Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебник
.pdf
12.2. Базовые индивидуальные задания 321
15) f(z) =
1
z2+ 9
:
а) K = {z : 0 < |z − 3i| < 6};
б) K = {z : 0 < |z + 3i| < 6};
в) K = {z : 3 < |z| < +∞};
16) f(z) =
z
(z − i)(z − 1)
а) K = {z : 0 < |z − 1| <√2};
б) K = {z : 0 < |z − i| <√2};
в) K = {z : 1 < |z| < +∞};
17) f(z) =
1
(z − i)(z + 2i)
а) K = {z : 1 < |z| < 2};
б) K = {z : 0 < |z − i| < 3};
в) K = {z : 3 < |z| < +∞};
18) f(z) =
1
z2+ 1
:
а) K = {z : 0 < |z − i| < 1};
б) K = {z : 0 < |z + i| < 1};
в) K = {z : 1 < |z| < +∞};
19) f(z) =
1
z2+ 4
:
а) K = {z : 0 < |z − 2i| < 2};
б) K = {z : 0 < |z + 2i| < 2};
в) K = {z : 2 < |z| < +∞};
20) f(z) =
1
z2+ 16
:
а) K = {z : 0 < |z − 4i| < 4};
б) K = {z : 0 < |z + 4i| < 4};
в) K = {z : 4 < |z| < +∞}.
:
:
259. Применяя, где это необходимо, почленное дифференцирование
рядов, найти разложение в ряд Лорана функции f (z) в точках
множества K:
1) f(z) =
1
z(z − 3i)
, K = {z :
2
1 < |z − i| < 2};
322 Глава 12. Ряд Лорана
2) f(z) =
3) f(z) =
4) f(z) =
5) f(z) =
6) f(z) =
7) f(z) =
8) f(z) =
9) f(z) =
10) f(z) =
11) f(z) =
12) f(z) =
13) f(z) =
14) f(z) =
15) f(z) =
16) f(z) =
17) f(z) =
1
, K = {z : 0 < |z| < 3};
z(z − 3)
z(z − 4i)
2
1
, K = {z : 1 < |z − i| < 3};
4
1
(z + 1)2(z − i)
1
, K = {z : 1 < |z + i| < 2};
z(z + 3i)
z(z − 1)
z(z − i)
z(z − 2)
z(z − 2i)
z(z − 3i)
z(z − 4)
z(z − 3i)
z(z − 5)
z(z − 5i)
z(z − 4)
(z − 1)
(z +
2
1
, K = {z : 0 < |z| < 1};
2
1
, K = {z : 0 < |z| < 1};
2
1
, K = {z : 0 < |z| < 2};
2
1
, K = {z : 0 < |z| < 2};
2
1
, K = {z : 1 < |z − i| < 2};
3
1
, K = {z : 0 < |z| < 4};
2
1
, K = {z : 0 < |z| < 3};
2
1
, K = {z : 0 < |z| < 5};
2
1
, K = {z : 0 < |z| < 5};
2
1
, K = {z : 1 < |z − 1| < 3};
2
1
, K = {z : 1 < |z| < +∞};
4
1
, K = {z : 2 < |z| < +∞};
3
2)
, K = {z : 0 < |z − i| <√2};
12.2. Базовые индивидуальные задания 323
18) f(z) =
19) f(z) =
20) f(z) =
1
, K = {z : 1 < |z − 1| < 3};
z(z − 4)
(z + i)
3
1
, K = {z : 1 < |z| < +∞};
3
1
(z + 1)2(z − 1)
, K = {z : 0 < |z − 1| < 2}.
260. Разложить функцию f (z) в ряд Ло рана в точках множества K:
1) f(z) = z cos
2) f(z) = sin
3) f(z) = ze
4) f(z) = (z − 1)e
5) f(z) = sin
6) f(z) = cos
7) f(z) = ch
8) f(z) = z ch
9) f(z) = sh
10) f(z) = ch
11) f(z) = z sh
12) f(z) = sin
13) f(z) = e
14) f(z) = e
1
, K = {z : 0 < |z − 1| < +∞};
z − 1
z
, K = {z : 0 < |z − 1| < +∞};
z − 1
z/(z−1)
, K = {z : 0 < |z − 1| < +∞};
2
1/(1−z)
z2+ 2z
(z + 1)
z2− 2z
(z − 1)
z
, K = {z : 0 < |z − 1| < +∞};
z − 1
1
z + 2
z
, K = {z : 0 < |z + 1| < +∞};
z + 1
z2− 4z
(z − 2)
1
z + 1
z
, K = {z : 0 < |z − i| < +∞};
z − i
(z2+2z)/(z+1)
z/(z+1)
, K = {z : 0 < |z + 1| < +∞};
, K = {z : 0 < |z − 1| < +∞};
, K = {z : 0 < |z + 1| < +∞};
2
, K = {z : 0 < |z − 1| < +∞};
2
, K = {z : 0 < |z + 2| < +∞};
, K = {z : 0 < |z − 2| < +∞};
2
, K = {z : 0 < |z + 1| < +∞};
2
, K = {z : 1 < |z + 1| < +∞};
324 Глава 12. Ряд Лорана
2z
15) f(z) =
16) f(z) =
17) f(z) = ch
18) f(z) =
19) f(z) =
20) f(z) = ch
ze
, K = {z : 0 < |z − 1| < +∞};
z − 1
z
ze
, K = {z : 0 < |z + 1| < +∞};
z + 1
z + i
, K = {z : 0 < |z + 2i| < +∞};
z + 2i
ch z
, K = {z : 0 < |z + 1| < +∞};
z + 1
sh(z + 2)
, K = {z : 0 < |z| < +∞};
z
z − 1
, K = {z : 0 < |z − 2| < +∞}.
z − 2
12.3. Задания для самостоятельной
работы
261. Рациональная функция f (z) разложена в ряд Лорана по степе-
ням z. Разложить ее в ряд Лорана по степеням z в кольце, содержащим точку z0и указать г раницы кольца сходимости:
1) f(z) =
2) f(z) =
3) f(z) =
4) f(z) =
−∞
X
(n + 1)3nzn+
n=−1
∞
X
3nz3n+
n=0
−∞
X
n5n+ (−1)n2
n=−1
∞
X
(−1)n(n + 1)
n=0
∞
3n−1
zn+
4
z
n+1
2n+1
2
n
+
n
4
, z0= −1;
∞
X
n=0
, z0=
X
n=0
2
n
z
n
2
n
2n
z
−
(−1)
n
2
2
n
zn, z0=
n
3
n
zn, z0= −3;
3
.
2
1
;
3
Р е ш е н и е п. 4. Ряд
f1(z) =
∞
X
(−1)n(n + 1)
n=0
2n
z
12.3. Задания для самостоятельной работы 325
сходится в области |z| > 1, а ряд
n
4
2
z
f2(z) = −
∞
X
n=0
4
z
n+1
2n+1
= −
∞
X
4
z
n=0
сходится, если |4/z2| < 1, т.е. |z| < 2.
Точка z0= 3/2 содержится в кольце 1 < |z| < 2, поэтому функцию
f2(z) нужно представить рядом по степеням z, сходящимся в области |z| < 2.
Используя разложение
∞
X
n=0
tn=
1
1 −t
,
запишем f2(z) в виде
откуда
f2(z) = −
f2(z) =
4z1
1 −
∞
X
n=0
4
2
z
= −
2n+1
z
4
4z
z2− 4
, |z| < 2,
n
z
=
1 −
,
2
z
4
а искомое разложение
f(z) =
∞
X
(−1)n(n + 1)
n=0
2n
z
∞
2n+1
X
z
+
n=0
, 1 < |z| < 2.
n
4
262. Разложить функцию f (z) в ряд Ло рана в кольце K :
1) f(z) = sin
2) f(z) = ln
3) f(z) = ln
4) f(z) =
5) f(z) =
6) f(z) =
7) f(z) =
z
, K = {z : 0 < |z + 1| < +∞};
1 + z
z − 1
, K = {z : 1 < |z| < +∞};
z + 1
z − a
, K = {z : max{|a|, |b|} < |z| < +∞};
z − b
1
(z − a)2(z − b)
1
(z−a)2(z−b)
1
z − 2
1
z − 2
(0 < |a| < |b|), K = {z : 0 < |z − a| < |b − a|};
2
z − i
ln
z + i
z − i
ln
z + i
(0 < |a| < |b|), K = {z : |a| < |z| < |b|};
2
, K = {z : 1 < |z| < 2};
, K = {z :
2 < |z| < +∞};
326 Глава 12. Ряд Лорана
2z
8) f(z) =
9) f(z) = cos
10) f(z) = z2sin
ze
, K = {z : 0 < |z − a| < +∞};
z − a
z2− 2az
(z − a)
, K = {z : 0 < |z − a| < +∞};
2
z
, K = {z : 0 < |z − a| < +∞}.
z − a
263. Выяснить, допускает ли функция f (z) разложение в ряд Лорана
в некоторой проколотой окрестности точки z0:
1) f(z) = ln
3) f(z) = zπ:= e
5) f(z) =
7) f(z) = th
9) f(z) = zα:= e
Р е ш е н и е п. 8. Особыми точками функции f(z) = z/(cos z −2) будут
корни уравнения cos z = 2, т.е. числа zn= 2πn ± i ln(2 +√3). Поскольку
zn→ ∞ при n → ∞, то точка z0= ∞ не является изолированной особой
точкой. Поэтому в ее окрестности данную функцию нельзя разложить в ряд
Лорана.
z − 1
, z0= ∞; 2) f(z) = ln
z + i
π ln z
, z0= 0; 4) f(z) =
z
2 + sin z
, z0= ∞; 6) f(z) = ln
1
, z0= 0; 8) f(z) =
z
α ln z
, z0= 0; 10) f(z) = sin
cos z − 2
z
z
(z + 1)
z
sin2z
1
1 −z
, z0= 0;
1
z
, z0= ∞;
2
, z0= 0;
, z0= ∞;
, z0= 0.
264. Выяснить, имеет ли многозначная функция F (z) однозначную
ветвь f(z), допускающую разложение в ряд Лорана в окрестности
точки z0:
1) F (z) =√z, z0= 0; 2) F (z) =pz(z − 1), z0= ∞;
3) F (z) =q1 +√z, z0= 0; 4) F (z) = Arcsin z, z0= 0;
5) F (z) = Arsh(z + i), z0= 0; 6) F (z) =q1 +√z, z0= 1;
7) F (z) = Ln(z + 1)(z + 2), z0= ∞;
8) F (z) = Arctg(z + 1), z0= 0.
12.4. Задания творческого характера 327
12.4. Задания творческого характера
265. Разложить в ряд Лорана функцию ctg z:
1) в кольце K = {z : 0 < |z| < π};
2) в кольце K = {z : π < |z| < 2π}.
266. Найти противоречие в следующей цепочке равенств:
∞
0 =
1
z − 1
+
1
1 − z
=
1z1
1 −
+
1
1 − z
z
X
1
=
z
n=0
267. При t > 0 и всех z из кольца {z : 0 < |z| < +∞} получить
разложение функции
f(z) = exp
t
2
z −
1
z
1
n+1
∞
X
+
zn=
n=0
∞
X
n=−∞
zn.
в ряд Лорана
где
Jn(t) =
f(z) =
∞
X
k=0
k!(n + k)!
(−1)
∞
X
n=−∞
k
Jn(t)zn,
n+2k
t
2
, n ∈ Z.
268. Доказать, что разложение в ряд Лорана функции
f(z) = chz +
1
z
в кольце K = {z : 0 < |z| < +∞} имеет вид
chz +
1
z
= a0+
∞
X
n=1
a
zn+
n
1
n
z
где
2π
Z
1
an=
h(2 cos θ) cos nθ dθ.
c
2π
0
,
328 Глава 12. Ряд Лорана
269. Используя з амену z = eitи разложение в ряд Лорана в кольце
K = {z : 0 < |z| < ∞} функции
f(z) =
1
2i
ez− e
1
z
,
доказать, что при t ∈ (0, 2π):
1)
∞
X
n=1
sin nt
n!
= e
cos t
sin(sin t); 2)
∞
X
n=1
sin nt
n
=
π − t
2
.
Глава 13
Изолированные особые
точки аналитической
функции
13.1. Задания для аудиторной работы
270. Найти конечные изолированные особые точки функции f (z) и
определить их тип:
z
1) f(z) =
4) f(z) =
271. Найти все изолированные особые точки функции f(z) и исследо-
вать их характер. Установить также тип точки z = ∞:
1) f(z) = z e
4) f(z) =
e
; 2) f (z) =
2
1 + z
1 −cos z
z3(2 −cos z)
; 5) f (z) = z2cos
2
z
−1/z
; 2) f (z) =
1
; 5) f(z) =
1
; 3) f (z) =
5
z + z
cos z
; 3) f (z) =
2
z
z2+ 1
e
π
; 6) f (z) =
z
; 6) f(z) =
z
2
z
(1 + z3)
1 −cos z
1 −cos z
sin2z
z(1 − e−z)
;
2
z
.
;
z
e
.
Р е ш е н и е п. 4. Рассмотрим функцию
1
= z3(
f(z)
2 − cos z).
330 Глава 13. Изолированные особые точки аналитической функции
Она имеет нули в точке z = 0 и точках, которые являются корнями
уравнения cos z = 2, т.е.
zk= Arccos 2 = −i Ln(2 ±√3) =
= −i± ln( 2 +√3) + i2kπ= 2kπ ± i ln(2 +√3), k ∈ Z.
Здесь мы воспользовались тем, что (2 +√3)(2 −√3) = 1.
В окрестности точки z = 0
1
= z3ϕ(z), ϕ(z) = 2 − cosz, ϕ(0) 6= 0,
f(z)
поэтому z = 0 — нуль третьего порядка для функции 1/f(z). Тогда из критерия для полюса следует, что z = 0 является полюсом третьего порядка
для функции f (z) (см. теорему 5.5т).
Аналогично для функции f (z) каждая из точек zk= 2kπ ±i ln(2 +√3)
является простым полюсом. Действительно, в связи с тем, что
1
= 0,
f(zk)
zkявляется нулем первого п орядка для функции 1/f (z) и, следовательно,
простым полюсом функции f (z). Заметим, что sin zk6= 0, так как известно,
что все нули sin z имеют вид mπ, m ∈ Z.
1
f(z)
′
z=z
k
2
= 3z
(2 −cos zk) + z
k
3
sin zk= z
k
3
sin zk6= 0,
k
272. Найти все особые точки функции f(z) и исследовать их характер.
Установить также тип точки z = ∞:
1) f(z) =
4) f(z) = ctg z −
tg z
; 2) f (z) = e
z
1
; 5) f (z) = tg2z; 6) f (z) =
z
Р е ш е н и е п. 6. Пусть g(z) = sin 2z−2 sin z = 2 sin z(cos z−1). П осколь-
ку zk= πk, k ∈ Z, — простые нули функции sin z, а ˜zm= 2πm, m ∈ Z, — про-
стые нули функции cos z−1, то z
g(z), а z
что точки z
′′
= (2n + 1)π, n ∈ Z, — простые нули функции g(z). Отсюда следует,
n
′
, n ∈ Z, — полюсы второго порядка функции f(z). Заметим, что
n
z = π — ноль числителя функции f (z), поэтому z
люсы функции f(z), а z
′′
— устранимая особая точка. Точка z = ∞ является
0
предельной точкой для полюсов функции f (z).
z
1−z
; 3) f (z) = sin
1
1
+
;
2
z
z
z − π
sin 2z − 2 sin z
′
= 2πn, n ∈ Z, — нули кратности 2 функции
n
′′
, n ∈ Z\{0}, — простые по-
n
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]