Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебник
.pdf
17.4. Задания творческого характера 391
17.4. Задания творческого характера
360. Вычислить интегралы:
∞
Z
sin x
1)
4)
0
∞
Z
0
e
x
−πx
dx; 2)
sin ax
sin πx
361. Доказать, что (Γ(·) — гамма-функция Эйлера):
∞
Z
1)
2)
3)
0
Z
0
Z
0
∞
∞
x dx
1 + x
a−1
x
a−1
x
π
=
2
2
cos x dx = Γ(a) cos
sin x dx = Γ(a) sin
dx.
sec
Z
−∞
aπ
2
∞
eaxdx
; 3)
x
1 + e
, −1 < a < 1;
πa
, 0 < a < 1;
2
πa
, 0 < a < 1.
2
∞
Z
−ax
e
cos bx dx;
0
362. Доказать, что при a > 0 и b > 0:
1)
∞
Z
−at
e
0
− e
t
−bt
dt = ln
b
; 2)
a
∞
Z
sin at cos bt
0
dt =
t
363. Найти изображение функции f (t) = erf (√t), если
t
Z
erf (t) =
√
2
π
2
−τ
e
dτ —
0
функция вероятности ошибок.
a + b
a −b
.
1
ln
2
Глава 18
Логарифмический вычет,
принцип аргумента
18.1. Задания для аудиторной работы
364. Найти логарифмический вычет функции f(z) относительно кри-
вой C, если:
1) f(z) = ctg
2) f(z) =
3) f(z) = th z, C = {z : |z + π| = 7};
4) f(z) =
5) f(z) =
1
, C = {z : |z − 1| = 0,999};
z
ez+ 1
, C = {z :
ez− 1
(z3+ i)
(z4+ 1)2sin z
(z3− i)
(z3+ 8)3cos z
2
2
z −
, C = {z : |z| = 5};
, C = {z : |z| = 5}.
π
2
= 5};
Р е ш е н и е п. 5. Здесь следует воспользоваться теоремой о логариф-
мическом вычете (см. теорему 6.9т). В случае ϕ(z) ≡ 1 будем иметь, что для
логарифмического вычета относительно кривой справедливо равенство
где N — число нулей, P — число полюсов функции f (z), расположенных
внутри контура C, причем каждый нуль и каждый полюс считается столько
раз, какова его кратность.
1
2πi
Z
f′(z)
dz = N − P,
f(z)
C
18.1. Задания для аудиторной работы 393
Внутри окружности C = {z : |z| = 5} функция f(z) имеет три нуля
(значения
√
3
i), каждый кратности 2, три полюса (значения
√
3
−8) третьего
порядка и четыре полюса zk= π/2 + kπ, k = 0, 1, −1, −2 (это простые полюсы, так как zk— простые нули функции cos z). Таким образом, число нулей
N = 6, а число полюсов P = 13. Следовательно, логарифмический вычет
N − P = 6 −13 = −7.
365. Вводя дополнительную функцию ϕ(z) и пользуясь форму-
лой (6.6)т, вычислить следующие интегралы (C = {z : |z| = 4}):
Z
1)
z2ctg z dz; 2)
C
Z
4)
то
где ϕ(z) = z2, f (z) = z4− 16.
нулями. Все нули лежат внутри C, поэтому искомый интеграл
z5dz
z4− 16
C
; 5)
Р е ш е н и е п. 4. Так как
Функция f (z) полюсов не имеет, а точки ±2, ±2i являются ее простыми
I =
Z
sec2z
dz; 3)
tg z
C
Z
3 tg z + z sec2z
z tg z
C
Z
I =
2πi
z5dz
z4− 16
C
1
I =
4
22+ (2i)2+ (−2i)2+ (−2)
4
1
=
4
Z
ϕ(z)
C
Z
C
f′(z)
f(z)
z
dz.
2
dz,
Z
4z2dz
z2+ 9
C
4z3dz
z4− 16
;
,
2
= 0.
366. Найти число корней уравнения в заданной области D:
1) z4− 9z + 1 = 0, D = {z : |z| < 2};
2) z4− 8z + 10 = 0, D = {z : 1 < |z| < 3};
3) z7− 5z4+ z2− 2 = 0, D = {z : |z| < 1};
4) z9− 2z6+ z2− 8z −2 = 0, D = {z : |z| < 1};
5) z8− 5z5− 2z + 1 = 0, D = {z : 1 < |z| < 2}.
394 Глава 18. Логарифмический вычет, принцип аргумента
Р е ш е н и е п. 5. Найдем число корней уравнения в круге {z : |z| < 1}.
Для этого представим уравнение в виде
ϕ(z) + ψ(z) = 0,
где ϕ(z) = −5z5+ 1, ψ(z) = z8− 2z.
На окружности {z : |z| = 1} имеем
|ϕ(z)| = | − 5z5+ 1| = |5z5− 1| > |5z5| −1 = 4,
|ψ(z)| = |z8− 2z| 6 |z|8+ 2|z| = 3,
т.е.
|ψ(z)| 6 3 < 4 6 |ϕ(z)|.
Но ϕ(z) имеет в единичном круге п ять нулей (значения
чит, по теореме Руше (см. теорему 6.11т) столько же корней имеет здесь и
уравнение ϕ(z) + ψ(z) = 0. Из выполняющегося на единичной окружности
неравенства |ϕ(z)| > |ψ(z)| вытекает, что ϕ(z) + ψ(z) 6= 0 при |z| = 1. А
это значит, что исходное уравнение имеет пять корней в замкнутом круге
{z : |z| 6 1}.
Найдем число корней данного уравнения в круге {z : |z| < 2}. Для
этого представим уравнение в виде
ϕ(z) + ψ(z) = 0,
где ϕ(z) = z8, ψ(z) = − 5z5− 2z + 1. На окружности {z : |z| = 2} имеем
p
5
1/5). Зна-
|ϕ(z)| = |z8| = 256,
|ψ(z)| = | −5z5− 2z + 1| 6 5|z|5+ 2|z| + 1 = 165,
т.е. |ϕ(z)| > |ψ(z)| при |z| = 2. Поэтому, снова применяя теорему Руше,
заключаем, что данное уравнение имеет столько корней в круге {z : |z| < 2},
сколько их имеет там уравнение z8= 0, т.е. 8. Тогда 8−5 = 3 — число корней
уравнения в кольце D = {z : 1 < |z| < 2}.
367. С помощью теории вычетов разложить заданные правильные рациональные дроби на простейшие дроби:
3z + 5
1)
5)
; 2)
z4− 1
3z2− 5z + 12
(z + 3)(z2− 3z + 2)
z − 5
z3− 3z2+ 4
.
; 3)
z − 3
z3− z
; 4)
3z2+ 8
z3+ 4z2+ 4z
;
18.2. Базовые индивидуальные задания 395
Р е ш е н и е п. 5. Данную дробь можно записать в виде
Φ(z) =
Числа z1= 1, z2= 2, z3= −2 являются простыми полюсами функции
Φ(z), поэтому ее можно представить в виде
Φ(z) =
тогда
A = Res1Φ(z) = lim
Аналогичные вычисления дают B = 14/5, C = 27/10. В и тоге искомое
разложение имеет вид
(z + 3)(z2− 3z + 2)
z→1
3z2− 5z + 12
3z2− 5z + 12
(z − 1)(z − 2)(z + 3)
A
z −1
(z − 1)Φ(z)= lim
=
+
B
z −2
5
−
2
z − 1
C
+
z + 3
3z2− 5z + 12
z→1
(z − 2)(z + 3)
14
5
+
z − 2
.
,
5
=
.
2
27
10
+
z + 3
.
18.2. Базовые индивидуальные задания
368. Найти логарифмический вычет функции f(z) относительно кри-
вой C, если:
1) f(z) = tg z, C = {z : |z| = 4};
sin2z
z4− 1
sin4z
2
, C = {z : |z| = 10};
π
, C =nz :
3
z −
2
tg z, C = {z : |z| = 4};
10
, C = {z : |z| = 3};
12
6
, C = {z : |z| =
= 5o;
20};
2) f(z) =
3) f(z) =
4) f(z) =
(z4+ 1)
ez− 1
ez+ 1
(z2+ 1)
5) f(z) = cth z, C = {z : |z − π| = 7};
6) f(z) =
7) f(z) =
(z2+ 5)
(z3+ i)
(z3+ 1)
396 Глава 18. Логарифмический вычет, принцип аргумента
8) f(z) = tg3z, C = {z : |z| = 6};
9) f(z) = (z5+ 1)6tg z, C = {z : |z| = 10};
10) f(z) =
ch z
(z3+ i)7cos z
, C = {z : |z − 1| = 6};
11) f(z) =
12) f(z) =
13) f(z) =
(z2+ 10)4sin2z
(z2+ 2)5ch z
(z + 20)10(z3+ 1)
ez− 1
(z2+ i)
(z2+ 8)
6
, C =z : |z| =
10
, C = {z : |z| = 3};
5
, C = {z : |z| = 10};
5
2
14) f(z) = tg z cth z, C = {z : |z − 5| = 7};
10
, C = {z : |z| = 9};
5
z −
2
= 5;
, C = {z : |z − 1| = 4}.
15) f(z) =
16) f(z) =
17) f(z) =
18) f(z) =
19) f(z) =
20) f(z) =
(z2+ 100)5(z2+ 1)
(z2− i)6(z + 20)
sin4z
z(z2+ 10)
(z2+ 5)
(ez+ 1)
(ez− 1)
z sin2z
1 + z
1 −cos 2πz
, C = {z : |z| = 4};
6
2
, C =z :
2
3
, C = {z : |z| = 5};
2
, C = {z : |z| = π};
(z3− i)2(ez+ 1)
(z5+ 1)3(ez− 1)
;
369. Вводя дополнительную функцию ϕ(z) и используя форму-
лу (6.6)т, вычислить следующие интегралы:
1)
4)
Z
|z|=2
Z
|z|=1
4
z
z3+ 1
(z + 2)
dz; 2)
tg z + z sec2z
z t
g z
Z
|z−3|=5
dz; 5)
5
z
z4− 81
dz; 3)
Z
z2tg z dz;
|z|=2
Z
|z−1|=2
5
z
z4+ 16
dz;
18.2. Базовые индивидуальные задания 397
6)
8)
10)
13)
16)
18)
Z
z2sec2z
tg z
|z|=4
Z
ctg z − z cosec2z
|z|=6
Z
z2cosec2z
ctg z
|z|=2
Z
z2sin 2z
cos2z
|z|=2
Z
sin z + z cos z
z
|z|=4
Z
sin 2z sin z
cos2z
|z|=2
dz; 7)
z ctg z
dz; 11)
dz; 14)
z sin z
dz; 19)
Z
|z+3|=1
dz; 9)
Z
|z+4|=6
Z
|z|=2
dz; 17)
Z
|z|=2
z
z4− 81
Z
|z|=2
z4− 256
5
z
z4+ 1
Z
|z|=4
z
z2+ 1
5
dz;
z2ctg z dz;
5
z
dz; 12)
dz; 15)
sin z − 2 cos z
sin2z
7
dz; 20)
|z|=2
Z
|z|=2
dz;
|z|=6
Z
Z
z2sin 2z
sin2z
7
z
z4− 1
z
z2+ 25
dz;
dz;
5
dz.
370. Найти число корней уравнения в заданной области D:
1) z4− 3z + 1 = 0, D = {z : |z| < 1};
2) 2z5− z3+ 3z2− z + 8 = 0, D = {z : |z| < 1 };
3) z8− 4z5+ z2− 1 = 0, D = {z : |z| < 1};
4) z3− 12z + 2 = 0, D = {z : |z| < 2};
5) z4− 5z + 1 = 0, D = {z : 1 < |z| < 2};
6) z8− 3z2+ 1 = 0, D = {z : |z| < 1};
7) z2− ez= 0, D = {z : |z| < 1};
z−2
8) e
= z, D = {z : |z| < 1};
9) z4− 8z + 10 = 0, D = {z : |z| < 1};
10) ez− 4z2+ 1 = 0, D = {z : |z| < 1};
11) z4− 8z + 10 = 0, D = {z : 1 < |z| < 3};
398 Глава 18. Логарифмический вычет, принцип аргумента
12) z9− 2z6+ z2− 8z −2 = 0, D = {z : |z| < 1};
13) z7− 5z4+ z2− 2 = 0, D = {z : |z| < 1};
14) ez− 4z4+ 1 = 0, D = {z : |z| < 1};
15) z9− 6z4+ 3z −1 = 0, D = {z : |z| < 1};
16) z4+ z3− 4z + 1 = 0, D = {z : 1 < |z| < 2};
17) z6− 8z + 10 = 0, D = {z : 1 < |z| < 3};
18) 4z4− 29z2+ 25 = 0, D = {z : 2 < |z| < 3};
19) z5+ z2+ 1 = 0, D = {z : |z| < 2};
20) z4− 3z3− 1 = 0, D = {z : |z| < 2}.
371. С помощью теории вычетов разложить заданные правильные ра-
циональные дроби на простейшие дроби:
2z + 1
1)
5)
9)
12)
15)
18)
; 2)
z3− 1
z + 8
z(z2+ 1)
z2+ 2z
(z + 1)(z2+ 3z + 2)
z + 4
z(z + 1)(z + 2)
z2− z
(z2+ 1)2(z + 2)
z − 4
(z2+ 4)(z + 1)
; 6)
2
z + 2
; 3)
z3+ z
1
z3+ 4z
; 10)
; 13)
; 16)
; 19)
z + 5
z3+ 3z2− 4
; 7)
(z − 1)2(z2+ 1)
z + 2
(z2+ 1)
z − 1
(z2+ 4)
z − 2
2
; 11)
2
; 14)
2
z − 1
(z + 2)(z − 1)(z − 4)
z2+ 8
z3+ 4z2+ 4z
; 20)
; 4)
; 8)
; 17)
5z2− 1
z3− 2z2+ 2z
z + 3
2
z4+ z
z2+ z
(z2+ 9)
;
2
z + 3
(z − 1)(z + 2)
(1 + z2)
z − 4
z3− 4z2+ 5
;
;
2
z
2
.
;
;
18.3. Задания для самостоятельной
работы
372. Пусть C = {z : |z| = 5}. Представляя указанные интегралы в
виде
Z
C
ϕ(z)
f′(z)
f(z)
z,
d
18.3. Задания для самостоятельной работы 399
с помощью формулы (6.6)твычислить:
Z
1)
z2tg z dz; 2)
C
Z
3)
sin2z ctg z
C
z2dz
; 4)
Z
f′(z)
2
z
C
Z
C
dz, где f (z) =
f(z)
z9dz
.
z8− 1
(z3+ 1)
z4sin z
2
;
373. Найти число корней уравнения в заданной области D:
1) z7− 2z −5 = 0, D = {z : Re z > 0};
2) z5+ z4+ 2z3− 8z −1 = 0, D = {z : Re z > 0};
3) z12− z + 1 = 0, D = {z : Re z > 0};
4) z + 2 − ez= 0, D = {z : Re z < 0};
5) z4+ 2z3+ 3z2+ z + 2 = 0, D = {z : Re z > 0}.
374. Используя формулу
∞
X
n=−∞
Φ(n) = −π
m
X
k=1
Res
Φ(z) ctg πz,
z
k
где zk, k = 1, 2, . . . , m, — полюсы рациональной функции Φ(z),
найти суммы следующих степенных рядов:
∞
X
n=0
∞
X
n=−∞
1
n2+ 2
n −
; 2)
1
2
1
2
1)
3)
Р е ш е н и е п. 5. Рассмотрим функцию
тогда
∞
X
n=−∞
; 4)
∞
X
n=0
1
(n2+ a2)(n2+ b2)
∞
X
1
; 5)
n4− 2
n=1
Φ(z) =
1
(2n +
(2z + 1)
=
2
1)
1
∞
X
n=0
,
2
Φ(n).
, a 6= b;
∞
X
(2n + 1)
n=0
1
.
2
400 Глава 18. Логарифмический вычет, принцип аргумента
При n = 0, 1, 2, . . .
поэтому
Φ(−n −1) =
X
n=0
(−2n −1)
∞
Φ(n) =
1
2
1
2
n=−∞
=
(2n + 1)
∞
X
1
Φ(n).
= Φ(n),
2
Теперь вычислим сумму в правой части последнего равенства:
∞
X
Φ(n) = −π Res
n=−∞
Φ(z) ctg πz.
1
−
2
Точка z = −1/2 является для функции Φ(z) ctg πz полюсом второго
порядка, значит
Res
Φ(z) ctg πz= lim
1
−
2
z→−
2
1
z +
1
2
2
(2z + 1)
ctg πz
2
!
′
1
=
lim
(ctg πz)′= −
1
4
z→−
2
Окончательно заключаем, что
∞
X
n=0
1
(2n + 1)
2
π
=
2
.
8
375. Найти количество корней у равнения
zn+ α0z2+ α1z + α2= 0,
которое находится в круге {z : |z| < 1}, если |α0| > |α1|+ |α2|+ 1,
n ∈ N.
π
.
4
376. Найти количество корней уравнения ez− 4zn+ 1 = 0, n ∈ N, в
круге {z : |z| < 1}.
377. Найти количество корней у равнения
az3− z + b = e−z(z + 2)
в полуплоскости {z : Re z > 0}, если a > 0, b > 0.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]