Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1329 вузов, 5502 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Теория функций комплексного переменного. Учебник

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
08.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
6.2. Базовые индивидуальные задания 231
4) {z : |z − 1| = 1}; 5 ) {z : |z + 1| = 1}; 6) {z : |z − i| = 1};
7) {z : Re z = 5}; 8) { z : Im z = 5}; 9)z : |z| =
10)nz : |z + 2| =√3o; 11)z : |z| =
13)z : |z| =
1
; 14) {z : Im z = 7}; 15) {z : |z − 2i| = 2};
9
1
; 12) {z : Re z = 9};
7
1
;
5
16) {z : |z − 3i| = 3}; 17) {z : |z + 5i| = 5}; 18) {z : Im z = 9};
19) {z : |z − 6i| = 6}; 20) {z : |z − 7i| = 7}.
129. Найти дробно-линейную функцию w = w(z), переводящую три
различные точки z1, z2и z3соответственно в т ри различные точ­ки w1, w2и w3. Найти образ области G при найденном отобра­жении, если:
1) z1= 3, z2= ∞, z3= −3, w1= 0, w2= 3i, w3= 3 + 3i; G = {z : Re z > 0};
2) z1= 3, z2= −3, z3= 3i, w1= 3, w2= −3, w3= 0; G = {z : Im z > 0};
3) z1= 0, z2= 1, z3= ∞, w1= −i, w2= 0, w3= 1; G = {z : Im z < 0};
4) z1= 0, z2= 2, z3= ∞, w1= −2, w2= 0, w3= 2; G = {z : Im z > 0};
5) z1= 0, z2= ∞, z3= i, w1= 0, w2= 1 + i, w3= ∞; G = {z : Re z < 0};
6) z1= 4, z2= 4i, z3= −4, w1= 0, w2= i, w3= 1 + i; G = {z : |z| < 4};
7) z1= 4, z2= −4, z3= 4i, w1= 4, w2= −4, w3= 0; G = {z : |z| < 4};
8) z1= 1, z2= i, z3= −1, w1= 1, w2= 0, w3= −1; G = {z : |z| < 1};
9) z1= 0, z2= −1 − i, z3= 1 + i, w1= −1, w2= i, w3= 1;
G = {z : Re z > Im z};
232 Глава 6. Дробно-линейная функция
10) z1= 0, z2= 1, z3= ∞, w1= −2, w2= 2i, w3= 2;
G = {z : Im z < 0};
11) z1= ∞, z2= i, z3= 1 + i, w1= 2, w2= 1 + 2i, w3= 0;
G = {z : Im z > 1};
12) z1= −1, z2= i, z3= 1, w1= 0, w2= 1, w3= ∞; G = {z : |z| < 1};
13) z1= 0, z2= 5, z3= ∞, w1= −5, w2= 0, w3= 5;
G = {z : Im z < 0};
14) z1= 0, z2= 1, z3= ∞, w1= −1, w2= 0, w3= 1;
G = {z : Im z < 0};
15) z1= 1, z2= ∞, z
3
= i, w2= 1 + i, w3= 2 + i;
1
G = {z : Im z > 0};
16) z1= 1, z2= ∞, z3= −1, w1= 0, w2= i, w3= 1 + i;
G = {z : Re z < 0};
17) z1= 2, z2= −2, z3= 2i, w1= −2, w2= 2, w3= 0;
G = {z : |z| > 2};
18) z1= −1, z2= 0, z3= 1, w1= 1, w2= i, w3= −1;
G = {z : Im z > 0};
19) z1= 1, z2= −i, z3= i, w1= 0, w2= 1 + i, w3= ∞;
G = {z : |z| > 1};
20) z1= 1, z2= 1 + i, z3= 1 − i, w1= 0, w2= i, w3= ∞;
G = {z : Re z > 1}.
130. Найти дробно-линейное отображение w = w(z) верхней полуплос- кости на полуплоскость G при заданных условиях:
1) G = { z : Im z > 0}, w(0) = 1, w(1) = 2, w(2) = ∞;
2) G = { z : Im z < 0}, w(1) = 1, w(2) = 2, w(3) = ∞;
3) G = { z : Re z > 0}, w(0) = 0, w(1) = i, w(2) = ∞;
4) G = { z : Re z < 0}, w(−1) = −i, w(0) = 0, w(1) = i;
5) G = { z : Im z > 0}, w(0) = 1, w(i) = 2i;
6) G = { z : Im z < 0}, w(0) = 1, w(i) = −i;
6.2. Базовые индивидуальные задания 233
7) G = { z : Re z > 0}, w(1) = 1, w(∞) = i, w(−1) = −i;
8) G = { z : Re z < 0}, w(0) = ∞, w(1) = 1, w(2) = 2;
9) G = { z : Im z > 0}, w(0) = 2, w(1) = 1, w(2) = ∞;
10) G = {z : Im z < 0}, w(0) = 1, w(i) = −2i;
11) G = {z : Im z > 0}, w(0) = 1, w(1) = 2, w(2) = ∞;
12) G = {z : Im z < 0}, w(1) = 1, w(2) = 2, w(3) = ∞;
13) G = {z : Re z > 0}, w(0) = 0, w(1) = i, w(2) = ∞;
14) G = {z : Re z < 0}, w(−1) = −i, w(0) = 0, w(1) = i;
15) G = {z : Im z > 0}, w(0) = 1, w(i) = 2i;
16) G = {z : Im z < 0}, w(0) = 1, w(i) = −i;
17) G = {z : Re z > 0}, w(1) = 1, w(∞) = i, w(−1) = −i;
18) G = {z : Re z < 0}, w(0) = ∞, w(1) = 1, w(2) = 2;
19) G = {z : Im z > 0}, w(0) = 2, w(1) = 1, w(2) = ∞;
20) G = {z : Im z < 0}, w(0) = 1, w(i) = −2i.
131. Найти дробно-линейное отображение w = w(z) области G1на
область G2, для которого w(z1) = w1, arg w′(z1) = α, где z1∈ G1, если:
1) а) G1= {z : |z| < 1}, G2= {w : |w| < 1}, z1=
1
, w1= 0, α = 0;
6
б) G1= {z : Im z > 0}, G2= {w : |w| < 1}, z1= i, w1= 0, α = 0;
2) а) G1= {z : Im z > 0}, G2= {w : |w| < 1}, z1= 3i, w1= 0,
π
α = − б) G1= {z : |z| < 1}, G2= {w : |w| < 1}, z1=
3) а) G1= {z : |z| < 1}, G2= {w : |w| < 1}, z1=
;
2
1
, w1= 0, α =
2 1
, w1= 0, α = 0;
9
π
;
2
б) G1= {z : Im z > 0}, G2= {w : |w| < 1 }, z1= 1 + i, w1= 0, α = π;
4) а) G1= {z : Im z > 0}, G2= {w : |w| < 1}, z1= 5i, w1= 0, α = 0; б) G1= {z : |z| < 2}, G2= {w : |w| < 1}, z1= i, w1= 0, α =
5) а) G1= {z : |z| < 1}, G2= {w : Im w > 0}, z1= 0, w1= i, α = б) G1= {z : |z| < 1}, G2= {w : |w| < 1}, z1=
1
, w1= 0, α =
2
π
;
4
π
2
π
;
2
;
234 Глава 6. Дробно-линейная функция
6) а) G1= {z : Im z < 0}, G2= {w : |w| < 1}, z1= −9i, w1= 0,
π
α = − б) G1= {z : |z| < 1}, G2= {w : |w| < 1}, z1= 0, w1= 0, α = −
7) а) G1= {z : |z| < 1}, G2= {w : |w| < 1}, z1=
;
2
1
, w1= 0, α = 0;
7
π
2
б) G1= {z : Im z < 0}, G2= {w : |w + i| < 2}, z1= −i, w1= −i, α = 0;
8) а) G1= {z : |z| < 1}, G2= {w : |w| < 1}, z1=
1
, w1= 0, α =
2
π
;
2
б) G1= {z : Im z > 0}, G2= {w : |w| > 1}, z1= i, w1= ∞, α = π;
9) а) G1= {z : Im z > 0}, G2= {w : |w| < 1}, z1= 5i, w1= 0,
π
α = −
б) G1= {z : |z| < 1}, G2= {w : |w| < 1}, z1= 0, w1=
;
2
1
, α = π;
2
10) а) G1= {z : Im z < 0}, G2= {w : |w| < 1}, z1= −2i, w1= 0,
α = 0; б) G1= {z : |z| < 1}, G2= {w : |w| < 1}, z1=
11) а) G1= {z : |z| < 1}, G2= {w : |w| < 1}, z1=
1
, w1= 0, α = 0;
3
1
, w1= 0, α = 0;
6
б) G1= {z : Re z > −1}, G2= {w : |w| < 1} , z1= 0, w1= 0, α = π;
12) а) G1= {z : Im z > 0}, G2= {w : |w| < 1}, z1= 3i, w1= 0,
π
α = − б) G1= {z : |z| < 1}, G2= {w : |w| < 1}, z1= α =
13) а) G1= {z : |z| < 1}, G2= {w : |w| < 1}, z1=
;
2
π
;
2
1
(i − 1), w1= 0,
2
1
, w1= 0, α = 0;
9
б) G1= {z : Im z > 0}, G2= {w : |w| < 1}, z1= 1 + i, w1= 0, α = π;
;
14) а) G1= {z : Im z > 0}, G2= {w : |w| < 1}, z1= 5i, w1= 0, α = 0;
б) G1= {z : |z − 1 − i| < 2}, G2= {w : |w| < 1}, z1= 1, w1= 0,
π
α =
;
2
15) а) G1= {z : |z| < 1}, G2= {w : Im w > 0}, z1= 0, w1= i, α =
б) G1= {z : |z| < 1}, G2= {w : |w| < 1}, z1=
1
, w1=
2
1
, α =
2
π
2
π
2
16) а) G1= {z : Im z < 0}, G2= {w : |w| < 1}, z1= −9i, w1= 0,
π
α = −
б
;
2
) G1= {z : |z| < 1}, G2= {w : |w| < 1}, z1=
1
, w1=
2
1
, α = −
2
π
2
;
;
;
6.2. Базовые индивидуальные задания 235
17) а) G1= {z : |z| < 1}, G2= {w : |w| < 1}, z1=
1
, w1= 0, α = 0;
7
б) G1= {z : Im z > 0}, G2= {w : |w| < 1}, z1= 2i, w1= 0,
π
α = −
18) а) G1= {z : |z| < 1}, G2= {w : |w| < 1}, z1=
;
2
1
, w1= 0, α =
2
б) G1= {z : Im z > 0}, G2= {w : |w| < 1}, z1= 3i, w1= 0,
π
α = −
;
2
19) а) G1= {z : Im z > 0}, G2= {w : |w| < 1}, z1= 5i, w1= 0,
π
α = −
б) G1= {z : |z| < 1}, G2= {w : |w| < 1}, z1=
;
2
1
, w1= 0, α = 0;
4
20) а) G1= {z : Im z < 0}, G2= {w : |w| < 1}, z1= −2i, w1= 0, α = 0; б) G1= {z : |z| < 1}, G2= {w : |w| < 1}, z1=
1
, w1= 0, α = 0.
8
132. Найти образ области G при отображении w, если:
1) G = {z : Re z > 1}, w =
z − 1
3) G = {z : |z − 1| < 2}, w =
4) G = {z : Re z > 1}, w =
6) G = {z : Re z < 0}, w =
z − 1 z − 2 z − 1 z − 2
8) G = {z : |z − 1| < 2}, w =
9) G = {z : |z| < 1}, w =
z
z − 1
11) G = {z : Re z > 0}, w = −i
12) G = {z : |z| > 2}, w =
14) G = {z : |z| < 1}, w =
6) G = {z : Im z > 1}, w =
1
z z − 1 1 −z
z
z − i
; 2) G = {z : |z| > 1}, w =
z
2iz
;
z + 3
; 5) G = {z : Re z < 0}, w =
; 7) G = {z : Re z < 1}, w =
z + 1
;
z − 2
; 10) G = {z : |z| < 1}, w =
z − 1
;
z + 1
; 13) G = {z : Re z < 0}, w =
5) G = { z : |z| < 1}, w = i
; 1
;
z
z + i z − i
z − 1
z z
z − 2
2z − 1
z − 2
z + 3 z − 3 z − 1
z + i
π
;
2
;
;
;
;
;
;
236 Глава 6. Дробно-линейная функция
)
√
i
2
2
<
2
, w =
iz − 2
z + i
;
17) G =(z :
  
z −
1
+
2
18) G = {z : |z| < 7}, w =
19) G = {z : Re z > 0}, w =
20) G = {z : |z − 1| < 2}, w =
z − 7
z + 7i
z + 6 z − 6
2z − 6
;
;
z − 1
.
133. Выяснить, во что преобразуется область G при дро бно-линейном отображении w = w(z):
1) G = { z : 0 < Re z < 1}, w =
2) G = { z : |z + 1| < 2, Re z > 0}, w =
3) G = { z : 0 < Re z < 1}, w =
4) G = { z : |z| < 1, Im z < 0}, w =
5) G = { z : 1 < Im z < 4}, w =
6) G = { z : |z| < 1, Re z > 0}, w =
7) G = { z : 0 < Im z < 1}, w =
8) G = { z : 1 < Im z < 2}, w =
9) G = { z : |z| < 1, Im z > 0}, w =
10) G = {z : |z − i| > 1, Im z > 0}, w =
11) G = {z : 0 < Re z < 1}, w =
z − 1 z + 2
z − 1 z − 2
z + 1
z
1 −z z + 2
z z − i iz + 2
z − 1
z − 1 z − 3
;
z − 1 z + 3
;
2z − i iz + 2
;
;
;
1 −z 1 + z
1
z
;
;
;
;
;
;
6.3. Задания для самостоятельной работы 237
z − i z + i
;
z − i z + i
;
z − i z + i
;
;
z + i z − i
−z
z + 1 −i
;
;
;
.
;
12) G = {z : |z − i| < 1, Re z < 0}, w =
13) G = {z : Re z > 0, Im z < 0}, w =
14) G = {z : 1 < |z| < 2}, w =
15) G = {z : Re z < 0, Im z < 0}, w =
16) G = {z : 1 < |z| < 2}, w =
17) G = {z : Re z < 0, Im z > 0}, w =
18) G = {z : 1 < |z| < 2}, w =
19) G = {z : 1 < |z| < 2}, w =
20) G = {z : Im z < 0, Re z < 0}, w =
z + 1 z + 2
2
z − 1
z
z + 1
iz
iz − 1
6.3. Задания для самостоятельной работы
134. Найти общий вид дробно-линейного отображения w = w(z), пе- реводящего область G1в область G2:
1) G1= {z : Im z > 0}, G2= {w : Im w < 0};
2) G1= {z : Im z > 0}, G2= {w : Re w > 0};
3) G1= {z : Im z > 0}, G2= {w : Re w < 0};
4) G1= {z : Im z > 0}, G2= {w : |w| < 1};
5) G1= {z : |z| < 1}, G2= {w : Im w > 0};
6) G1= {z : Im z < 0}, G2= {w : |w| < 1};
7) G1= {z : Re z > 0}, G2= {w : |w| < 1};
8) G1= {z : Re z < 0}, G2= {w : |w| < 1};
9) G1= {z : |z| < 1}, G2= {w : Re w > 0}.
238 Глава 6. Дробно-линейная функция
135. Найти дробно-линейное отображение w = w(z) области G1на область G2, удовлетворяющее заданным условиям нормировки:
1) G1= {z : Im z > 0}, G2= {w : |w − i| < 2}, w(i) = 0, w′(i) > 0;
2) G1= {z : Im z < 0}, G2= {w : |w| < 1}, w(−i) = 0,
arg w′(−i) = −
3) G1= {z : |z| < 2}, G2= {w : Re w > 0}, w(0) = 1, arg w′(0) =
π
;
2
π
2
4) G1= {z : |z − 4i| < 2}, G2= {w : Im w > Re w}, w(4i) = −4, w(2i) = 0;
5) G1= {z : Im z > 0}, G2= {w : Im w < 0}, w(i) = −i, arg w′(i) = −
6) G1= {z : |z| < 1}, G2= {w : |w − 1| < 1}, w(0) =
π
;
2
1
, w(1) = 0;
2
7) G1= {z : |z − 2| < 1}, G2= {w : |w − 2i| < 2}, w(2) = i,
arg w′(2) = 0.
136. Отобразить круг G = {z : |z| < 1} на себя так, чтобы отрезок действительной оси
{z : Im z = 0, 0 6 Re z 6 a}, a < 1,
перешел в отрезок действительной оси, симметричный относи­тельно начала координат.
137. Найти общий вид дробно-линейного отображения w = w(z) сле- дующих областей на кольцо {w : 1 < |w| < R}:
;
1) {z : |z − 3| > 9, |z − 8| < 16}; 2) {z : |z − 5| > 4, Re z > 0}.
138. Круг {z : |z| < 1} отображается на себя так, что точка z06= 0
переходит в центр круга. Доказать, что при этом единичная по­луокружность отображается на полуокружность тогда и только тогда, когда ее концы лежат на диаметре, проходящем через точ­ку z0.
6.4. Задания творческого характера 239
Р е ш е н и е. Произвольное отображение единичного круга на себя име-
ет вид
w = e
iα
1 − z0z
z − z
0
.
Пусть полуокружность L имеет концы, лежащие на диаметре, прохо-
дящем через точку z0(рис. 6.2).
y
(z)
L
b
a
b
b
b
z
0
1 1
O
x
Рис. 6.2
v
(w)
L
1
b
a
1
b
1
b
b
O
u
L
2
Граничные точки a и b переходят в точки a1= w(a) и b1= w(b), лежа­щие на границе круга |w| = 1. По свойству дробно-линейного отображения диаметр [a, b] переходит в дугу окружности γ, перпендикулярную окружно­сти |w| = 1 и проходящую через точку w0= 0. Это возможно только в том случае, когда γ — отрезок [a1, b1]. Тогда L переходит либо в полуокружность
L1, либо в полуокружность L2.
Обратно, пусть единичная полуокружность отображается в полу­окружность f(L3) = L1. Тогда a1и b1— концы диаметра, проходящего через точку w0= 0. Отображение, обратное к дробно-линейному, является также дробно-линейным отображением, поэтому к нему можно п рименить преды­дущие рассуждения и L3будет единичной полуокружностью.
себя, при котором прообраз центра находится на действительной
оси, а дуга {z : 0 6 arg z 6 π/2, |z| = 1} единичной окружности
отображается в следующие дуги:
1) {z : 0 6 arg z 6 π/2, |z| = 1}; 2) {z : 0 6 arg z 6 π/3, |z| = 1};
3) {z : π/2 6 arg z 6 7π/6 , |z| = 1}.
6.4. Задания творческого характера
140. Показать, что дробно-линейное преобразование имеет одну непо-
движную точку z0(такое преобразование называется параболи-
240 Глава 6. Дробно-линейная функция
ческим) тогда и только тогда, когда оно представимо в канони­ческой форме
1
w − z
0
=
1
z − z
0
+ h, z06= ∞,
или
w = z + h, z0= ∞.
141. Дробно-линейное преобразование с двумя различными непо­движными точками z1и z2в канонической форме имеет в ид
w − z w − z
z − z
1
= k
2
1
, z16= ∞, z26= ∞,
z − z
2
w − z1= k(z − z1), z2= ∞.
Это преобразование называется гиперболическим, если k > 0, эллиптическим, если k = eiα, α 6= 0, и локсодромическим, если
k = aeiα, a 6= 1, α 6= 0 (a, α ∈ R и a > 0). Доказать следующие
утверждения:
1) общее дробно-линейное отображение
az + b
w =
cz + d
можно привести к виду
w =
αz + β
γz + δ
  
,
 
α β
γ δ
    
= 1;
2) если α + δ — действительно е число, то преобразование являет- ся эллиптическим, когда |α + δ| < 2, гиперболическим, когда |α + δ| > 2, и параболическим, когда |α + δ| = 2;
3) если Im(α + δ) 6= 0, то преобразование является локсодромиче- ским;
4) дробно-линейное преобразование
z − a
w = e
iλ
1 −az
a = |a|eiα, |a| < 1,
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности