Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебник
.pdf
15.2. Базовые индивидуальные задания 361
15.2. Базовые индивидуальные задания
317. Вычислить интеграл
Z
f(z) dz,
C
если:
1) f(z) =
z + 1
z2(z − 1)
:
3
а) C = {z : |z + 3i| = 1}; б) C =z : |z| =
в) C =z : |z − 1| =
2) f(z) =
(z − 1)2(z + i)
а) C =z : |z| =
z
1
; г) C = {z : |z| = 2} ;
2
:
2
1
; б) C = {z : |z − 1| = 1};
2
в) C = {z : |z + i| = 1}; г) C = {z : |z| = 2} ;
3) f(z) =
1
(z2+ 9)
:
2
а) C = {z : |z| = 1}; б) C = {z : |z − 3i| = 1};
в) C = {z : |z + 3i| = 1}; г) C = {z : |z| = 4};
4) f(z) =
z
(z2− 4)
:
2
а) C = {z : |z| = 1}; б) C = {z : |z − 2| = 1} ;
в) C = {z : |z + 2| = 1}; г) C = {z : |z| = 3} ;
1
;
2
5) f(z) =
z + 1
z2(z + i)
а) C =z : |z + 2| =
в) C =z : |z − 1| =
6) f(z) =
sin z
z2(z − 1
:
3
:
)
1
; б) C =z : |z| =
2
1
; г) C = {z : |z| = 2} ;
2
1
;
2
362 Глава 15. Вычисление интегралов с помощью вычетов
а) C =z : |z + 2| =
в) C =z : |z − 1| =
7) f(z) =
(z2+ 16)
1
; б) C =z : |z| =
2
1
; г) C = {z : |z| = 2} ;
2
1
:
2
1
;
2
а) C = {z : |z| = 1}; б) C = {z : |z + 4i| = 1};
в) C = {z : |z − 4i| = 1}; г) C = {z : |z| = 5};
8) f(z) =
а) C =z : |z| =
z
(z + 1)(z − 2)
:
2
1
; б) C = {z : |z + 1| = 1} ;
2
в) C = {z : |z − 2| = 1}; г) C = {z : |z| = 3};
9) f(z) =
а) C =z : |z| =
z
(z2− 1)
:
2
1
; б) C = {z : |z − 1| = 1} ;
2
в) C = {z : |z + 1| = 1}; г) C = {z : |z| = 2};
10) f(z) =
а) C =z : |z| =
z + 1
(z + i)(z − 2i)
:
1
; б) C = {z : |z + i| = 1};
2
в) C = {z : |z − 2i| = 1}; г) C = {z : |z| = 3};
11) f(z) =
а) C =z : |z| =
z
z2− 4z + 3
:
1
; б) C = {z : |z − 1| = 0,5};
3
в) C = {z : |z − 0,5| = 5}; г) C = {z : |z − 2,5| = 1};
12) f(z) =
а) C = {z : |z| = 4}; б) C = {z : |z + 2| = 1,5};
в) C =z : |z| =
z
(z − i)(z + 3)
:
1
3
) C =z : |z − i| =
; г
1
;
3
15.2. Базовые индивидуальные задания 363
13) f(z) =
а) C =z : |z| =
в) C =z : |z − i| =
14) f(z) =
1
:
z(z + 3)
2
z + 3
z2+ z − 12
1
; б) C = {z : |z + 2| = 4} ;
3
1
; г) C =z : |z + 3| =
3
:
а) C = {z : |z| = 1}; б) C = {z : |z| = 5};
в) C = {z : |z + 3| = 1,5}; г) C = {z : |z − 2| = 1,5};
15) f(z) =
а) C =z : |z| =
z + 3
z2+ z − 2
:
1
; б) C = {z : |z| = 1,5};
3
в) C = {z : |z − 0,5| = 0,25}; г) C = {z : |z + 1| = 1,5};
16) f(z) =
а) C =z : |z| =
z + 4
z2− z − 2
:
1
; б) C = {z : |z| = 1,5};
3
в) C = {z : |z + 0,5| = 0,25}; г) C = {z : |z − 1| = 1,5};
17) f(z) =
z + 5
z2− 2z −3
:
а) C = {z : |z| = 0,5}; б) C = {z : |z| = 4};
в) C = {z : |z − 2| = 1,5}; г) C = {z : |z + 2| = 1,5};
1
;
3
18) f(z) =
z − 1
z2+ 8z + 15
:
а) C = {z : |z| = 2}; б) C = {z : |z − 4| = 2};
в) C = {z : |z − 2| = 1,5}; г) C = {z : |z − 5| = 0,5};
19) f(z) =
а) C =z : |z| =
z
(z + i)(z + 1)
:
1
; б) C = {z : |z| = 2};
3
в) C = {z : |z + 2i| = 1,5}; г) C = {z : |z + 2| = 1,5};
364 Глава 15. Вычисление интегралов с помощью вычетов
20) f(z) =
а) C =z : |z| =
z
(z + 1)2(z − i)
1
3
:
; б) C = {z : |z| = 2};
в) C = {z : |z + 2| = 1,5}; г) C = {z : |z − 2i| = 1,5}.
318. Найти все возможные различные значения интеграла
Z
I =
f(z) dz
C
при различных положениях контура C, который не проходит через особые точки функции f (z), если:
1) f(z) =
4) f(z) =
6) f(z) =
8) f(z) =
10) f(z) =
12) f(z) =
14) f(z) =
17) f(z) =
19) f(z) =
z
; 2) f(z) =
z2+ 9
1
; 5) f (z) =
(z2+ 4)
2
z
(z − i)2(z + 2i)
1
z(z2+ 1)
z(z2− 4)
(z2+ 4)
z(z + 1)
z + 1
z2(z + i)
(z2+ 1)
; 9) f (z) =
1
; 11) f (z) =
z
; 13) f (z) =
1
; 15) f (z) =
2
; 18) f (z) =
1
; 20) f (z) =
2
; 7) f (z) =
1
z(z2+ 1)
z2(z + 1)
(z − 1)2(z + 1)
(z + 1)(z + 2)
z(z − 1)(z + i)
(z2+ 9)
(z − 1)2(z + 3i)
z + 1
z2− 9
; 3) f(z) =
1
;
2
1
z(z2− 1)
1
2
z
1
1
2z
;
;
;
;
; 16) f (z) =
2
2
.
(z − 1)2(z + 2)
;
3
z
z2− 9
;
z
;
15.2. Базовые индивидуальные задания 365
319. Вычислить интеграл
если:
1) f(z) =
2) f(z) = z2e
3) f(z) =
z
(z − 1)(z − 2)
4/z
, C = {z : |z| = 1};
1
, C — прямоугольник с вершинами 2 + 2i, −2 + 2i,
z2− 1
2 −i/2, −2 − i/2;
1
4) f(z) = sin
5) f(z) =
6) f(z) =
7) f(z) =
8) f(z) =
9) f(z) =
10) f(z) =
11) f(z) =
12) f(z) =
13) f(z) =
14) f(z) =
2
, C = {z : |z| = 1};
z
z
e
z2(z2− 9)
, C = {z : |z| = 1};
1
(z2− 1)(z − 3)
z
e
z2+ iz + 2
1
ez− 1
9
z
z10− 1
3
z
z + 1
, C = {z : |z| = 3};
, C =z : |z| =
, C = {z : |z| = 3};
1
z
e
, C = {z : |z| = 2};
1
(z − 3)(z5− 1)
z
(z − 1)(z − 2)
1
z
3z
e
z + 3
(z − 1
, C = {z : |z| = 4};
z + 1
, C = {z : |z| = 2};
) sin z
Z
f(z) dz,
C
, C = {z : |z| = 3};
2
, C = {z : |z| = 2};
2
1
;
2
, C = {z : |z| = 2};
, C =z : |z − 2| =
2
1
;
2
366 Глава 15. Вычисление интегралов с помощью вычетов
3
15) f(z) =
16) f(z) = z cos
17) f(z) =
18) f(z) =
19) f(z) = z3sin
20) f(z) =
z
3z4+ 1
z2(z2− 9)
, C = {z : |z| = 1};
4
, C = {z : |z| = 2};
z
3z
e
, C = {z : |z| = 1};
1
(z − 6)(z2− 3z)
1
, C = {z : |z| = 1};
z
1
, C = {z : |z − i| = 3}.
z3− iz
2
, C = {z : |z| = 4};
320. Используя вычет в бесконечно удаленной точке, вычислить интегралы:
1) а)
2) а)
3) а)
4) а)
5) а)
6) а)
Z
|z−3−3i|=6
Z
|z−8−8i|=16
Z
e
z − 10
|z|=20
Z
e
z − 7
|z|=14
Z
e
z − 5
|z|=10
Z
|z−5−5i|=10
cos
iz + 3
cos
iz + 8
1
z
dz, б)
1
z
dz, б)
1
z
dz, б)
cos
iz +
1
z
dz, б)
1
z
dz, б)
1
z
dz, б)
5
Z
|z|=6
Z
|z|=8
Z
z3dz
10z4+ 1
|z|=1
Z
(z2+ 1)2(z5+ 2)
|z|=20
Z
(z2+ 1)2(z4+ 2)
|z|=16
Z
|z|=1
dz
(z − 9)(z5− 243)
z9dz
(z2+ 1)2(z2+ 2)
;
z18dz
z15dz
z3dz
4z4+
1
;
3
;
3
;
;
;
3
15.2. Базовые индивидуальные задания 367
7) а)
8) а)
9) а)
10) а)
11) а)
12) а)
13) а)
14) а)
15) а)
16) а)
17) а)
Z
|z−4−4i|=8
Z
1
z
e
z − 2
|z|=4
Z
|z−6−6i|=12
Z
e
z − 8
|z|=16
Z
1
z
e
z − 3
|z|=6
Z
e
z − 9
|z|=18
Z
1
z
e
z − 1
|z|=2
Z
|z−1−i|=2
Z
1
z
e
z − 4
|z|=8
Z
|z−2−2i|=4
Z
e
z − 6
|z|=12
cos
iz + 4
dz, б)
cos
iz + 6
1
z
dz, б)
dz, б)
1
z
dz, б)
dz, б)
1
cos
z
iz + 1
dz, б)
cos
iz + 2
1
z
z, б)
d
1
z
dz, б)
|z|=1
1
z
dz, б)
|z|=12
|z|=1
dz, б)
|z|=1
1
z
dz, б)
Z
|z|=4
Z
z3dz
2z4+ 1
Z
|z|=8
Z
(z2+ 1)2(z + 2)
|z|=4
Z
(z2+ 1)2(z3+ 2)
Z
(z − 3)(z5− 1)
|z|=2
Z
z3dz
5z4+ 1
Z
|z|=1
Z
z3dz
3z4+ 1
Z
|z|=1
Z
z3dz
6z4+
|z|=1
dz
(z − 6)(z5− 32)
;
dz
(z − 12)(z5− 1024)
z6dz
z12 dz
dz
;
3
;
3
;
;
z3dz
;
z4+ 1
;
z3dz
7z4+ 1
;
;
1
;
;
368 Глава 15. Вычисление интегралов с помощью вычетов
18) а)
19) а)
20) а)
Z
|z−7−7i|=14
Z
|z−9−9i|=18
Z
1
z
e
z − 3
|z|=5
1
cos
z
dz, б)
iz + 7
1
cos
z
dz, б)
iz + 9
dz, б)
Z
|z|=5
Z
dz
(z + 5)(z4− 1)
|z|=3
Z
z7dz
(z2+ 4)2(z − i)
|z|=4
dz
(z − 7)(z3− 64)
;
;
2
.
15.3. Задания для самостоятельной
работы
321. Используя тео рему Коши о вычетах, вычислить интеграл
Z
f(z) dz,
C
если:
1) f(z) =
2) f(z) =
3) f(z) =
4) f(z) = z sin
5) f(z) =
6) f(z) =
7) f(z) = (1 + z + z2)e
z − log2e
1/z
e
1
1 + z
2z − i ln 2
tg z −
(z − i) sh
z3e
z + 1
, C = {z : |z| = 1};
− 2
, C — окружность x2− xy + y2+ x + y = 0;
4
π
, C =nz :
i
3
z + 1
, C = {z : |z − 1| = 1};
z − 1
z + i
1/z
, C = {z : |z + 1 − i| = 2};
1
2z
z −
2
= 3o;
, C = {z : |z| = 2};
1
1
z−1
z
+ e
+ e
1
z−2
, C = {z : |z| =
3}.
15.3. Задания для самостоятельной работы 369
322. Вычислить интеграл
Z
f(z) dz
C
для указанной однозначной ветви многозначной функции f (z):
1
1) f(z) =
√
z2+z+1
(выбрать ветвь, для которой√1 = 1),
C = {z : |z| = 1/2};
2) f(z) =
arctg z
z
(выбрать ветвь, для которой arctg 0 = 0),
C = {z : |z| = 1/3};
3) f(z) =
Ln(z+1)
sin π z
(выбрать ветвь, для которой Ln 1 = 2πi),
C = {z : |z| = 1/2};
√
4) f(z) =
4
z4+ 1 (выбрать ветвь, для которой√1 = 1),
C = {z : |z| = 2};
5) f(z) =
C =z : |z| =
6) f(z) =
1
2+ln(z+3)
5
2
1
(z4+1)√z2+1
(выбрать ветвь, для которой ln e = 1),
;
(выбрать вет вь, для которой√1 = 1), C —
парабола y = x2, которая обходится в сторону возрастания y;
7) f(z) =
C =z : |z − 1| =
p
8) f(z) =
9) f(z) =
sin(1+√z)
10) f(z) =
C =z : |z + 2| =
11) f(z) =
C =z : |z| =
4
1 + z4(для каждой ветви корня), C = {z : |z| = 2};
z
e
1
Ln z −3πi
(2+√z−1) sin z
1
Ln(z−2)+πi
1
2
(для каждой ветви логарифма),
;
(для каждой ветви корня), C =z : |z − 2| =
(выбрать ветвь , для которой Ln(−e) = 1 − πi),
3
;
2
1
1
2
(выбрать ветвь, для которой√−1 = i),
.
3
;
2
323. Опираясь на равенство (6.6)т, вычислить интеграл
Z
f(z) dz,
C
370 Глава 15. Вычисление интегралов с помощью вычетов
если C = {z : |z| = 4}, в следующих случаях:
2
;
f′(z)
f(z)
4z
z2+ 3
dz,
;
1) f(z) = z2ctg z; 2) f (z) = z tg z; 3) f (z) =
z tg z
Z
|z|=4
π
2
z
cos2z
ϕ(z)
= 0.
4) f(z) =
6) f(z) =
Р е ш е н и е п. 2. В данном случае
где f (z) = cos z, а ϕ(z) = −z.
У функции f(z) полюсов нет. Ее нулями являются точки zk= π/2+πk,
k ∈ Z, из них только z0= π/2 и z−1= −π/2 лежат внутри контура интегрирования. Кроме того, кратность нулей равна 1, поэтому
1
cos2z tg z
(z3− i)
; 5) f (z) =
2
(z3+ 8)3cos z
Z
I =
f(z) dz =
C
I = 2πiϕ
.
Z
|z|=4
3 tg z +
z tg z dz =
π
+ ϕ−
2
324. Найти логарифмический вычет функции f (z) относительно кон-
тура C, если:
1) f(z) = ctg
2) f(z) =
1
, C = {z : |z − 1| = 0,999};
z
ez+ 1
ez− 1
, C =nz :
z −
π
2
= 5o;
3) f(z) = th z, C = {z : |z + π| = 7};
2
, C = {z : |z| = 5};
4) f(z) =
(z3− i)
(z3+ 8)3cos z
5) f(z) = tg z, C = {z : |z| = 5};
6) f(z) =
z
, C = {z : |z| = 2};
3
1 + z
7) f(z) = sin z + cos z, C = {z : |z| = 4};
8) f(z) = tg3z, C = {z : |z| = 6}.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]