Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебник
.pdf
3.2. Интегральная теорема Коши 71
(Γn— граница треугольника ∆n).
По лемме Кантора су щ ествует точка z0∈
∞
T
∆n. Кроме того, z
n=1
является внутренней точкой D (напомним, что D — область), поэтому
существует круг B(z0, δ) ⊂ D, содержащийся в D. При этом для достаточно больших n треугольник ∆nбудет целиком содержаться в таком
круге.
Далее испо льзуем дифференцируемость функции f . Для любого
ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех z, удовлетворяющих
условию |z − z0| < δ, выполняется неравенство
|ρ(z)| < ε|z − z0|, ρ(z) = f(z) −f (z0) −f′(z0)(z − z0).
Отсюда, используя утверждение леммы 3.1 и оценку из части 3
теоремы 3.1, получим
M
4
I
6
f(z) dz
n
Γ
n
I
=
[f(z0) + f′(z0)(z − z0) + ρ(z)] dz
Γ
n
I
=
Γ
n
ρ(z) dz
< εl
Γ
n
· sup
z∈∆
|z − z0| = ε
n
=
lΓdiam(∆)
n
4
Поэтому M 6 εlΓdiam(∆) для любого ε > 0, откуда M = 0.
Из леммы 3.3 можно вывести и утверждение теоремы 3.2, с овершая подходящий предельный переход. Мы не будем делать этого, так
как в п. 3.2.2, также опираясь на лемму 3.3, докажем более общую
форму данной теоремы.
0
.
3.2.2. Обобщение интегральной теоремы Коши
Введем понятие модуля непрерывности функции f на множе-
стве A
ω(δ, f, A) = sup{|f (x) −f (y)| : |x − y| < δ, x, y ∈ A}. (3.6)
Это удобная количественная характеристика функции, так как
ее поведение при δ → +0 отвечает за свойство равномерной непрерывности. Действительно, если A — компакт, то условие lim
равносильно тому, что функция f равномерно непрерывна на A.
δ→+0
ω(δ) = 0
72 Глава 3. Интегральные теорема и формула Коши
С помощью модуля непрерывности можно дать полезную оценку
криволинейного интеграла.
Лемма 3.4. Если Γ — спрямляемый контур и функция
f : Γ → C непрерывна на Γ, то
I
Γ
f(z) dz
6 ω(δ, f, Γ)lΓ, δ = diam Γ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, пусть z0∈ Γ — фиксиро-
ванная точка. Тогда, используя лемму 3.1, получим
I
Γ
f(z) dz
I
=
[f(z) −f (z0)] dz
Γ
6 sup
|f(z) −f (z0)|lΓ6 ω(δ, f, Γ)lΓ.
z∈Γ
Следующая теорема является обобщением интегральной теоремы
Коши. Существенным отличием в новой формулировке будет то, что
в ней не требуется аналитичнос ти ф ункции в точках контура.
Теорема 3.3 (обобщенная теорема Ко ши). Пусть
D ⊂ C — односвязная область, границей которой является спрямляе-
мый контур, функция f : D → C аналитична в области D и непрерывна в ее замыкании D. Тогда
I
f(z) dz = 0.
∂D
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем 0 < δ <
1
diam ∂D и ра з обьем
3
всю комплексную плоскость на открытые квадраты {Qn} с помощью
прямых Im z = kδ, Re z = kδ (k ∈ Z).
Введем два множества индексов
A = {n : Qn⊂ D}, B = {n : Qn∩ ∂D 6= ∅}
и обозначим ∆n= Qn∩ D при n ∈ B. Тогда каждое из множеств
∆n, n ∈ B, открыто и является объединением конечного или счетного
множества односвязных областей со спрямляемыми границами.
3.2. Интегральная теорема Коши 73
Запишем равенство (рис. 3.3, на котором квадраты Qn, пересека-
ющиеся с ∂D (при n ∈ B), заштрихованы)
I
f(z) dz =
∂D
I
f(z) dz +
S
∂
Q
(
n∈A
)
n
X
n∈B
I
f(z) dz (3.7)
∂∆
n
и заметим, что первое слагаемое справа ра вно нулю в силу леммы 3.3,
так как
S
Qnявляется многоугольником.
n∈A
∂D
S
Qn⊂ D
n∈A
∆n= Qn∩ D, n ∈ B
Рис. 3.3
Наше утверждение будет доказано, если мы установим, что сумма справа в (3.7) стремится к нулю при δ → 0. Для оценки слагаемых
этой суммы воспользуемся неравенством из леммы 3.4
∆
I
f(z) dz
n
6 ω(δ√2, f, ∂∆n)l(∂∆n) 6 ω(δ√2, f, D)[l(∂D ∩ Qn) + 4δ].
Складывая эти неравенства, получим
I
X
n∈B
Пусть Q
f(z) dz
∂∆
n
∗
— квадрат, концентрический с Qn, но с длиной стороны
n
втрое больше. Так как δ <
∗
то ∂Q
∩∂D 6= ∅, следовательно,
n
6 ω(δ√2, f, D)(l(∂D) + 4
1
diam ∂D, а ∂D и Qnимеют о бщую точку,
3
δ 6 l(∂D ∩ Q
∗
).
n
X
δ).
n∈B
74 Глава 3. Интегральные теорема и формула Коши
Складываем эти неравенства:
X
n∈B
δ 6
X
n∈B
l(∂D ∩ Q
∗
) 6 9
n
X
l(∂D ∩ Qn) 6 9l(∂D),
n∈B
а это означает, что при δ → 0
I
Γ
f(z) dz
6 37l(∂D)ω(δ√2, f, D) → 0.
3.2.3. Случай многосвязной области
Интегральная теорема Коши допускает распространение на слу-
чай конечносвязных областей (см. п. 1.4.3).
Пусть D0, D1, . . ., Dm⊂ C — односвязные области, границы кото-
рых ∂Dk, k = 0, 1, . . . , m, являются спрямляемыми контурами, причем
выполнены условия
Dk⊂ D0, Dk∩ Dj= ∅ при k 6= j.
Область
D = D0\
будем называть стандартной (m + 1)-связной областью. Ее границей является объединение границ
m
[
D
k
k=1
S
m
∂Dk. Положительно ориенти-
k=0
рованной границей (∂D)+будем называть
(∂D0)
m
[
+
[
(∂Dk)
k=1
!
−
.
При таком соглашении при обходе границы в выбранном направлении область D останется слева.
Принятая только что терминология позволяет, в частности, упростить выражение «односвязная область, границей которой является
спрямляемый контур», заменив его на «стандартная односвязная область».
3.2. Интегральная теорема Коши 75
Теорема 3.4 (интегральная теорема Коши для много-
связной области). Пусть D ⊂bC — стандартная многосвязная об-
ласть, функция f аналитична в области D и непрерывна в ее замыкании D. Тогда
I
f(z) dz = 0.
+
∂D
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D — ограниченная (m + 1)-связная
область, граница которой состоит из (m + 1)-го спрямляемого контура
Γk, k = 0, 1, . . . , m, причем контуры Γk, k = 1, 2, . . ., m, лежат внутри
Γ0.
Проведем в D разрезы по непересекающимся гладким жордано-
вым кривым, соединяющим последовательно Γ0с каждым из контуров
Γ1, Γ2, . . . , Γm(рис. 3.4).
Γ
1
D
D
1
D
Γ
2
Γ
0
2
Рис. 3.4
Тогда мы получим односвязную область, к которой можно применить теорему 3.3. Каждый из разрезов при интегрировании по границе
новой области проходится дважды в противоположных направлениях,
поэтому интегралы по этим разрезам взаимно уничтожаются. Следовательно, интеграл по границе новой области совпадает с интегралом
по границе области D.
3.2.4. Первообразная аналитической функции
Пусть в области D ⊂ C заданы две функции F : D → C и
f : D → C.
76 Глава 3. Интегральные теорема и формула Коши
Определение 3.2. Функция F н а зывае тся первообразной для
функции f , если для всех z ∈ D справедливо равенство
F′(z) = f (z).
Отметим, что любые две первообразные функции f отличаются
на постоянное слагаемое. В самом деле, пусть F1и F2— две первообразные функции f в области D и
Φ(z) = F1(z) − F2(z).
Тогда функция Φ аналитична в D и ее производная тождественно
равна нулю в области D. В силу условий Коши – Римана (2.2) для всех
(x, y) ∈ D выполнены равенства
∂ Re Φ
∂x
(x, y) =
∂ Im Φ
∂y
(x, y) =
∂ Re Φ
∂y
(x, y) =
∂ Im Φ
∂x
(x, y) = 0.
В таком случае, как известно из курса математического анализ а,
Re Φ и Im Φ являются тождественными постоянными.
Итак, мы будем знать все первообразные, если сумеем найти хотя
бы одну. Наш ей следующей целью является указание способа нахождения первообразной аналитической функции.
Будем говорить, что криволинейный интеграл (3.2) не зависит от
пути в области D, если для любых точек z0, z1∈ D и любой кусочно-
гладкой жордановой кривой Γ ⊂ D с началом в z0и концом в z1интеграл (3.2) имеет одно и то же значение.
Лемма 3.5. Если D ⊂ C — односвязная область и функция
f : D → C аналитична в D, то интеграл (3.2) не зависит от пути
в D.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Это нетрудно вывести из интегральной
теоремы Коши. В самом деле, пусть z0, z1∈ D и Γ1, Γ2— две жордановы кривые с началом в точке z0и концом в точке z1.
Нетрудно построить ломаную (рис. 3.5) Γ с началом в точке z
и концом в точке z1, дополняющую каждую из кривых Γ1и Γ2до
контура (т.е. Γ ∪Γ1и Γ ∪Γ2— контуры). В силу интегральной теоремы
Коши
I
f(z) dz −
Γ
1
I
f(z) dz = 0,
Γ
I
f(z) dz −
Γ
2
I
f dz = 0.
Γ
0
3.2. Интегральная теорема Коши 77
z
1
b
D
Γ
Γ
Γ
Рис. 3.5
2
1
z
∂D
0
b
Следовательно,
I
f(z) dz =
Γ
1
I
Γ
2
f(z) dz.
Итак, при условиях леммы 3.5 корректно определение следующей
функции:
F (z) =
z
I
f(ζ) dζ :=
z
0
I
f(ζ) dζ, (3.8)
Γ
где Γ ⊂ D — любая спрямляемая жорданова кривая, соединяющая точки z0и z. Эту функцию естественно назвать интегралом с переменным
верхним пределом и началом в точке z0.
Теорема 3.5. Пусть D ⊂ C — односвязная область и функ-
ция f : D → C аналитична в D, z0∈ D. Тогда интеграл с перемен-
ным верхним пределом и началом в точке z0является первообразной
функции f .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть z ∈ D и r0> 0 мало настолько,
что круг B(z, 2r0) содержится в области D. Для z1∈ B(z, r0) ≡ B
рассмотрим выражение
F (z1) −F (z)
z1− z
6 ω(|z1− z|, f, B0) → 0 п
− f(z)
=
z1− z
I
1
f(ζ) − f(z)dζ
[z,z1]
ри z1→ z.
6
0
78 Глава 3. Интегральные теорема и формула Коши
Здесь были использованы оценка криволинейного интеграла из части 3
теоремы 3.1 и определение модуля непрерывности (см. п. 3.2.2).
Теорема 3.6 (формула Ньютона – Лейбница). Пусть
D ⊂ C — односвязная область и функция f : D → C аналитична в
D. Тогда для любых точек z0и z1и любой жордановой кривой Γ ⊂ D,
соединяющей эти точки, справедливо равенство
I
f(z) dz = Φ(z1) −Φ(z0),
Γ
где Φ — любая первообразная функции f в области D.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем интеграл из (3.8)
z
I
F (z) =
f(ζ) dζ,
z
0
который является первообразной для функции f в области D по теореме 3.5. По доказанному выше существует такое число C ∈ C, что
для всех z ∈ D
Φ(z) = F (z) + C.
Это число C найдем, подставляя в последнее равенство z = z0,
получим C = Φ(z0), так как F (z0) = 0 по теореме 3.2. Взяв здесь
z = z1, придем к нужному равенст ву.
3.3. Интегральная формула Коши
3.3.1. Интегральная формула
Докажем важнейшее из следствий интегральной теоремы Коши.
Это замечательная формула Коши, которая количественно закрепляет
удивительное свойство аналитических функций: ее значения в област и
можно восстановить по значениям данной функции на границе области.
3.3. Интегральная формула Коши 79
Теорема 3.7 (формула Коши). Пусть D ⊂bC — стандартная многосвязная область и функция f : D → C аналитична в области D и н епрерывна в ее замыкании D. Тогда для любого z ∈ D
справедливо равенство
I
1
∂D
f(ζ)
dζ. (3.9)
ζ − z
f(z) =
2πi
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть число ε0> 0 выбрано так, что
B0= B(z, ε0) ⊂ D. Тогда для 0 < ε < ε0по интегральной теореме
Коши 3.4, применяемой к функции ζ 7→ f (ζ)(ζ − z)−1в стандартной
многосвязной области D \ B(z, ε) (рис. 3.6, см. также п. 3.2.3 об ориентации границы многосвязной области),
или
I
∂D
I
∂D
f(ζ)
ζ − z
f(ζ)
ζ − z
dζ +
dζ =
I
f(ζ)
dζ = 0
ζ − z
−
C
(z)
ε
I
f(ζ)
dζ. (3.10)
ζ − z
+
C
(z)
ε
b
z
0
D
Cε(z0)
∂D
ис. 3.6
Р
Однако, используя случай n = −1 леммы 3.2, мы видим, что
2πif (z) −
I
f(ζ)
ζ − z
+
C
(z)
ε
dζ
=
6 sup
ζ∈C
I
+
C
(z)
ε
|f(z) −f (ζ)|
+
(z)
ε
f(z)
ζ − z
dζ −
C
2πε
I
f(ζ)
dζ
ζ − z
+
(z)
ε
ω(ε, f,
6 2π
ε
6
B0) → 0
80 Глава 3. Интегральные теорема и формула Коши
(определение модуля непрерывности ω см. в (3.6)) при ε → 0. Поэтому
при ε → 0
I
f(ζ)
dζ → 2πif (z).
ζ − z
+
C
(z)
ε
С учетом формулы (3.10), по лу чим требуемое равенство.
Интеграл в формуле (3.9) называется интегралом Коши, функция f — плотностью интеграла Коши, а функция (ζ − z)−1— яд-
ром Коши.
Если z /∈ D, то функция ζ 7→ f (ζ)(ζ − z)−1является аналитической в D и непрерывной в D, поэтому в силу интегральной теоремы
Коши интеграл от нее вдоль ∂D будет равен нулю. Таким образом,
формулу Коши (3.9) можно переписать в следующем виде:
1
2πi
I
∂D
f(ζ)
ζ − z
dζ =
(
f(z), z ∈ D,
0, z /∈ D.
(3.11)
Далее выведем из формулы Коши несколько других равенств такого же типа, дающих формулы для вычисления значений функции
по ее значениям на окружностях.
3.3.2. Формула среднего значения и принцип
максимума
Теорема 3.8 (формула среднего значения). Пусть функ-
ция f аналитична в круге B(z, r0), тогда при любом 0 < r < r0справедливо равенство
2π
Z
1
f(z + reiθ) dθ = f (z),
2π
0
в частности
2π
2π
Z
1
e f (z + reiθ)dθ = Re f (z),
R
0
2π
Z
1
m f (z + reiθ)dθ = Im f (z).
I
2π
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]