Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебник
.pdf
Часть II
Практика
Глава 1
Комплексные числа
и действия над ними
1.1. Задания для аудиторной работы
2
1. Найти z1+ z2, z1· z2, z1/z2, z
1) z1= 1 − i, z2= 1 + i; 2) z1= 1 + 3i, z2= 1 − i;
3) z1= 1 − 2i, z2= 2 + i; 4) z1= 1 + i, z2= i;
5) z1= 1 − 3i, z2= 1 + 3i; 6) z1= x + iy, z2= x − iy, x, y ∈ R.
Р е ш е н и е п. 1. Арифметические действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, осуществляются по обычным
правилам алгебры с учетом того, что i2= −1 (см. п. 1.1.1ти 1.1.3т)1. Поэтому
z1+ z2= 1 − i + 1 + i = 2,
z1· z2= (1 −i)(1 + i) = 12− i2= 1 + 1 = 2.
2
+ z
, если:
1
2
При делении комплексных чисел числитель и знаменатель дроби следует умножить на число, сопряженное знаменателю, т.е.
z
1 −i
1
=
z
1 + i
2
Осталось выполнить последнее действие:
2
2
z
+ z
= (1 − i)2+ (1 + i)2= 1 − 2i −1 + 1 + 2i − 1 = 0.
1
2
1
В
данном случае буква «т» в верхнем индексе означает часть 1 «Теория» данного учебника.
(1 − i)(1 −i)
=
(1 + i)(1 −i)
1 − 2i −1
=
= −i.
2
1.1. Задания для аудиторной работы 163
2. Найти модуль и главное значение аргумента (arg z ∈ (−π, π]) ком-
плексных чисел z, z, −z, −z, если:
1) z = 1 + i; 2) z = 1 + i√3; 3 ) z =√3 + i; 4) z = i;
√
√
2
5) z = 1; 6) z =
Р е ш е н и е п. 1. Изобразим число z = 1 + i на комплексной плоскости
(рис. 1.1).
Найдем модуль (см. п. 1.1.4т)
Ясно, что arg z = ϕ = ∠AOB, поэтому
Модули и аргументы комплексных чисел z = 1 − i, − z = − 1 + i и
−z = −1 −i находятся аналогично. Изобразим их на комплексной плоскости
(рис. 1.2).
2
|z| = r =px2+ y2=p12+ 12=√2.
tg ∠AOB =
−
2
i.
2
y
1
O
Рис. 1.1
A
ϕ
1
1
= 1, ϕ =
1
B
x
π
.
4
−z
−z
y
1
Рис. 1.2
z
1
x
z
164 Глава 1. Комплексные числа и действия над ними
3. Представить комплексное число z в тригонометрической и пока-
зательной форме и найти z6, если:
1) z =√2 − i√2; 2 ) z = 1 − i√3; 3) z =√3 + i;
4) z = −1 + i; 5) z = −i; 6 ) z = i.
Р е ш е н и е п. 1. Сначала найдем модуль и аргумент данного ком-
плексного числа. Изобразим его на комплексной плоскости (рис. 1.3).
−
O
√
2
y
Рис. 1.3
√
2
ϕ
x
B
A
В этом случае
r
r =
√
2
2
+−√2
2
= 2, ϕ = −∠AOB = −
π
.
4
Поэтому в тригонометрической форме (см. п. 1.1.4т) комплексное чис-
ло запишется следующим образом:
z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = 2cos−
π
+ i sin−
4
π
,
4
а в экспоненциальной форме (см. п. 2.4.1т) данное число запишется так:
π
−i
z = r eiϕ= 2 e
4
.
Для возведения числа в требуемую степень воспользуемся формулой
Муавра (1.5) (см. п. 1.1.4т)
zn=r(cos ϕ + i sin ϕ)
n
= rn(cos nϕ + i sin nϕ)
и получим
z6= |z|6(cos 6ϕ + i sin 6ϕ) = 2
= 64cos−
6
cos−6 ·
3π
π
+ i sin−6 ·
4
+ i s
2
in−
3π
2
π
=
4
= 64(0 + i) = 64i.
1.1. Задания для аудиторной работы 165
4. Найти все значения следующих корней и указать их расположение на комплексной плоскости:
= i,
3π
2
√
3
8i; 6)q1 + i√3.
= −i.
1)
√
4
1; 2)
√
3
−i; 3)
√
3
−1; 4)
√
4
−1; 5)
Р е ш е н и е п. 1. Сначала найдем модуль и аргумент комплексного
числа z = 1. Очевидно,
|z| = 1, arg z = 0.
Для нахождения корня n-й степени из комплексного числа можно вос-
пользоваться формулой
p
wk=
√
n
z =
arg z +2kπ
i
n
|z|e
n
, k = 0, 1, . . . , n − 1.
В данном случае
√
√
wk=
4
1 =
2kπ
4
i
4
1e
, k = 0, 1, 2, 3.
Подставляя все требуемые значения k, получим
w0= e0= 1,
w1= e
π
i
2
= cos
π
2
+ i sin
π
2
w2= eiπ= cos π + i sin π = −1,
Все значения
3π
i
w3= e
√
4
2
1 лежат в вершинах квадрата, вписанного в окруж-
= cos
3π
2
+ i sin
ность р адиуса 1 с центром в начале координат ( рис. 1.4).
y
w
1
b
w
2
b
O
b
w
3
ис. 1.4
Р
w
0
b
x
166 Глава 1. Комплексные числа и действия над ними
5. Решить уравнения:
1) а) z2+ |z| = 0, б) z2− (3 − 2i)z + 5 −i = 0;
2) а) |z| + z = 2z + 1 + 9i, б) z2− (3 − i)z + 2 −i = 0;
3) а) iz + 2z = i, б) z2− 3iz −1 − 3i = 0;
4) а) zz = 3 + i + z, б) z2+ z + 4 + 2i = 0;
5) а) |z| −iz = 2 + i, б) z2− (1 + 2i)z + 3 + 3i = 0;
6) а) zz = −|z|2, б) z2+ (2 + i)z + 2 −2i = 0.
Р е ш е н и е п. 1. а) Пусть z = x + iy. Тогда уравнение можно перепи-
сать в виде
(x + iy)2+px2+ y2= 0.
Выполним несл ожные преобразования:
x2− y2+px2+ y2+ 2ixy = 0.
Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части (см. п. 1.1.1т). Поэтому последнее уравнение
эквивалентно системе
x2− y2+px2+ y2= 0,
2xy = 0.
С уч етом второго уравнения возможны две ситуации. Если x = 0, то
−y2+py2= 0 ⇔ y2= |y|,
т.е. y1= 0, y2= 1, y3= −1. Так как z = x + iy, то в этом случае решениями
исходного уравнения будут числа z1= 0, z2= i, z3= −i.
Если же y = 0, то из первого уравнения системы имеем
x2+√x2= 0 ⇔ x2= −|x|,
т.е. x = 0. В этом случае получим, что решением уравнения будет z1= 0.
б) Дл я решения квадратного уравнения с комплексными коэффициентами найдем дискриминант
D = b2− 4ac = (3 −2i)2− 4(5 − i) = −15 − 8i.
1.1. Задания для аудиторной работы 167
Для того чтобы извлечь квадратный корень, применим подход, отлич-
ный от предложенного для решения предыдущей задачи. Пусть
тогда
или
Получим систему уравнений
решениями которой являются пары чисел (1, −4) и (−1, 4). Поэтому можем
считать, что
тогда корни исходного квадратного уравнения
√
−15 −8i = x + iy,
(x + iy)2= −15 − 8i,
x2+ 2xyi −y2= −15 −8i.
x2− y2= −15,
2xy = −8,
√
D = 1 − 4i,
−b −√D
z1=
z2=
Заметим, что если положить√D = −1 + 4i, то получим те же корни.
2a
−b +√D
2a
3 −2i −(1 − 4i)
=
3 −2i + (1 − 4i)
=
2
2
= 1 + i,
= 2 − 3i.
6. Изобразить на комплексной плос кости множества, ес ли:
o
1)nz : 0 < arg z <
π
; 2) {z : 0 < Re(iz) < 1};
4
3) {z : 0 < Im(iz) < 1}; 4) {z : |z + i| = 1};
5) {z : |z − 1| = |z + i|}; 6) {z : 1 < |z − i| < 2}.
Р е ш е н и е п. 2. Пусть z = x + iy, тогда
Re(iz) = Re(i(x + iy)) = Re(ix −y) = −y,
поэтому
{z : 0 < Re(iz) < 1} = {z = x + iy : 0 < −y < 1} =
= {z = x + iy : −1 < y < 0}.
Полученная область изображена на ри с. 1.5.
168 Глава 1. Комплексные числа и действия над ними
y
O
−i
Рис. 1.5
(z)
x
7. Определить кривые, которые задаются следующими параметрическими уравнениями?
1) z = eit, t ∈ [0, π]; 2) z = 1 −it, t ∈ [0, 1]; 3) z = t + 2ti, t ∈ [0, 4];
4) z = t + it2, t ∈ R; 5) z = t +
1
i, t ∈ (0, +∞);
t
6) z = i + eit, t ∈ [0, 2π].
Р е ш е н и е п. 6. Пусть z = x+ iy. Выделив действительную и мнимую
части в правой части исходного уравнения, получим
x + iy = i + cos t + i sin t = cos t + i(1 + sin t).
Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их дей-
ствительные и мнимые части. Отсюда найдем координатные функции
x = cos t,
y = 1 + sin t,
или
Возведем в квадрат оба уравнения и сл ожим. Получим
т.е.
Значит, исходное уравнение задает на плоскости окружность с центром
в точке (0, 1) и радиусом 1 (рис. 1.6).
x = cos t,
y − 1 = sin t.
x2+ (y − 1)2= cos2t + sin2t,
x2+ (y − 1)2= 1, t ∈ [0, 2π].
1.2. Базовые индивидуальные задания 169
y
1
x
O
Рис. 1.6
1.2. Базовые индивидуальные задания
2
8. Найти z1+ z2, z1− z2, z1· z2, z1/z2, z
1) z1= 1 + 2i, z2= 1 − i; 2) z1= 1 − 2i, z2= 2 − i;
3) z1= 2 − i, z2= i; 4) z1= 2 + i, z2= 1 + i;
5) z1= i, z2= 2 + 3i; 6) z1= −2i, z2= 1 + 2i;
7) z1= 1 − i, z2= 3 − i; 8) z1= −1 − i, z2= 1 − 2i;
9) z1= 4 + 5i, z2= 4 − 5i; 10) z1= 2 − 3i, z2= 3 + 2i;
11) z1= 2 + i, z2= 2 − i; 12) z1= −i, z2= −1 − i;
13) z1= 1, z2= 1 − i; 14) z1= 4 − i, z2= 1 + 4i;
15) z1= 3 + i, z2= 3 − i; 16) z1= 1 − 7i, z2= 7 − i;
17) z1= 8 − i, z2= i; 18) z1= 1 − 8i, z2= 2 + 16i;
19) z1= 1 + i, z2= 1 + 2i; 20) z1= 1 − i, z2= 2 + i.
2
+ z
, если:
1
2
9. Для комплексного числа z = x + iy найти модуль и главное зна-
чение аргумента (arg z ∈ (−π, π]), если:
1) z =√3 + i; 2) z = −√3 −i; 3) z =√3 −i;
√
4) z =
√
2
2
2
+ i
; 5) z = 3 + 4i; 6) z = 3 − 4i;
2
7) z = −3 + 4i; 8) z =√2 −√2i; 9) z = −1; 10) z = −i;
√
11) z =
14) z = i; 15) z = 1 − 2i; 16) z = 2 + i; 17) z = −
8) z = 1 + 5i; 19) z = −2 + +2i; 20) z = −
1
√
2
2
2
− i
; 12) z = 1 + i√3; 13) z = 1 −i√3;
2
√
√
2
+ i
2
3 + i.
√
2
;
2
170 Глава 1. Комплексные числа и действия над ними
10. Представить комплексное число z = x + iy в триго нометрической
и экспоненциальной форме и найти zn, если:
1
1) z =√2 − i√2, n = 8; 2) z =
1
+ i
, n = 4;
2
2
3) z = 2 − 2√3i, n = 3 ; 4) z = −2√3 + 2i, n = 6;
√
3
5) z = −1, n = 10; 6) z = i, n = 4; 7) z = −
1
+ i
2
, n = 6;
2
8) z =√3 − 3i, n = 3; 9) z = 3 −√3i, n = 6 ;
10) z =√5 − i√5, n = 4; 11) z =√3 + 3i, n = 6;
√
12) z =
1
2
3
+ i
, n = 9; 13) z = 1 − i, n = 4; 14) z = 3 − 3i, n = 8 ;
2
15) z = 3 + 3i, n = 4; 16) z = 1 − i√3, n = 3;
17) z =√3 + i√3, n = 4; 18) z =√2 + i√2, n = 10;
19) z = −1 − i√3, n = 6; 20) z = 1 + i√3, n = 9.
√
11. Найти все значения
n
z и указать их расположение на комплекс-
ной плоскости, если:
1) z = i, n = 5; 2) z = −1, n = 8; 3) z = 1, n = 4;
4) z = 1 − i, n = 6; 5) z = 1 + i√3, n = 4; 6) z = 3 + i√3, n = 8;
7) z = 3 − i√3, n = 2; 8) z = −i, n = 5; 9) z = 1 + i, n = 4;
10) z = −1 − i, n = 6; 11) z =√2 + i√2, n = 3;
12) z =√2 − i√2, n = 5; 13) z =√3 + 3i, n = 6;
14) z = −√3 + i, n = 5; 15) z = −1 + i, n = 6;
16) z = −√3 −3i, n = 4; 17) z = −8, n = 3; 18) z = 27i, n = 3;
19) z =√3 −√3i, n = 6 ; 20) z =√2 −√2i, n = 4 .
12. Решить уравнения:
1) а) |z| −z = 5 + 5√3i,
б) z2− (3 + i)z + 2 + 2i = 0;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]