Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебник
.pdf
15.4. Задания творческого характера 371
15.4. Задания творческого характера
325. Пусть f (z) = a0+ a1z + . . . + anzn. Доказать, чт о
Z
1
2πi
326. Пусть C — замкнутая жорданова кривая, которая ограничивает
область G, содержащую точку z = 0. Функции f (z) и g(z) аналитичны в замкнутой об ласти G, причем g(z) не обращается в
нуль на контуре C и имеет в G лишь простые нули a1, a2, . . ., an,
ни один из которых не совпадает с началом координат. Доказать,
что
Z
1
2πi
C
327. Доказать равенство
где az= e
z ln a
, a > 0, C — проходимая снизу вверх прямая x = α,
0 < α < 1.
|z|=R
f(z) dz
1
2πi
n−1
z
|f(z)|2dz = a0anR2n.
f(0)
Z
azsin πz
C
=
dz
g(0)
=
zg(z)
n
X
+
k=1
1
π(1 + a)
f(ak)
akg′(ak)
,
.
328. Вычислить интеграл
Z
zαdz
1 −√z
|z−1|=1
Здесь выбирается та ветвь функции√z, для которой
√
=
π(1 + a)
1 = 1.
329. Доказать равенство
Z
1
ezdz
2πi
cos z
C
если C — контур, изображенный на рис. 15.1.
=
1
e
1 + e
, α ∈ R.
π
2
,
π
372 Глава 15. Вычисление интегралов с помощью вычетов
y
ai
x
C
O
−ai
Рис. 15.1
330. Доказать, что интеграл
Z
iz
e
dz,
2
(z − i)
Γ
взятый по границе Γ полуплоскости {z : Im z > 0}, равен сумме вычетов подынтегральной функции в этой полуплоскости, и
найти его значение.
331. Убедиться в применимости теоремы Коши о вычетах к следующим интегралам, взятым по гра ницам Γ бесконечных областей
D, и вычислить эт и интегралы:
Z
−z
ze
1)
Γ
Z
2)
Γ
Z
3)
Γ
dz, D = {z : Re z > 0};
z2− 1
z
e
dz, D =nz : −
sh 2z
3
e
(z − 1)
3
−z
e
dz, D =nz : −
2
π
< Im z <
4
π
4
π
< arg z <
6
o
;
o
π
.
6
Глава 16
Вычисление собственных
и несобственных
интегралов
16.1. Задания для аудиторной работы
332. Вычислить интегралы:
2π
Z
1)
cos(eiϕ) dϕ; 2)
0
π
Z
4)
ctg(ϕ −i) dϕ; 5)
0
Р е ш е н и е п. 1. Функция F (z) является аналитической в замкнутом
круге {z : |z| 6 1}. Воспользуемся заменой eiϕ= z. При этом несложно
получить, что dϕ = dz/(iz), следовательно
Осталось применить теорему Коши о вычетах (см. теорему 6.3т). Получим
Z
|z|=1
π
Z
tg(ϕ + i) dϕ; 3)
0
2π
Z
ch(eiϕ) dϕ; 6)
0
2π
Z
cos(eiϕ) dϕ =
0
cos z
d
iz
Z
|z|=1
z = 2πi Res
0
cos z
iz
cos z
iz
Z
0
dz.
=
2π
2π
Z
0
e
2π.
cos ϕ
−iϕ
cos2(e
cos(ϕ −sin ϕ) dϕ.
) dϕ;
374 Глава 16. Вычисление собственных и несобственных интегралов
Р е ш е н и е п. 2. Сделаем замену z = e
2iϕ
. Когда ϕ изменяется от 0 до
π, z пробегает окружность |z| = 1 в положительном направлении. Несложно
видеть, что
12idz
−iϕ
−iϕ
,
z
√
z
e
√
e
=
e
−
1
e
√
z
i
+
e
1iz −e
z
=
e
√
z + e
z
тогда
tg(ϕ + i) =
1ie
i(ϕ+i)
i(ϕ+i)
e
2iϕ = ln z, dϕ =
−i(ϕ+i)
− e
−i(ϕ+i)
+ e
1ieiϕe−1− e
=
eiϕe−1+ e
Данный интеграл примет вид
Z
1
2
2i
|z|=1
z − e
z + e
2
dz
= I.
2
z
Особые точки подынтегральной функции z1= 0 и z2= −e2являются
простыми полюсами. В круге |z| < 1 лежит только z1, причем вычет
2
z − e
z + e
1
2i
1
= −1,
2
z
(−1) = πi.
2
окончательно
Res
0
I = 2πi
333. Вычислить интегралы:
1)
4)
Z
Z
−π
2π
0
π
cos2x
13 + 12 cos x
dx
(1 + sin2x)
dx; 2)
; 5)
2
2π
Z
0
2π
Z
i + sin ϕ
0
1 +
dϕ
dx
1
cos x
3
; 6)
; 3)
2π
Z
0
2π
Z
(5 + 3 sin x)
0
dx
5 + 3 cos x
dx
.
;
2
2
.
2
Р е ш е н и е п. 1. Заменим z = eix, тогда
dx =
dz
, cos x =
iz
eix+ e
2
−ix
=
z2+ 1
2z
.
Интегрирование по отрезку [0, 2π] сведется к интегрированию по
окружности |z| = 1:
2π
Z
cos2x
13 + 12 cos x
0
d
x =
Z
1
4i
|z|=
(z2+ 1)2dz
6z2+ 13z + 6)
z2(
1
= I.
16.1. Задания для аудиторной работы 375
Особые точки подынтегральной функции: z1= 0 — полюс второго порядка, z2= −2/3 и z3= −3/2 — простые полюсы. Внутри контура интегрирования лежат только z1и z2. При этом
Res
Res
−
(z2+ 1)
0
z2(6z2+ 13z + 6)
(z2+ 1)
2
z2(6z2+ 13z + 6)
3
= lim
z→0
=
(z2+ 1)2dz
6z2+ 13z + 6
2
z2+1
z
12z + 13
2
2
z=−
′
13
= −
,
36
163
=
.
180
2
3
По теореме Коши о вычетах
I =
2πi
4i
169
180
13
−
36
13π
=
.
45
Р е ш е н и е п. 4. Преобразуем
sin2x =
eix− e
Теперь сделаем замену z = e
2
−ix
2i
1
= −
2ix
, dx = dz/(2iz). При этом промежу-
2ix
(e
− 2 + e
4
−2ix
).
ток интегрирования переходит в окружность |z| = 1, которая пробегается
дважды, следовательно
π
Z
(1 + sin2x)
−π
dx
Z
= 2
2
=
|z|=1
16
i
2iz1 −
Z
|z|=1
dz
1
z +
4
z dz
(6z − z2− 1)
=
1
2
2
1
−
4z
Z
16
=
2
i
|z|=1
z dz
(z − z1)2(z − z2)
2
= I,
где z1= 3 −2√2, z2= 3 + 2√2 — корни квадратного трех члена z2− 6z + 1.
Так как |z1| < 1, а |z2| > 1, то
I = 32π Res
z
z
(z − z1)2(z − z2)
1
= 32π lim
z→z
= 32π lim
2
z→z
1
(z − z2)2− 2z(z − z2)
1
(z − z2)
4
(z − z2)
′
z
2
= 32π lim
z→z
=
1
z + z
(z − z2)
3π
2
=
3
2√2
.
376 Глава 16. Вычисление собственных и несобственных интегралов
334. Вычислить интегралы:
+∞
Z
1)
4)
x2+ 1
x4+ 1
−∞
+∞
Z
(x2+ 2x + 2)
−∞
dx; 2)
dx
Р е ш е н и е п. 5. Подынтегральная функция f(z) = 1/(x2+ 4)3— чет-
ная, поэтому
I =
Рассмотрим функцию f (z) = 1/(z2+ 4)3, совпадающую с функцией
f(x) на действительной оси. Функция f (z) имеет в верхней полуплоскости
полюс третьего порядка в точке z = 2i. Вычет относительно этого полюса
равен
Res2if(z) =
1
2
lim
z→2i
тогда
Р е ш е н и е п. 6. Подынтегральная функция является четной, поэтому
+∞
Z
I =
(x2+ 1)(x2+ 4)
0
Рассмотрим функцию f(z) = z2/(z2+ 1)(z2+ 4), пр едставляющую
собой отношение многочлена степени n = 2 и многочлена степени m = 4,
в силу чего условие n + 2 6 m выполнено. Функция f(z) имеет в верхней
полуплоскости две особые точки z1= i и z2= 2i, поэтому
Данные точки являются простыми полюсами функции f (z), значит,
2
I = πilim
z→i
(z + i)
z
(z2+ 4)
+∞
Z
x4+ 1
dx; 3)
x6+ 1
0
+∞
Z
; 5)
2
+∞
Z
(x2+ 4)
0
1
(z + 2i)
I =
x2dx
1
I =
2πiResif(z) + Res2if(z).
2
+ lim
z→2i
3
1
2
0
dx
′′
· 2πi ·
(z2+
(x2+ 4)
=
3
(−3)(−4)
=
2 ·44i
=
1)(z + 2i)
dx
; 6)
3
+∞
Z
1
2
(x2+ 4)
−∞
2
3
=
512
+∞
Z
1
2
(x2+ 1)(x2+ 4)
0
2
z
+∞
Z
−∞
dx
(z + 2i)
3π
.
x2dx
= πi
dx
;
x6+ 1
+∞
Z
0
.
3
−5
x2dx
(x2+ 1)(x2+ 4)
=
z=2i
.
−1
+
2i · 3
3
2 · 44i
−4
−3 ·4i
,
.
π
=
.
6
16.2. Базовые индивидуальные задания 377
16.2. Базовые индивидуальные задания
335. Вычислить интегралы:
1)
4)
7)
10)
13)
16)
19)
π
Z
tg(x + 7i) dx; 2)
0
π
Z
ctg(x −2i) dx; 5)
0
π
Z
tg(x + 8i) dx; 8)
0
π
Z
ctg(x −4i) dx; 11)
0
π
Z
tg(x + 6i) dx; 14)
0
π
Z
ctg(x −7i) dx; 17)
0
π
Z
tg(x + 11i) dx; 20)
0
π
Z
ctg(x −11i) dx; 3)
0
π
Z
tg(x + 3i) dx; 6)
0
π
Z
ctg(x −3i) dx; 9)
0
π
Z
tg(x + 9i) dx; 12)
0
π
Z
ctg(x −9i) dx; 15)
0
π
Z
tg(x + 4i) dx; 18)
0
π
Z
ctg(x −10i) dx.
0
π
Z
tg(x + 5i) dx;
0
π
Z
ctg(x −8i) dx;
0
π
Z
tg(x + 2i) dx;
0
π
Z
ctg(x −6i) dx;
0
π
Z
tg(x + 10i) dx;
0
π
Z
ctg(x −5i) dx;
0
336. Вычислить интегралы:
1)
4)
2π
Z
11 + cos x
0
2π
Z
8 + cos x
0
dx
dx
; 2)
; 5
2π
Z
0
2π
Z
)
0
dx
2 + cos x
dx
3 + cos x
; 3)
; 6
2π
Z
1 −10 cos x + 25
0
2π
Z
4 + cos x
0
dx
)
cos 2x dx
;
;
378 Глава 16. Вычисление собственных и несобственных интегралов
2π
Z
7)
10)
13)
16)
19)
cos 2x dx
1 −4 cos x + 4
0
2π
Z
cos x dx
1
1 −
sin x +
3
0
2π
Z
dx
1
1 +
cos x
6
0
2π
Z
dx
1
1 +
cos x
5
0
2π
Z
sin ϕ + cos ϕ
2 sin ϕ + 3
0
; 8)
; 11)
1
36
Z
; 14)
0
; 17)
dϕ; 20)
2π
337. Вычислить интегралы:
1)
4)
7)
9)
12)
+∞
Z
x2dx
16 + x
−∞
+∞
Z
(x2+ 81)
−∞
+∞
Z
(x2+ 4x + 20)
−∞
+∞
Z
(x2− 8x + 20)
−∞
+∞
Z
dx
(9 + x2)
−∞
dx
; 2)
4
x dx
x dx
4
3
; 1
−∞
; 5)
; 8)
2
; 10)
2
3)
+∞
Z
2π
Z
0
1 −
2π
Z
(2 + cos ϕ)
0
x2dx
25 + x
+∞
Z
(x2+ 100)
−∞
+∞
Z
(x2+
−∞
dx
10 + cos x
2π
Z
dx
1
1 +
cos x
0
4
dx
1
cos x +
3
2π
Z
0
4
x2dx
+∞
Z
−∞
+∞
Z
−∞
dϕ
dx
1
36
; 18)
2
dϕ
sin ϕ + cos ϕ + 2
; 3)
; 6)
3
x dx
(x2− 6x + 10)
dx
(64 + x2)
; 14)
2
81)
; 9)
; 12)
; 15)
+∞
Z
(x2+ 121)
−∞
; 11)
4
2π
Z
1 −
0
Z
0
2π
Z
1 −
0
2π
Z
(5 + 3 sin ϕ)
0
.
dx
+∞
Z
(x2+ 225)
−∞
;
2
+∞
Z
(x2+
−∞
dx
1
cos x +
2
2π
cos x dx
1 −sin x +
cos23x dx
1
cos 2x +
3
dϕ
;
3
x2dx
+∞
Z
(1 + x2)
−∞
dx
121)
3
dx
;
1
16
;
1
4
;
1
36
;
2
;
;
4
;
2
16.3. Задания для самостоятельной работы 379
15)
18)
20)
+∞
Z
x2dx
(x2+ 225)
−∞
+∞
Z
(x2+ 4)(x2+ 25)
−∞
+∞
Z
(x2+ 1)(x2+ 16)
−∞
dx
dx
; 16)
2
+∞
Z
(x2+ 121)
−∞
; 19)
.
x2dx
−∞
; 17)
2
+∞
Z
(x2+ 9)(x2+ 36)
−∞
dx
16.3. Задания для самостоятельной
работы
338. Вычислить интегралы:
2π
1)
3)
5)
7)
Z
0
2π
Z
0
π/2
Z
0
2π
Z
0
dϕ
(a + b cos ϕ)
cos22ϕ dϕ
1 −2a cos 2ϕ + a
, a > b > 0; 2)
2
, |a| > 1; 4)
2
cos2nϕ cos 2mϕ dϕ, m, n ∈ N; 6)
dϕ
a + b cos2ϕ
, a > b > 0; 8)
π
Z
cos4ϕ dϕ
1 + sin2ϕ
0
2π
Z
1 −2a cos ϕ + a
0
π
Z
0
2π
Z
(a + b cos2ϕ)
0
tg(x + ia) dx, a ∈ R;
dϕ
+∞
Z
dx
(x2+ 16)(x2+ 1)
;
;
dϕ
2
, |a| < 1;
2
, a > b > 0.
;
339. Вычислить интегралы:
∞
Z
(x2+ 1)
0
dx
, n ∈ N; 2)
n
1)
∞
Z
(x2+ a2)(x2+ b2)
−∞
dx
, a > 0, b > 0;
380 Глава 16. Вычисление собственных и несобственных интегралов
∞
Z
0
Z
−∞
Z
−∞
∞
∞
dx
, n ∈ N, n > 2; 4)
n
1 + x
dx
; 6)
x6+ 1
dx
(x2+ a2)
n+1
∞
Z
(x2+ a2)
0
, a > 0, n ∈ N; 8)
3)
5)
7)
340. Вычислить интегралы:
∞
1)
3)
5)
Z
0
∞
Z
0
∞
Z
0
x dx
(4x2+ π2) sh x
sh2x dx
(4x2+ π2) ch2x
ln(1 + x2) dx
x2(1 + x2)
; 6)
; 2)
; 4)
341. Вычислить интегралы:
1)
Z
−∞
∞
x dx
; 2)
sh x
∞
Z
sh x ch x
0
x dx
∞
Z
0
x2dx
, a > 0;
2
∞
Z
lnx +√x2− 1
1
∞
Z
arctg
a
∞
Z
arctg2x
0
; 3)
xndx
2n
1 + x
∞
Z
−∞
2
x
axdx
√
x2− a
dx
.
2
x
∞
Z
0
, n ∈ N, n > 2;
(2x + 1)2dx
(x2+ 2x + 10)
dx;
, a > 0;
2
2
x
sh x
dx; 4)
.
3
∞
Z
x2dx
.
ch x
0
16.4. Задания творческого характера
342. Показать, что
2π
Z
cos θ
e
cos(nθ − sin θ) dθ =
0
2π
, n ∈ N.
n!
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]