Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория функций комплексного переменного. Учебник
.pdf
1.2. Расширенная комплексная плоскость 21
Оно порождает открытые
B(z0, r) := {z ∈ C : |z − z0| < r}
и замкнутые
B(z0, r) := {z ∈ C : |z − z0| 6 r}
круги с центром в точке z0∈ C радиуса r > 0 (рис. 1.2).
Введем еще обозначения для «проколотых» открытого
B◦(z0, r) := {z ∈ C : 0 < |z − z0| < r}
и замкнутого
B◦(z0, r) := {z ∈ C : 0 < |z − z0| 6 r}
кругов с центром в точке z0∈ C радиуса r > 0, а также
Cr(z0) := {ζ ∈ C : |ζ − z0| = r}
для окружности радиуса r > 0 с центром в точке z0∈ C — границы
кругов B(z0, r) и B(z0, r) (см. рис. 1.2).
B(z0, r)
r
b
z
0
B(z0, r)
r
b
z
0
Рис. 1.2
Cr(z0)
r
b
z
0
Евклидова метрика порождает естественную топологию на ком-
плексной плоскости C следующим образом.
Определение 1.2. Множество A ⊂ C называется откры-
тым, если для любой точки z ∈ A существует открытый круг
B(z, r) положительного радиуса r > 0 с центром в этой точке, со-
держащийся в A.
22 Глава 1. Введение в комплексный анализ
Теорема 1.1 (свойства открытых множеств). Семейство
открытых множеств в C обладает следующими свойствами:
1) множества C и ∅ открыты;
2) для любого с емейства открытых м ножеств {Gα}
единение
S
Gαоткрыто;
α∈A
3) любое пересечение
n
T
Gkконечного числа открытых мно-
k=1
α∈A
их объ-
жеств Gk(k = 1, 2, . . . , n) открыто.
Определение 1.3. Окрестностью точки z ∈ C называется
любое открытое множество, содержащее эту точку. Если G ⊂ X —
окрестность точки x ∈ X , то G◦= G\{x} называется проколотой
окрестностью этой точки.
Ясно, что открытое множество является окрестностью любой
своей точки.
Определение 1.4. Точка z ∈ C называется предельной для
множества A ⊂ C, если в любой проколотой окрестности x есть
точки из множества A.
Другими словами, это означает, что в любой окрестности точки
z есть точки из множества A, отличные от z. Подчеркнем, что здесь
не требуется принадлежности точки z множеству A. Множество всех
предельных точек для A обозначается A′.
Точка z ∈ C является предельной для множества A ⊂ C тогда
и только тогда, когда существует такая последовательность попарно
различных точек {zn} ⊂ A, чт о
lim
|z − zn| = 0,
n→∞
а также тогда и только тогда, когда в любой окрестно с ти точки z
бесконечно много точек из A.
Точки множества, не являющиеся предельными для него, называются изолированными.
Определение 1.5. Множество называется замкнутым, е сли
оно содержит все свои предельные точки.
1.2. Расширенная комплексная плоскость 23
Теорема 1.2 (принцип двойственности). Множество
A ⊂ C замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение
Ac= C \ A открыто.
Определение 1.6. Замыканием множества A называется
множество A = A ∪A′.
Границей множества A в метричес ком пространстве называ-
ется множество
∂A = A ∩ Ac. (1.6)
Точки, прин адлежащие границе множества, называются гра-
ничными точками для него.
Точка x является граничной тогда и только тогда, когда в любой
окрестности этой точки есть точки из A и из Ac.
Определение 1.7. Непустое множество в C называется огра-
ниченным, если оно содержится в некотором круге.
Ниже мы систематически будем пользоваться обозначением
dist (z0, A) := inf{|z0− z| : z ∈ A}
для расстояния от z0до множества A ⊂ C.
1.2.2. Компактность
Семейство множеств {Gα}
ем множества A, если все множества Gα, α ∈ I, открыты и
Другими словами, это означает, что каждая точка z множества
A принадлежит по крайней мере одному из множеств Gα.
Определение 1.8. Множество A ⊂ C называется компакт-
ным или компактом, если из любого открытого покрытия этого
множества можно в ыделить конечное подпокрытие.
Теорема 1.3. Множество A ⊂ C компактно тогда и только
тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
называется открытым покрыти-
α∈I
[
A ⊂
Gα.
α∈I
24 Глава 1. Введение в комплексный анализ
1.2.3. Связность
Определение 1.9. Множество A ⊂ C называется связным,
если не существует таких двух открытых множеств G1⊂ C и
G2⊂ C, что
G1∩ G2= ∅, A ∩G16= ∅, A ∩G26= ∅, A ⊂ G1∪G2.
Другими словами, связность означает, что множество нельзя разбить на непустые ча с ти, содержащиеся в непересекающихся открытых
множествах.
1.2.4. Стереографическая проекция
Потребности теории функций комплексного переменного
обуславливают необходимость расш ирения комплексной плоскости
C, получающегося из последней добавлением нового элемента —
бесконечно удаленной точки z = ∞. Для наглядного представления расширенной комплексной плоскости Б. Риман предложил
использовать способ, который сейчас будет описан.
Рассмотрим трехмерное евклидово пространство
R3= {(x, y, ω) : x, y, ω ∈ R}
и будем отождествлять комплексную плоскость C с подмножеством в
R3с помощью взаимно однозначного отображения
C ∋ z = x + iy ↔ (x, y, 0) ∈ R3.
Введем так называемую сферу Римана (рис. 1.3)
S =((x, y, ω) : x2+ y2+w −
Пусть z = x + iy ∈ C. Соединим «северный полюс» сферы Римана — точку (0, 0, 1) — с точкой z отрезком
Γz= {(tx, ty, 1 − t) : t ∈ [0, 1 ]}.
1
2
)
2
1
=
.
4
1.2. Расширенная комплексная плоскость 25
Если z 6= 0, то эт от отрезок имеет единственную общую точку с
S и с оответствующее значение t = (x2+ y2+ 1)−1. Непосредственная
проверка показывает, что эта точка есть
z′=
|z|2+ 1
x
,
|z|2+ 1
y
,
|z|2+ 1
|z|
2
.
Будем называть ее стереографической проекцией z. Стереографической проекцией точки z = 0 является «южный полюс» сферы
Римана (0, 0, 0).
b
(0, 0, 1)
S
1
b
0, 0,
2
b
Z
C
(0, 0, 0)
b
z = x + iy
b
Рис. 1.3
Таким образом, S \ {(0, 0, 1)} взаимно однозначно отображается на комплексную пло с кость C. «Северный полюс» сферы Римана
(0, 0, 1) оказался при этом незадействованным. Мы сопоставим точке
(0, 0, 1) новое «идеальное» комплексное число z = ∞ и образуем рас-
ширенную комплексную плоскость
b
C = C ∪ {∞}.
Конечно, мы не имеем возможности использовать z = ∞ в алгебраических операциях. Но иногда, впрочем, некоторым операциям с
z = ∞ можно приписать смысл
a + ∞ = ∞ + a = ∞,
a
∞
=
∞
0,
= ∞ п
a
ри a ∈ C,
26 Глава 1. Введение в комплексный анализ
a ·∞ =
a
= ∞ · a = ∞ при a ∈ C \ {0}.
0
Однако операции 0 · ∞, ∞ ± ∞, 0/0 лишены смысла.
Итак, функция
F (z) =
(
n
|z|2+1
Re z
,
|z|2+1
Im z
|z|
,
|z|2+1
o
2
, z ∈ C,
(1.7)
(0, 0, 1), z = ∞,
осуществляет взаимно однозначное отображение расширенной комплексной плоскости C на сф е ру Римана S.
В качестве базы окрестностей точки z0= ∞ удобно взят ь семей-
ство
{z ∈ C : |z| > r} ∪ {∞}, r > 0.
Тем самым мы дополняем топологию плоскости C до топологии на
b
C. Отображение (1.7) непрерывно в каждой точке и обратное к нему
также всюду непрерывно.
Отметим, что комплексная плоскость C некомпактна (она неограничена), в то же время образbC при отображении (1.7) (сфера Римана)
компактен. Поэтому процесс отождествленияbC и сферы Римана с по-
мощью отображения (1.7) называют часто компактификацией C.
1.2.5. Сферическая метрика
Наряду с евклидовой метрикой в C будем рассматривать еще
сферическую метрику вbC, определяя ее равенством
dS(z1, z2) =
|z1−z2|
√
(1+|z1|2)(1+|z2|2)
1
√
1+|z1|
, z1, z2∈ C,
, z1∈ C, z2= ∞.
2
Другими словами, сферическое расстояние — это евклидово расстояние в R3между стереографическими проекциями. Нетрудно показать, что это действительно метрика на S.
Использование сферической метрики приводит к другому подходу к определению топологии наbC — она дает возможность определить
базу окрестностей точки на S как множество пересечений S и евклидовых шаров с центрами в этой точке.
Итак, на расширенной комплексной плоскости имеется две топологии и естественно их сравнить — они совпадают.
1.3. Предел и непрерывность 27
1.3. Предел и непрерывность
1.3.1. Функции комплексного переменного
Нашим основным объектом изучения будут функции вида
f : D → C, отображающие подмножества D ⊂ C в комплексную плос-
кость C. Под этим мы по нимаем (как это обычно делается в ма тематике), что любому числу z ∈ D поставлено в соответствие единственное
комплексное число f (z) ∈ C.
В теории функций комплексного переменного часто приходится
использовать расширенное понятие функции: если каждому z ∈ D
поставлено в соответствие некоторое множество комплексных чисел,
то будем говорить о многозначной функции, заданной на D.
Термин «функция» всегда будет использоваться в обычном понимании (как в перво м абзаце). Иногда, впрочем, чтобы подчеркнуть,
что мы имеем дело именно с такой (обычной) трактовкой понятия
функции, мы будем говорит ь об однозначной функции.
В теории функций комплексного переменного вместо термина
«взаимно однозначная функция» обычно используется «однолистная
функция». Мы также придерживаемся этой традиции.
1.3.2. Непрерывность
Мы будем рассмат ривать функции вида f : D → C (или
f : D →bC), где D ⊂ C (или D ⊂bC). При этом понятия предела и
непрерывности таких функций мы всегда будем понимать в смысле
топологий, введенных выше. Приведем их в явном виде.
Определение 1.10. Число w0∈ C называется пределом
функции f : D → C:
1) в предельной точке z0множества D ⊂ C, если
∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀z ∈ D (0 < |z − z0| < δ =⇒ |f(z) −w0| < ε);
2) в точке z0= ∞ неограниченного множества D ⊂bC, если
∀ε > 0 ∃ ∆ > 0 ∀z ∈ D (|z| > ∆ =⇒ |f (z) − w0| < ε).
Точка ∞ ∈bC является пределом функции f : D → C:
28 Глава 1. Введение в комплексный анализ
1) в предельной точке z0множества D ⊂ C, если
∀A > 0 ∃ δ > 0 ∀z ∈ D (0 < |z − z0| < δ =⇒ |f(z)| > A);
2) в точке z0= ∞ неограниченного множества D ⊂bC, если
∀A > 0 ∃ ∆ > 0 ∀z ∈ D (|z| > ∆ =⇒ |f (z)| > A).
Во всех случаях этот факт мы записываем, как обычно, так:
lim
f(z) = w0.
z→z
0
Определение 1.11. Функция f : D →bC, D ⊂bC, называется
непрерывной в предельной точке z0∈ D, если lim
f(z) = f (z0).
z→z
0
В изолированной точке области определения любая функция
считается непрерывной.
Мы говорим, что функция f : D →bC непрерывна на множе-
стве D ⊂bC, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Класс всех таких функций обозначим с имв олом C(D).
Теорема 1.4 (глобальный критерий непрерывности).
Следующие условия равносильны:
1) функция f : D → C непрерывна на множестве D ⊂ C;
2) для любого открытого множества V ⊂ C его прообраз f−1(V )
открыт относительно D1.
Теорема 1.5. Если D ⊂ C и f ∈ C(D), то для любого компак-
та K ⊂ D его образ f (K ) компактен.
Теорема 1.6. Если D ⊂ C и f ∈ C(D), то для любого связного
множества A ⊂ D его образ f (A) связен.
1.3.3. Равномерная непрерывность
Определение 1.12. Пусть D ⊂ C. Функция f : D → C называ-
ется равномерно непрерывной на D, если
∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀z′, z′′∈ D |z′− z′′| < δ =⇒ |f(z′) −f (z′′)| < ε.
1
то означает, что существует такое открытое множество G, что f−1(V ) = D∩G.
Э
1.4. Кривые и области 29
Конечно, из равномерной непрерывности функции на множестве
вытекает ее непрерывность на этом множестве.
Теорема 1.7 (Кантора). Пусть множество K ⊂ C — ком-
пакт и f ∈ C(K). Тогда f равномерно непрерывна на K.
Теорема 1.8 (Арцела – Асколи). Пусть K ⊂ C — компакт-
ное множество и S — некоторое бесконечное множество непрерывных функций f : K → C.
Для того чтобы множество S содержало равномерно сходящуюся на K последовательность, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
1) равномерной ограниченности
sup
sup
f∈S
|f(z)| < ∞;
z∈K
2) равностепенной непрерывности
∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀z1, z2∈ K ∀f ∈ S
|z1− z2| < δ =⇒ |f(z1) −f (z2)| < ε.
1.4. Кривые и области
1.4.1. Кривые и контуры
Определение 1.13. Множество Γ ⊂ C называется кривой,
если существует непрерывная функция γ : [α, β] → C, для которой
Γ = γ([α, β]).
Отображение γ называется параметризацией кривой.
Точки γ(α) и γ(β) называются концами кривой Γ. В этом случае
также говорят, что кривая Γ соединяет точки γ(α) и γ(β).
Для каждого t ∈ [α, β] его образ (рис. 1.4) γ(t) ∈ Γ можно записать в виде
γ(t) = x(t) + iy(t). (1.8)
Возникающие таким образом функции x, y : [α, β] → R называются
координатными функциями параметризации кривой Γ.
30 Глава 1. Введение в комплексный анализ
b
γ(α)
b
γ(t)
C
γ
γ(β)
b b b
α
t
R
β
Рис. 1.4
Γ
Определение 1.14. Кривая Γ ⊂ C называется жордановой,
если она имеет взаимно однозначную параметризацию.
Для жордановой кривой точки «самопересечения» (как на
рис. 1.5) невозможны.
b b b
α
t
b
γ(α)
γ
R
β
Рис. 1.5
b
γ(β)
b
γ(t)
Γ
b
C
Параметризация кривой определяется неоднозначно. Действительно, легко видеть, что если γ : [α, β] → C — параметризация
кривой Γ, то для любой строго монотонной непрерывной функции
ϕ : [α1, β1] ↔ [α, β] композиция γ ◦ ϕ также является параметриза-
цией Γ.
Класс всех параметризаций кривой Γ обозначается P(Γ). Если
γ : [α, β] → Γ — параметризация жордановой криво й Γ ⊂ C, то любую
непрерывную строго монотонную функцию ϕ : [α1, β1] → [α, β] будем
называть заменой параметра.
Таким образом, предыдущее ут верждение можно переформулировать так: если γ — па раметризация жордановой кривой и ϕ — замена
параметра, то γ ◦ ϕ также является параметриза цией. Справедливо и
обратное.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]