Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебник
.pdf
9.1. Задания для аудиторной работы 281
Р е ш е н и е п. 5. Радиус сходимости ряда равен 1, поэтому границей
круга сходимости является единичная окружность {z : |z| = 1}. Каждую
точку данной окружности представим в виде z = eiϕ, ϕ ∈ [0, 2π). Учитывая
формулу Эйлера, получаем
∞
X
n=2
z
n ln n
∞
n
=
X
n=2
inϕ
e
n ln n
∞
X
cos nϕ + i sin nϕ
=
n=2
n ln n
∞
X
cos nϕ
=
n ln n
n=2
+ i
∞
X
n=2
sin nϕ
n ln n
.
Сходимость исходного ряда равносильна сходимости двух действительных рядов. В силу того, что при любом значении ϕ ∈ (0, 2π)
n
а последовательность
∞
P
cos nϕ
сходится по признаку Ди рихле. Аналогично доказывается сходи-
n ln n
n=2
мость ряда
∞
P
n=2
sin nϕ
n ln n
X
cos nϕ 6
k=2
1
монотонно стремится к нулю при n → ∞, ряд
n ln n
. Следовательно, данный ряд сходится при ϕ ∈ (0, 2π).
sin
1
ϕ
2
, n > 2,
Осталось заметить, что при ϕ = 0 получаем ряд
∞
X
1
,
n ln n
n=2
который расходится по интегральному признаку.
Итак, данный ряд сходится во всех точках границы круга сходимости
|z| = 1 за исключением z = 1.
194. В круге сходимости степенного ряда
∞
X
cnz
n=0
найти его сумму:
∞
X
1)
4)
6)
nzn; 2)
n=1
∞
X
(−1)n(n + 1)(n + 2)zn; 5)
n=0
∞
X
(−1)n(n + 1)z2n.
n=0
∞
X
(−1)n(n + 1)zn; 3)
n=0
∞
X
n=1
n
(−1)
∞
X
n=1
n+1
n
z
;
n
n
z
;
n
282 Глава 9. Степенные ряды
Р е ш е н и е п. 6. Радиус сходимости ряда равен 1. Поскольку
∞
X
1
=
1 + z
то для этих z
(−1)nznпри |z| < 1,
n=0
∞
X
1
=
1 + z
2
(−1)nz2n.
n=0
Дифференцируя этот степенн ой ряд при |z| < 1, приходим к равенству
∞
−2z
(1 + z2)
X
=
2
(−1)n2nz
n=1
2n−1
.
Поделив обе части последнего разложения на −2z и вводя новую пе-
ременную суммирования, получим
∞
1
(1 + z2)
X
=
2
(−1)n(n + 1)z2n.
n=0
9.2. Базовые индивидуальные задания
195. Определить радиус сходимости R и круг сходимости
D = {z : |z − z0| < R} следующих степенных рядов:
1) а)
2) а)
3) а)
4) а)
5) а)
∞
X
n3(z + 1)n, б)
n=1
∞
X
nn(z − i)n, б)
n=1
∞
2
X
n
zn, б)
n
4
n=0
∞
X
n=1
∞
X
(z − i)
n
n
4 + (−1)
n=0
, б)
2n
n
∞
X
n=1
∞
X
n=0
∞
X
zn!;
n=0
∞
X
cos in(z − 2)n;
n=0
zn, б)
2n
z
2n+ 3
2n· zn!;
∞
X
n=0
;
n
n
2
z
;
9.2. Базовые индивидуальные задания 283
6) а)
7) а)
8) а)
9) а)
10) а)
11) а)
12) а)
13) а)
14) а)
15) а)
16) а)
17) а)
18) а)
∞
X
(z − 1 + i)
n=0
∞
X
10
n=1
∞
X
2n+ n
n
n
n
, б)
zn, б)
(1 + i)nzn, б)
n=0
∞
X
ein· zn, б)
n=1
∞
X
n=1
∞
X
z
1 −i
n
, б)
(n + 2n)(z + 1)n, б)
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
2 + (−1)
n!
zn, б)
n
n
n + 1
n
4
n
n
zn, б)
n=1
zn, б)
X
nn· zn, б)
n=1
∞
X
n=0
∞
X
n=1
∞
X
n=1
n
(z − i)
n
3
, б)
n!
2
(z + i)n, б)
n
n
z
,
i n
б)
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
∞
X
n=1
∞
X
n=1
X
n=1
∞
X
n=2
∞
X
n=1
−n
n!e
∞
X
n!e
n=1
n!
z
3n
n
∞
X
2nzn!;
n=1
(z − 1)
∞
ch n · zn;
sh n · zn;
z
n ln2n
∞
X
e
n=1
n
3nz
n!
(z + 1)n;
n
n
2
zn;
−√nzn
2n−1
∞
X
3n+ 4
n=1
∞
X
cos in · zn;
n=0
n
3
;
n
;
π
i
n
· zn;
3
;
;
;
2n
z
;
n
284 Глава 9. Степенные ряды
∞
19) а)
20) а)
X
in· zn, б)
n=1
∞
X
(n + i) zn, б)
n=0
196. Радиус сходимости
∞
X
n=1
n3z
∞
X
n=0
n
3
;
n
z
1 + in
∞
X
n=0
.
cnz
n
равен R (0 < R < ∞). Определить радиус сходимости следующих
степенных рядов:
1)
4)
8)
12)
16)
19)
∞
X
√
ncnzn; 2)
n=0
∞
X
(3 + 4n)cnzn; 5)
n=0
∞
X
c
n
zn; 9)
n!
n=1
∞
X
c
n
zn; 13)
n
4
n=1
∞
X
c
n
zn; 17)
ln2n
n=2
∞
X
2 + (−1)
n=1
n
∞
X
(3n+ 1)cnzn; 3)
n=0
∞
X
n=0
∞
X
c3nz3n; 10)
n=0
∞
X
cnz3n; 14)
n=1
∞
X
n=1
n
cnzn; 20)
n
c
2
4
c
zn; 6)
n
n
2
z
; 18)
X
n=1
∞
∞
X
n=1
∞
X
2
2
n=0
∞
X
cnz2n; 15)
n=1
∞
X
n=1
3 + (−1)
∞
X
(1 + 2
n=0
cnz2n; 7)
n
cnzn; 11)
n!cnzn;
n
n
cnzn.
√
∞
X
n=1
n
)cnzn;
∞
X
nncnzn;
n=1
∞
X
c
n
n=1
ln2n cnzn;
n
zn;
n
197. Исследовать поведение степенного ряда на границе круга сходимости:
1) а)
2) а)
∞
X
n=1
∞
X
n=2
(−1)
n
(z − i)
n2(5 + 5i)
(z + 9 − 10i)
n
, б)
n
n ln9n
∞
X
n=1
n
,
(z + i)
n
X
б)
n=1
n
;
∞
n
zn;
n3+
1
9.2. Базовые индивидуальные задания 285
3) а)
4) а)
5) а)
6) а)
7) а)
8) а)
9) а)
10) а)
11) а)
12) а)
13) а)
14) а)
15) а)
∞
X
in(z + 9i)
√
n3+ 729
n=1
∞
X
(z − 10 + 10i)
n=1
∞
X
5n + 6
n=1
∞
X
(−1)
n=2
∞
X
(z + i)
n2(4 + 4i)
n=1
∞
X
in(z + 4i)
√
∞
X
(z − 8 + 8i)
∞
X
(z − 9i)
9n· n
∞
X
n3+ 64
8n· n!
n=1
n=1
n=1
(−1)
n=2
∞
X
(−1)
n=1
∞
X
(−1)
n=1
∞
X
3n + 1
n=1
∞
X
(−1)
n=2
n
, б)
10n· n!
n
n
n
(z + 7 − 8i)n, б)
(z + 6 − 7i)
n ln n
n
, б)
n
n
, б)
n
n
, б)
9
n
(z + i)
n
n√ln n
(z − i)
n
n2(6 −8i)
(z + 2i)
n
5nn√n2+ 1
n
n
n
(z + 2 − i)n, б)
(z + 4 − i)
n ln n
n
, б)
n
, б)
, б)
∞
X
n=2
, б)
n
, б)
n
n
, б)
n
,
∞
X
(−1)
n=2
X
n=1
∞
X
X
n=1
n=2
∞
X
n2(3 + 4i)
n=1
∞
X
n=2
(−1)
∞
X
n=1
б)
n
∞
(−1)
∞
X
n=1
∞
(−1)
(z + i)
(−1)
ln n
(z + i)
n
n ln2n
(z + i)
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
n
z
n ln n
n
n
∞
X
n=1
ln2n
2
n
(z + 8 − 9i)
n
n
n
n
zn;
n
n
4
n
(z + 3i)
2nn
(z + 2i)
3nn!
∞
X
n=2
(−1)
;
(z + i)n;
(z − i)
n ln3n
(z + 1)n;
n ln8n
;
;
;
n
;
2
n
;
(z − 3 + 2i)
n ln n
(z − 3 + 4i)
n
n2(
4 −3i)
n
;
n
;
n
;
n
;
n
286 Глава 9. Степенные ряды
16) а)
17) а)
18) а)
19) а)
20) а)
∞
X
n=2
∞
X
n=1
∞
X
(z + 2 − 3i)
n
(−1)
(z − 2 + i)
n3(2 + 3i)
n ln3n
(8 −6i)nzn, б)
n=1
∞
X
(z + 4 + i)
3
∞
in(z + 5i)
√
3nn
n
n3+ 2
n=1
X
n=1
n
, б)
n
n
, б)
, б)
n
, б)
X
n=2
∞
X
n=1
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
(z − 2 + 4i)
n=1
∞
(z − 1 + 2i)
5nn
n ln4n
∞
(−1)
n
5n −2
n
n
(z − 3 + 2i)n;
(z − 2 + 3i)
2nn√n2+ 4
(−1)n(3 + 4i)nzn.
n
;
5
n
;
n
;
198. Просуммировать в круге сходимости следующие степенные ряды:
1)
4)
6)
8)
10)
12)
14)
∞
X
(n + 1)zn; 2)
n=0
∞
X
(−1)n(n + 1)(z + i)n; 5)
n=1
∞
X
n=1
∞
X
(−i)
n+1
(z − i)
n
(n + 2)(z + 1)n; 9)
n=1
∞
X
(−1)n(z + 1)2n; 11)
n=0
∞
X
(−1)n(n + 1)(z − 1)n; 13)
n=0
∞
X
innzn; 15)
n=1
∞
X
(−1)n(n + 2)zn; 3)
n=0
n
; 7)
X
n=1
∞
X
∞
(−i)
(−1)n(n + 1)(z + i)n;
n=0
∞
X
(−1)
n=1
∞
n
X
n=1
i
n
1)n; 16)
(z +
∞
X
n(z + 1)
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n+1
n
(z − 1)
n
(z − 2)
(z + 1)
n
n+1
n
;
n
;
n+1
;
(−1)n(n + 1)(n + 2)(z + 1)
n=0
∞
X
(−i)n(n + 1)z
n=0
n+1
n+1
;
n+1
;
;
9.3. Задания для самостоятельной работы 287
17)
19)
∞
X
n=0
∞
X
(−i)
n+1
(−1)nn(n −1)z
n=2
(n + 1)(n + 2)zn; 18)
n−2
; 20)
∞
X
n=0
∞
X
n=1
(−1)
(−i)
n+1
n
z
n
;
n
2n
z
.
n
9.3. Задания для самостоятельной
работы
199. Найти радиус сходимости и круг сходимости следующих степенных рядов:
∞
1)
4)
X
n=1
∞
X
n=1
α
−n
n!e
(z + i)n, α ∈ R; 2)
th n · (z + i)n; 5)
∞
X
n=1
200. Пользуясь в торой теоремой Абеля (см. задание 204) и решением
задач 194 .6, доказать следующие равенства:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
∞
X
cos nϕ
n
n=1
∞
X
sin nϕ
n
n=1
∞
X
cos(2n + 1)ϕ
n=0
∞
X
sin(2n + 1)ϕ
n=0
∞
X
(−1)
n=1
∞
X
(−1)
n=1
= −ln
=
2n + 1
2n + 1
n+1
n+1
π − ϕ
2
cos nϕ
n
sin nϕ
n
2 sin
ϕ
, 0 < |ϕ| 6 π;
2
, 0 < ϕ < 2π;
1
=
ln
ctg
2
π
=
, 0 < ϕ < π;
4
= ln2 cos
ϕ
=
, −π
2
∞
X
n
(n!)
n=1
2nzn!; 6)
ϕ
, 0 < |ϕ| < π;
2
ϕ
, −π < ϕ < π;
2
< ϕ < π.
2n
zn; 3)
2
∞
X
n=1
∞
X
znsin in;
n=0
n
n
z
.
288 Глава 9. Степенные ряды
Р е ш е н и е п. 1. Из задач 194.3 и 206 следует, что
∞
n
X
z
= −ln(1 −z), 0 < |z| 6 1,
n
n=1
поэтому при z = eiϕ, 0 < ϕ 6 π справедливо равенство
∞
X
cos nϕ + i sin nϕ
n=1
n
= −ln1 −e
iϕ
.
Остается заметить, что
∞
X
cos nϕ
= Re(−ln(1 −eiϕ)) = −Reln |1 −eiϕ| + i arg(1 − eiϕ),
n
n=1
ln |1 − eiϕ| = lnp2(1 − cos ϕ) = ln
2 sin
ϕ
.
2
201. В круге {z : |z| < 1} найти суммы следующих степенных рядов:
∞
X
1)
5)
n2zn; 2)
n=1
∞
X
(n + 1)2zn; 6)
n=0
∞
X
n3zn; 3)
n=1
∞
X
n=0
∞
X
n4zn; 4)
n=1
∞
X
n(n + 1)zn;
n=1
(n + 1)(n + 2) . . .(n + k − 1)zn.
202. Используя разложение в степенной ряд функций ez, sin z, cos z,
sh z, ch z, найти суммы следующих степенных рядов:
1)
4)
7)
∞
X
n=0
∞
X
n=0
∞
X
n=0
n+1
z
(n + 1)n!
4n+3
z
(4n + 3)!
n
(−1)
(4n + 2)!
; 2)
; 5)
4n+2
z
∞
X
n=0
∞
X
n=0
n+2
z
(n + 2)n!
4n+2
z
(4n + 2)!
; 3)
; 6)
∞
X
n=0
∞
X
n=0
4n+1
z
(4n + 1)!
4n
z
;
(4n)!
;
.
9.4. Задания творческого характера 289
9.4. Задания творческого характера
203. Используя метод неопределенных коэффициентов, показать, что
коэффициенты Anстепенного ряда
∞
1
1 −z − z
определяются условиями
X
=
2
n=0
Anz
n
A0= 1, A1= 1, A
n+1
= An+ A
n−1
, n ∈ N.
Числа Anназываются числами Фибоначчи. Доказать, что
An=
√
√
1
5
5 + 1
2
!
n+1
−
1 −√5
2
!
n+1
, n ∈ N.
204. Доказать вторую теорему Абеля: если ряд
∞
X
c
n
n=0
сходится, то
lim
r→1
∞
X
n=0
cnrn=
∞
X
cn, 0 < r < 1.
n=0
205. Показать, что теорема, обратная второй теореме Абеля, не имеет
места, т.е. привест и пример расходящегося ряда
∞
X
cn,
n=0
для которого существует предел
∞
X
lim
r→1
cnrn.
n=0
290 Глава 9. Степенные ряды
206. Пусть все числа anположительны и a0> a1> a2> . . ., an→ 0
при n → ∞. Доказать, что степенной ряд
∞
X
n=0
anz
n
сходится во всех точках окружности {z : |z| = 1}, исключая,
быть может, точку z = 1.
207. Исследовать ряд
∞
X
n=1
(−1)
n
[√n]
n
z
на сходимость во всех точках границы круга сходимости.
208. Найти радиус сходимости степенного ряда
∞
X
n=1
(α)n· (β)
(γ)n· n!
n
zn,
где (a)n= a(a + 1)(a + 2) . . . (a + n − 1) — символ Похгаммера.
209. Доказать, что в круге {z : |z| < 1} справедливо тождество:
∞
X
n=1
n+m
z
n(n + m)
1
=
(1 −zm) ln(1 − z) +
m
m
m
n
X
1
z
.
n
n=1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]