Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебник
.pdf
11.4. Задания творческого характера 311
Во-вторых, полагая g2(z) ≡ 0, E = {1/(2n + 1)}
z∗= 0 — предельная точка множества E, z∗∈ D, и
f
По теореме единственности f (z) ≡ 0 для всех z ∈ D.
Таким образом, получено противоречие, т.е. аналитическая функция,
удовлетворяющая данному условию, не существует.
1
2n + 1
= 0 = g
2
2n + 1
1
, n ∈ N.
∞
⊂ D, имеем:
n=1
11.4. Задания творческого характера
244. Функция f (z) = cos
лей zn=
2
(2n+1)π
Объяснить, как это согласуется с теоремой единственности.
245. Точка z0называется A-точкой аналитической функции w = f (z),
если f (z0) = A. Рассмотрим функцию, не тождественно равную
постоянной и аналитическую в C. Определить, может ли последовательность A-точек данной функции иметь предельную т очку.
246. С помощью теоремы единственности доказать, что для всех z ∈ C
выполняются равенства:
1) sin 2z = 2 sin z cos z; 2) ch 2z = sh2z + ch2z;
1
имеет бесконечную последовательность ну-
z
, n ∈ N, сходящуюся к нулю. Однако f (z) 6≡ 0.
3) sin2z + cos2z = 1; 4) eze−z= 1;
5) ch 2z = ch2z + sh2z; 6) ch(z1+ z2) = ch z1ch z2+ sh z1sh z2;
7) sh z1+ sh z2= 2 sh
z1+ z
2
z1− z
2
ch
2
;
2
8) sin(z1+ z2) = sin z1cos z2+ cos z1sin z2.
247. Пусть функция w = f (z), является аналитической в окрестности
некоторой точки и множество E принимаемых ею в этой окрестности значений конечно. Доказать, что E состоит из одной то чки.
248. Пусть функция w = f(z), аналитическая в односвязной об-
ласти D(f ), принимает только целые значения. Доказать, что
f(z) = const в D(f ).
312 Глава 11. Нули аналитической функции. Теорема единственности
249. Пусть функция w = f (z), аналитическая в области G, а некото-
рая точка z0∈ G является ее нулем бесконечного порядка, т.е.
f(z0) = 0 и для любого n ∈ N все производные f
(n)
(z0) = 0.
Доказать, что f(z) ≡ 0 в G.
250. Пусть p ∈ N и p > 2. Определить, существует ли отличная от
тождественно равной постоянной и аналитическая в некоторой
окрестности точки z0функция w = f (z), удовлетворяющая в этой
окрестности условию f(z) = f(zp).
251. Доказать, что если функция w = f (z) является аналитической
в единичном круге D = {z : |z| < 1} и в каждой точке его
границы, то она аналитически продолжается и в некоторый круг
Dρ= {z : |z| < ρ}, ρ > 1.
252. Пусть функция w = f (z) аналитична в некоторой окрестности
точки z0и f (z0) = 0. Доказать, что если функция f (z) тождественно не равна нулю, то найдется окрестность точки z0, в
которой нет нулей f (z), отличных от z0.
253. Используя теорему единственности, доказать, что
+∞
Z
−zt
e
0
1
dt =
, если Re z > 0.
z
Глава 12
Ряд Лорана
12.1. Задания для аудиторной работы
254. Разложить функцию f (z) в ряд Ло рана в точках множества K:
1) f(z) =
а) K = {z : 1 < |z| < 3};
б) K = {z : 0 < |z − 1| < 2};
в) K = {z : 3 < |z| < +∞};
2) f(z) =
а) K = {z : 1 < |z| < 3};
б) K = {z :√2 < |z − 1| < 4};
в) K = {z : 3 < |z| < +∞};
3) f(z) =
а) K = {z : |z| < 1};
б) K = {z : 1 < |z| < 2};
в) K = {z : 2 < |z| < +∞};
4) f(z) =
а) K = {z : 0 < |z| < 1};
б) K = {z : 1 < |z + 1| < 2};
в) K = {z : 1 < |z| < +∞};
z
z2− 4z + 3
z
(z − i)(z + 3)
3
z2+ z − 2
1
z2− z
:
:
:
:
314 Глава 12. Ряд Лорана
5) f(z) =
1
z2+ 1
:
а) K = {z : |z| < 1};
б) K = {z : 0 < |z − i| < 2};
в) K = {z : 1 < |z| < +∞};
6) f(z) =
1
z2− 3z + 2
:
а) K = {z : |z| < 1};
б) K = {z : 1 < |z| < 2};
в) K = {z : 2 < |z| < +∞}.
Р е ш е н и е п. 6. а) Функция f(z) аналитична в круге {z : |z| < 1}. В
этом случае ряд Лорана является рядом Тейлора, который находится следующим образом. Данную функц ию представим в виде суммы простейших
дробей:
f(z) =
Каждую из полученных дробей разложим в ряд Тейлора
1
= −
z −2
1
z − 1
поэтому в круге {z : |z| < 1}
∞
X
f(z) =
n=0
б) Аналогично, как и в случае а):
z − 2
Функцию 1/(z − 1) в данном случае следует раскладывать во внеш-
ности единичного круга |z| > 1 по отрицательным степеням z. Поэтому
проведем следующие преобразования:
1
1z1
=
z − 1
1 −
1
(z − 2)(z − 1)
121
= −
zn−
f(z) =
1
1 −
= −
1
z
z
2
1
1 − z
∞
X
n=0
=
= −
= −
z
n+1
2
1
z − 2
∞
X
n=0
∞
X
1
z
n=
1
2
n
=
−
n
z
n+1
2
1
z
0
1
=
z − 2
∞
X
z
2
n=0
∞
X
zn, |z| < 1,
n=0
∞
X
n=0
1
,
z − 1
, |z| < 2.
∞
X
=
n
n=
1
1
−
z − 1
n
, |z| < 2,
1
1 −
n+1
2
1
, |z| > 1.
n
z
.
zn.
12.1. Задания для аудиторной работы 315
Следовательно, в кольце K = {z : 1 < |z| < 2}
f(z) = −
−1
X
n=−∞
zn−
∞
X
n=0
2
n
z
n+1
.
в) В области K = {z : |z| > 2} обе дроби разложим по отрицательным
степеням z:
−1
X
=
1
z
n
2
=
n
z
n=−∞
∞
X
n=0
z
zn,
n
2
n+1
∞
n−1
X
2
=
n=1
,
n
z
1
z − 2
1
1z1
=
z −1
1z1
=
1 −
2
z
1 −
∞
X
1
=
z
n=0
поэтому в данном случае
f(z) =
−1
X
n=−∞
zn−
−1
X
n=−∞
2
n
z
n−1
=
−1
X
n=−∞
1 −
2
1
n−1
zn,
или, в другой записи,
f(z) =
∞
X
n=1
(1 −2
n+1
1
)
.
n
z
255. Применяя почленное дифференцирование рядов, найти разложение в ряд Лорана функции f (z) в точках множества K :
1) f(z) =
2) f(z) =
3) f(z) =
4) f(z) =
5) f(z) =
6) f(z) =
1
, K = {z : 0 < |z − i| < 2};
(z2+ 1)
2
1
(z − 1)2(z + 2)
1
, K = {z : 1 < |z − 1| < 2};
z(z − 3)
2
z
(z + 1)2(z − 2)
1
z2(z2− 9)
z(z +
, K = {z : 1 < |z − 1| < 2};
1
, K = {z : 1 < |z + 1| < 2}.
2
3)
, K = {z : 1 < |z| < 2};
, K = {z : 1 < |z| < 2};
316 Глава 12. Ряд Лорана
b b b
−3
−1
Рис. 12.1
Р е ш е н и е п. 6. У функции f (z) = 1/(z(z + 3)2) имеется две особые
точки z1= 0 и z2= −3 (рис. 12.1).
Разложим ее на сумму простых дробей:
1
z(z + 3)
A
=
2
z
Приводя члены в правой части равенства к общему знаменателю, по-
лучим
1
z(z + 3)
A(z + 3)2+ Bz(z + 3) + Cz
=
2
Отсюда следует, что A = 1/9, B = −1/9, C = −3/9, т.е.
1
f(z) =
1
−
9
z
+
z + 3
1
z + 3
0
B
+
z(z + 3)
−
(z + 3)
C
(z + 3)
2
3
2
.
2
.
.
Далее, помня, что раскладывать надо по степеням (z + 1), находим,
что при |z + 1| > 1
1
=
z
1
z + 1 − 1
=
1
z + 1
1 −
1
1
z+1
=
1
z + 1
∞
X
n=0
1
(z + 1)
∞
X
=
n
n=0
(z + 1)
а при |z + 1| < 2
1
z + 3
=
2 + z + 1
∞
1
=
121
1 +
z+1
2
X
=
n=0
(−1)
n
(z + 1)
n+1
2
n
Здесь мы учли, что вторая дробь аналитична в круге |z + 1| < 2, а
первая — во внешности |z + 1| > 1 (см. рис. 12.1).
Дифференцируя при |z + 1| < 2 предыдущее равенство, получим, что
∞
3)
X
=
2
(−1)
n=1
n
n
n+
1
2
(z + 1)
n−1
.
−
1
(z +
1
,
n+1
.
12.1. Задания для аудиторной работы 317
Учитывая предыдущие равенства, при 1 < |z + 1| < 2 будем иметь
f(z) =
"
∞
X
1
=
9
n=0
1
(z + 1)
n+1
∞
X
+
(−1)
n=0
1
=
9
n=0
∞
X
(z + 1)
n+1
(z + 1)
n+1
2
1
n+1
∞
n
+
+ 3
1
9
X
n=0
∞
X
n=0
(−1)
(−1)
n + 1
n+1
n+2
2
n+1
(3n + 5)(z + 1)n.
n+2
2
(z + 1)
#
n
=
256. Разложить функцию f (z) в ряд Ло рана в точках множества K:
1) f(z) = z4cos
2) f(z) = z2e
3) f(z) = (z − 1)e
4) f(z) = z2sin
5) f(z) = sin
6) f(z) = cos
1
, K = {z : 0 < |z| < +∞};
z
1
z
, K = {z : 0 < |z| < +∞};
1
1−z
, K = {z : 0 < |z − 1| < +∞};
1
, K = {z : 0 < |z − 1| < +∞};
z − 1
z
, K = {z : 0 < |z − 1| < +∞};
1 −z
z2− 4z
(z − 2)
, K = {z : 0 < |z − 2| < +∞}.
2
Р е ш е н и е п. 6. Заметим, что
f(z) = cos
(z − 2)2− 4
2
(z − 2)
= cos1 −
Далее воспользуемся разложениями
∞
X
cos ξ =
n=0
∞
X
sin ξ =
n=1
4
(z − z)
= cos 1 cos
n
(−1)
ξ2n, ξ ∈ C,
(2n)!
n−1
(−1)
(2n − 1)!
2
2n−1
ξ
=
, ξ ∈ C.
4
(z − 2)
+ sin 1 sin
2
4
(z − 2)
.
2
318 Глава 12. Ряд Лорана
Тогда при 0 < |z − 2| < +∞
cos
sin
4
(z − 2)
4
(z − 2)
∞
X
=
2
n=0
∞
X
=
2
n=1
n
(−1)
(2n)!
(z − 2)
n−1
(−1)
(2n −1)!
2n
4
4n
2n−1
4
(z − 2)
,
4n−2
,
поэтому в кольце K = {z : 0 < |z − 2| < + ∞}
f(z) =
∞
X
(−1)n42ncos 1
(2n)!(z − 2)
n=1
(−1)
+
4n
(2n −1)!(z − 2)
n−142n−1
sin 1
4n−2
+ cos 1.
257. Выяснить, допускает ли функция f (z) разложение в ряд Лорана
в некоторой проколотой окрестности точки z0:
1) f(z) = ln z, z0= 0; 2) f (z) =
3
3) f(z) =
5) f(z) = cos
Р е ш е н и е п. 6. Найдем все особые точки данной функции. Они сов-
падают с корнями уравнения cos z = 1 и, следовательно, являются значениями Arccos 1. Поскольку
z
, z0= 0; 4) f(z) = ctg z, z0= ∞;
1
sin
z
1
, z0= 0; 6) f (z) =
z
z
sin z − 2
z
1 −cos z
, z0= ∞;
, z0= ∞.
Arccos z = −i Lnz +pz2− 1,
то
zk= −i Ln 1 = −i(ln |1| + i arg 1 + 2kπi) = 2kπ, k ∈ Z.
Следовательно, если взять любую проколотую окрестность
U(∞, ε) = {z : ε < |z|} точки z0= ∞, то в ней всегда найдутся осо-
бые точки f (z). Это следует из того, что при k → ∞ последовательность
zk→ +∞.
Значит, данная функция не допускает разложение в ряд Лорана ни в
какой проколотой окрестности точки z0= ∞.
12.2. Базовые индивидуальные задания 319
12.2. Базовые индивидуальные задания
258. Разложить функцию f (z) в ряд Ло рана в точках множества K:
1) f(z) =
а) K = {z : 0 < |z| < 3};
б) K = {z : 1 < |z − 1| < 2};
в) K = {z : 3 < |z| < +∞};
2) f(z) =
а) K = {z : 2 < |z| < 3};
б) K = {z : 0 < |z − 2| < 1};
в) K = {z : 3 < |z| < +∞};
3) f(z) =
а) K = {z : 2 < |z| < 3};
б) K = {z : 0 < |z − 3| < 5};
в) K = {z : 3 < |z| < +∞};
4) f(z) =
а) K = {z : 3 < |z| < 4};
б) K = {z : 0 < |z + 4| < 7};
в) K = {z : 4 < |z| < +∞};
5) f(z) =
а) K = {z : 1 < |z| < 3};
б) K = {z : 0 < |z + 1| < 2};
в) K = {z : 3 < |z| < +∞};
6) f(z) =
а) K = {z : 1 < |z| < 2};
б) K = {z : 0 < |z + 2| < 3};
в) K = {z : 2 < |z| < +∞};
7) f(z) =
а) K = {z : 3 < |z| < 4};
1
z2− 3z
z2− 5z + 6
z2− z − 6
z2+ z − 12
z2+ 4z + 3
z2+ z − 2
z2+ z − 1
:
1
1
1
z
z + 3
z + 3
:
:
:
:
:
:
2
320 Глава 12. Ряд Лорана
б) K = {z : 0 < |z − 3| < 7};
в) K = {z : 4 < |z| < +∞};
8) f(z) =
z + 4
z2− z − 2
:
а) K = {z : 1 < |z| < 2};
б) K = {z : 0 < |z + 1| < 3};
в) K = {z : 2 < |z| < +∞};
9) f(z) =
z
z2+ 3z + 2
:
а) K = {z : 1 < |z| < 2};
б) K = {z : 0 < |z + 2| < 1};
в) K = {z : 2 < |z| < +∞};
10) f(z) =
z + 5
z2− 2z − 3
:
а) K = {z : 1 < |z| < 3};
б) K = {z : 0 < |z + 1| < 4};
в) K = {z : 3 < |z| < +∞};
11) f(z) =
z − 1
z2+ 8z + 15
:
а) K = {z : 3 < |z| < 5};
б) K = {z : 0 < |z − 3| < 2};
в) K = {z : 5 < |z| < +∞};
12) f(z) =
1
z2+ 12z + 11
:
а) K = {z : 1 < |z| < 11};
в) K = {z : 11 < |z| < +∞};
13) f(z) =
1
z(1 − z)
:
а) K = {z : 0 < |z| < 1};
б) K = {z : 0 < |z − 1| < 1};
в) K = {z : 1 < |z| < +∞};
14) f(z) =
1
z2+ 1
:
а) K = {z : 0 < |z − i| < 2};
б) K = {z : 0 < |z + i| < 2};
в) K = {z : 1 < |z| < +∞};
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]