Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебник
.pdf
Глава 14
Вычисление вычетов
14.1. Задания для аудиторной работы
291. Исходя из разложения в ряд Лорана в проколотой окрестности
изолированных особых точек z = 0 и z = ∞, найти Res0f(z) и
Res∞f(z):
1
2
1) f(z) = 2z2+ z − 1 +
∞
X
n=−2
(−1)
|n|! z
2) f(z) =
+
z
n
; 3) f (z) =
n
4) f(z) = 1 + z + z2+ . . . + zn; 5) f (z) =
z
6) f(z) = z3+ z2+
Р е ш е н и е п. 5. В данном случае разложение
1
+
2!
3!
3
+
;
2
3
z
z
∞
−n
X
n
;
n−1
z
n=−3
4
n
X
z
;
n
3
n=−2
1
+
+ ··· +
4!z
n!z
1
n−3
+ ··· .
9
f(z) =
является одновременно разложением Лорана в проколотых окрестностях точек z = 0 и z = ∞. В соответствии с теоремами 6.1ти 6.4
Res0f(z) = c−1= 3, Res∞f(z) = −c−1= −3.
3
+
2
z
z
+ 1 +
1
1
z +
3
9
z2+
27
1
z3+
81
1
4
z
т
342 Глава 14. Вычисление вычетов
292. Разлагая функцию f (z) в ряд Лорана в проколотой окрестности
точки z0, найти Res
1) а) f (z) =
sin2z
z
2) а) f (z) = z cos
3) а) f (z) =
z
1 −z
3
f(z):
z
0
, z0= 0, б) f (z) =
1
, z0= 2, б) f (z) =
z − 2
, z0= 1, б) f(z) =
2
z3− 1
z − 1
2i z
e
(z + π)
, z0= 1;
ez− 1
2
z
− 1
2
, z0= 0;
, z0= −π;
4) а) f (z) =
5) а) f (z) = e
6) а) f (z) =
z2+ z − 1
z3− z
1
z−i
z + 2i
(z − i)
, z0= 0, б) f (z) = z sin
, z0= i, б) f (z) = z ch
, z0= 1, б) f (z) =
2
z − 1
z − 2i
(z + 2i)
Р е ш е н и е п. 5. а) Используем известное разложение:
+∞
n
X
n=0
= 1 +
z
n!
1
z −i
,
+
тогда
ez=
+∞
X
1
z−i
e
=
n=0
1
n!(z − i)
n
значит,
Resif(z) = c−1= 1.
б) Из равенства
ch z =
получим, что
ch z =
ez+ e
+∞
X
n=0
−z
2
2n
z
(2n)!
,
тогда
z ch
1
=(z − 1) + 1
z − 1
121
1 +
(z − 1)
2
1
, z0= 1;
1
2(z − i)
14!1
+
(z − 1)
1
, z0= 1;
1 −z
, z0= −2i.
3
+ . . . ,
2
+ . . ..
4
14.1. Задания для аудиторной работы 343
Отсюда следует, что
z ch
1
= 1 + (z − 1) +
z −1
121
z −1
+
121
(z − 1)
2
+ . . .
Следовательно,
Res1f(z) =
1
.
2
293. Исследовать характер изолированной особой точки z = ∞ функ-
ции f(z) и найти Res∞f(z):
2
1) а) f(z) =
2) а) f(z) =
3) а) f(z) =
4) а) f(z) =
5) а) f(z) =
6) а) f(z) =
z
, б) f (z) = z2sin
1 −z
z
, б) f (z) = z2sh
2
2 + z
4
z
, б) f (z) = z2e
4
1 + z
z + 1
, б) f (z) =
2
z
z2+ z − 1
z3− z
, б) f (z) = z cos
z + 1
(z + 2i)2(z − 1)
, б) f (z) =
1
z
1
z
1
z
;
1 −cos z
2
z
;
;
;
π
2
;
z
z
.
sin z
Р е ш е н и е п. 5. а) В проколотой окрестности точки z = ∞
f(z) =
z2+ z − 1
z3− z
z2+ z − 1
=
1
+
z
1
=
3
z
1
−
2
z
1
1 −
2
z
1
2
z
1 +
1
1
+
+ . . .=
2
4
z
z
1
1
+
z
1
+
+ . . .
2
4
z
z
В разложении в ряд Лорана функции f (z) в окрестности бесконечно
удаленной точки отсутствует главная часть. Поэтому z = ∞ — устранимая
особая точка. Так как c−1= 1, то
Res∞f(z) = −1.
б) Поскольку
cos2α =
1 + cos 2α
2
,
344 Глава 14. Вычисление вычетов
то
f(z) =
1
z1 + cos
2
Следовательно, в разложении Лорана функции f (z) в проколотой
окрестности точки z = ∞ главная часть обрывается на первом члене. Поэтому z = ∞ — полюс первого порядка. Так как c−1= −π2, то
2π
1
z2 −
2
=
z
4π
2!1z
2
2
4
16π
+
4!1z
− . . .= z −
4
2
π
z
4
8π
+
4!1z
4
− . . .
Res∞f(z) = π2.
294. Определить порядок полюса z0функции f (z) и найти Res
1) f(z) =
2) f(z) =
3) f(z) =
4) f(z) =
5) f(z) =
6) f(z) =
1
; а) z0= 0, б) z0= 1;
3
z − z
2
z
; а) z0= i, б) z0= −i;
(z2+ 1)
z2(z2+ 9)
z(1 − z2)
z3− z
2
z
e
; а) z0= 0, б) z0= 3i;
1
; а) z0= 0, б) z0= 1;
1
; а) z0= 0, б) z0= 1;
5
z + 1
(z + 2i)2(z − 1)
; а) z0= −2i, б) z0= 1.
f(z):
z
0
Р е ш е н и е п. 5. а) Поскольку
1
= z3(1 −z2) = z3ϕ(z), ϕ(0) = 1,
f(z)
то z0= 0 является нулем третьего порядка для функции 1/f (z). Поэтому
для функции f(z) точка z0= 0 является полюсом третьего порядка, при
чем
Res0f(z) =z
3
z3− z
z=0
=
1 − z
′
′
1
5
′
′
1
= 1.
2
z=0
14.1. Задания для аудиторной работы 345
б) Так как
1
= z2(1 − z)(1 + z) = (z − 1)ϕ(z), ϕ(1) 6= 0,
f(z)
то z0= 1 является нулем первого порядка для функции 1/f (z), а значит
по теореме 5.5тявляется простым полюсом для функции f(z). Воспользуемся следующей формулой для вычисления вычета в точке z0, являющейся
полюсом п ервого порядка: если
f(z) =
то
ϕ(z)
, ψ(z0) = 0, ψ′(z0) 6= 0,
ψ(z)
Res
z
f(z) =
0
ϕ(z0)
ψ′(z0)
.
В данном случае z0= 1,
f(z) =
1
z2(1 − z)(1 + z)
ϕ(z)
=
, ψ(z) = 1 − z, ϕ(z) =
ψ(z)
1
z2(1 + z)
,
поэтому
Res1f(z) =
ϕ(1)
ψ′(1)
= −
1
.
2
295. Найти вы четы функции f(z) во всех изолированных особых точ-
ках, включая бесконечно удаленную точку. Показать, что сумма
всех вычетов равна нулю:
1) f(z) =
4) f(z) =
1
; 2) f (z) =
3
z − z
1
5
z3− z
; 5) f (z) =
Р е ш е н и е п. 5. Конечными особыми точками данной функции явля-
ются точки ±i. Несложно видеть, что это полюсы второго порядка. Метод
нахождения вычетов в таких точках описан в предыдущей задаче. Поэтому
запишем только конечный результат:
Resif(z) = −
Теперь найдем вычет на бесконечности. Для этого в круге {ξ : |ξ| < 1}
продифференцируем равенство
1
2
1 + ξ
1
z(1 + z2)
z
(z2+ 1)
i
, Res−if(z) =
4
∞
X
=
(−1)nξ2n.
n=
0
; 3) f (z) =
2
.
2
i
4
z2+ z −1
z2(z − 1)
;
.
346 Глава 14. Вычисление вычетов
Получим разложение
∞
−
(1 + ξ2)
2ξ
X
=
2
(−1)n2n ξ
n=1
2n−1
.
Следовательно, при |z| > 1
∞
f(z) =
1
1
2
z
1 +
= −
2
1
2
z
2z
X
1
n=1
(−1)n2n
2n−1
z
1
=
2
−
z
+ . . . ,
4
2
z
поэтому c−1= 0 и
Res∞f(z) = 0.
Заметим, что для нахождения вычета на бесконечности можно поступить и по-д ругому. Во всех случаях, когда у функции на бесконечности
имеется нуль порядка выше первого, вычет этой функции в бесконечно удаленной точке равен нулю. Так как ф ункция f(z) = z2/(z2+1)2имеет в точке
z = ∞ нуль второго порядка, то Res∞f(z) = 0.
Осталось найти сумму всех вычетов:
i
Resif(z) + Res−if(z) + Res∞f(z) = −
i
+
+ 0 = 0.
4
4
14.2. Базовые индивидуальные задания
296. Вычислить вычеты следующих функций в особой точке z0= 0:
1) f(z) =
3) f(z) =
5) f(z) =
7) f(z) =
10) f(z) =
13) f(z) =
cos z
z3−
; 2) f (z) =
π
2
z
2
ez− 1 − z
(1 −co s 2z) sin z
z
e
sin z − z +
tg z
π
z2−
4
1
1 −cos z
e9z− 1
sin z − z +
; 6) f (z) =
3
z
6
; 8) f (z) =
z
; 11) f (z) =
; 1
3
z
6
; 4) f (z) =
sin 2z − 2z
(1 −cos z)
cos z
z3(z + 4)
z3(z − 1)
4) f(z) =
;
2
sin z3− z
ez− 1 − z
sin 2z
cos z − 1 +
; 9) f (z) =
z
e
; 12) f (z) =
sin 8z − 8z
cos z − 1
3
;
;
2
z
2
;
2
z
+
2
z
e
z(z − 1)
z
e
sin z
2
;
;
14.2. Базовые индивидуальные задания 347
15) f(z) =
17) f(z) =
19) f(z) =
1 −cos z
z3(z − 3)
sin z2− z
cos z − 1 +
sin 4z − 4z
ez− 1 − z
; 16) f (z) =
2
; 18) f (z) =
2
z
2
; 20) f (z) =
ez− 1
sin z − z +
cos z2− 1
sh z − z +
n−1
z
, n ∈ N.
sinnz
;
3
z
6
;
3
z
6
297. Разлагая функцию f (z) в ряд Лорана в проколотой окрестности
изолированной особой точки z0, найти Res
3z
1) f(z) =
3) f(z) =
5) f(z) =
7) f(z) = z sh
9) f(z) =
11) f(z) =
13) f(z) =
e
, z0= 0; 2) f (z) =
z
1
z2(z − 4)
z
z2+ 1
2
z
z + i
sin z
z − π
z(1 − z2)
, z0= 0; 4) f(z) =
, z0= i; 6) f(z) =
1
, z0= −1; 8) f(z) = z e
z + 1
, z0= −i; 10) f(z) = z4sin
, z0= π; 12) f (z) = z cos
1
, z0= 0; 14) f(z) = z ch
z
(1 + z)
ez− 1
z
2
, z0= −1;
2
1
z − 1
2
z
f(z):
0
sh(1 −z), z0= 1;
, z0= ∞;
1
z+i
, z0= −i;
1
, z0= 0;
z
1
, z0= 1;
z − 1
1
, z0= 0;
z
15) f(z) =
17) f(z) =
19) f(z) = z sh
sin2z
, z0= 0; 16) f(z) =
3
z
z
, z0= ∞; 18) f(z) =
2
1 −z
1
, z0= 0; 20) f(z) = z e
z
298. Определить порядок полюса z0функции f(z) и найти Res
1) f(z) =
z + 1
z2+ z
3
0; 2) f (z) =
, z0=
1 + cos z
z + π
z
(1 −z)
1
z−1
, z0= 1.
z
1)
(z2+
, z0= −π;
, z0= ∞;
2
, z0= i;
2
z
0
f(z):
348 Глава 14. Вычисление вычетов
3) f(z) =
5) f(z) =
z
eiz− 1
1 −cos z
7) f(z) = z2sin
9) f(z) =
11) f(z) =
13) f(z) =
15) f(z) =
z
2
z
e
(z2+ 9)
sin z
(z − π)
2
z
ez− 1
17) f(z) = z3cos
19) f(z) =
e
(z + 1)
, z0= π; 4) f (z) =
z
, z0= 0; 6) f (z) =
1
, z0= ∞; 8) f(z) = tg z, z0=
z
, z0= 0; 10) f(z) = z3e
− 1
z
, z0= 3i; 12) f(z) =
2
, z0= π; 14) f (z) =
2
, z0= 2πi; 16) f (z) =
1
, z0= ∞; 18) f(z) =
z
z
, z0= −1; 20) f(z) =
3
z
sin2z
ez− 1
(z − 1)
z2+ 4
sin z
, z0= 0;
, z0= 0;
3
z
1
z
, z0= ∞;
4
X
n2zn, z0= 0;
n=−2
sin πz
3
2
z
, z0= 2i;
1
, z0= 0;
z2+ 1
(z2+ 1)
π
;
2
, z0= 1;
, z0= i.
2
299. Показать, чт о точка z0является существенно особой то чкой
функции f (z) и найти Res
1) f(z) =
3) f(z) = z2sh
5) f(z) = e
7) f(z) = sin
9) f(z) = z2sin
11) f(z) = sin
1
ez, z0= ∞; 2) f(z) =
2
z
1
, z0= 0; 4) f (z) = z sh
z
z
z−1
, z0= 1; 6) f(z) = z e−z, z0= ∞;
z
, z0= −1; 8) f(z) = cos
z + 1
1
, z0= 0; 10) f(z) = z cos
z
1
, z0= −2; 12) f(z) = e
2
z +
z
0
f(z):
1
ch z, z0= ∞;
3
z
1
z − 1
z − 1
z − 1
1
z+5
, z0= 1;
z
, z0= 1;
1
, z0= 1;
, z0= −5;
14.2. Базовые индивидуальные задания 349
13) f(z) = sh
15) f(z) =
z2− 1
(z2− 4)
16) f(z) = z3ctg
18) f(z) = sh
20) f(z) = sin
z2+ 1
z + i
1
, z0= ±1; 14) f(z) =
1
z + 1
1
1
1
sh
2
1
, z0= 1;
z − 1
, z0= −1; 17) f(z) = e
, z0= ±i; 19) f(z) = z3ctg
, z0= −i.
z − 2
1 + z
2
z−
1
cos
z
1
z
, z0= 0;
1
z + 3
, z0= 0;
, z0= −3;
300. Найти вычеты функции f (z) относительно всех изолированных
особых точек, включая бесконечно удаленную точку. Показать,
что сумма всех вычетов равна нулю:
z
e
1 + z
;
z2+ 4
π
2
z
ch z
z2+ 1
;
z
e
z + i
6z
e
;
;
;
1) f(z) =
4) f(z) =
7) f(z) =
10) f(z) =
z2+ 3z −4
(z + 1)
(z2+ 1)
(z + 1)(z − 2)
13) f(z) = z ch
16) f(z) =
z − 1
(z + 1)
z + 1
3
z
2
z
1
z
; 2) f (z) =
; 5) f (z) =
2
; 8) f (z) =
2
2
z
; 11) f (z) =
; 14) f (z) =
; 17) f (z) =
3
z
; 3) f (z) =
z2+ 9
1
ez; 6) f (z) =
2
z
cos z − sin z
z −
; 9) f (z) =
π
4
cos z
2
(z − 1)
sin z
; 15) f (z) = z cos
z − π
sh z
; 18) f (z) =
2
(z + 1)
sin πz
z − 1
; 12) f (z) =
;
19) f(z) =
z3+ 1
z(z2+ 1)
; 20) f (z) =
1
(cos z − ez).
2
z
350 Глава 14. Вычисление вычетов
14.3. Задания для самостоятельной
работы
301. Найти сумму всех вычетов функции
m
f(z) =
в конечных изолированных особых точках, определив Res∞f(z).
302. Найти вычеты функции f (z) относительно всех изолированных
особых точек, включая и бесконечно удаленную (если она не является предельной для особых точек):
2n
1) f(z) =
4) f(z) = e
7) f(z) = zncos
9) f(z) =
z
, n ∈ N; 2) f (z) =
n
(1 + z)
1
z+
z
; 5) f(z) = ctg2z; 6) f (z) = cos
1
, n ∈ Z; 8) f (z) =
z
√
z
sin√z
(выбрать ветвь, для которой√1 = 1);
z
1 + z
, m, n ∈ N,
n
1
1
sin
z
z(1 − enz)
; 3) f(z) = cos z cos
z2+ 4z −1
z + 3
1
, n ∈ N;
1
z
;
;
10) f(z) = z−nch z, n ∈ N.
303. Найти вычет функции f (z) в бес конечно удаленной точке, если:
π
z2sin
z − 1
2
, n ∈ N; 2) f (z) =
z
1
z
; 5) f (z) = znsh
1
; 8) f (z) =
z
1) f(z) = zncos
4) f(z) =
7) f(z) = (z2+ z) ch
10) f(z) = (z2+ z + 1) ch
π
z4sin
z
; 3) f (z) =
z − 1
1
, n ∈ N; 6) f (z) = cos
z
1
z2sh
z
; 9) f (z) =
z + 2
1
.
z
2z7+ 1
z6(z2+ 1)
z cos
z − 1
z + 1
π
2
z
z
;
;
;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]