1).
1.2. Расширенная комплексная
плоскость
1.2.1. Топология комплексной плоскости
На комплексной плоскости имеется естест венное (евклидово) рас-
стояние, определяемое с помощью модуля комплексного числа
|z1− z0| =p(x1− x0)2+
(y1− y0)2, zk= xk+ iyk(k = 0, 1).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]