Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая физика. Часть 2. Статистическая физика равновесных состояний. Учебно-методическое пособие
.pdf
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
81
Область «отрицательных» температур характеризует
квазистационарные, так называемые метастабильные, состояния с инверсной заселенностью энергетических уровней. Подобная ситуация может быть реализована в трех- (и более)
уровневых системах, широко использующихся для создания
оптических квантовых генераторов.
2
1
ln
g
g
0
Е
1
1 1 2 2
12
gg
gg
2
Рис. 1.8. Зависимость энтропии от
энергии системы
1.8.4.2. Задания для аудиторного и
самостоятельного выполнения
1.36. Система может находиться в двух квантовых со-
стояниях с энергиями 1 и 2. Кратности вырождения состояний g1 и g2. Определить теплоемкость системы. Проанализи-
ровать случаи
21
()kT
и
21
()kT
.
Ответ:
21
2
2 2 1
12
kT
V
g
C k e
g g kT
,
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
82
если
21
()kT
;
2
1 2 2 1
12
V
gg
Ck
g g kT
, если
21
()kT
.
1.37. Система обладает эквидистантными невырожден-
ными уровнями энергии
( =1,2,..., )
l
l l n
; при этом энер-
гия высшего уровня мала по сравнению с тепловой энергией
kT. Найти среднюю энергию системы.
Ответ:
1
2
n
E
.
1.38. Найти среднюю энергию и теплоемкость системы из
N невзаимодействующих частиц, которые могут находиться в
двух квантовых невырожденных состояниях 0 и 1. Рассмотреть
случаи высоких и низких температур.
Ответ:
2
0 1 1 0
()
24
EN
kT
при
10
()kT
;
10
0 1 0
()
kT
E N e
при
10
()kT
.
1.39. Определить парамагнитную восприимчивость иде-
ального газа атомов, обладающих постоянными магнитными
моментами m. Концентрация атомов n. Рассмотреть случай
слабых полей
mB kT
.
Ответ:
2 2 2
00
( 1)
33
Б
n g nm
JJ
kT kT
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
83
1.40. Задана система из N независимых одномерных ос-
цилляторов. Определить, сколько осцилляторов имеют энергию меньшую или равную
1
(1 1/ 2)h
.
Ответ:.
1
1
1
hh
N N e e
.
Методические рекомендации: для практических занятий рекомендуется рассмотрение примера 1 и задания 1.37;
пример 2 и задание 1.39 рекомендуется рассмотреть и обсудить на семинаре.
Вопросы к теоретическому материалу раздела 1.
1. Микросостояние макроскопической системы. Стати-
стический ансамбль. Усреднение по ансамблю.
2. Описание статистического ансамбля в фазовом про-
странстве.
3. Фазовая функция распределения и ее свойства.
4. Микроканоническое распределение в квантовой и
классической статистике.
5. Термостат. Система в термостате.
6. Каноническое распределение Гиббса в классической и
квантовой статистике.
7. Энтропия и температура в статистической физике.
8. Связь параметров канонического распределения с тер-
модинамическими величинами.
9. Классическая теория теплоемкости и ее недостатки.
Основные положения квантовой теории теплоемкости.
10. Распределение Максвелла и его характеристики.
11. Распределение Больцмана.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
84
2. КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА СИСТЕМ
ТОЖДЕСТВЕННЫХ МИКРОЧАСТИЦ
2.1. Числа заполнения
В квантовой статистике тождественных микрочастиц
рассматриваются системы, между частицами которых отсутствует силовое взаимодействие, но имеет место обменное
взаимодействие, обусловленное перекрытием волновых
функций частиц. Такая статистика может быть построена методом Больцмана, сущность которого заключена в следующем:
1) считается, что движение частиц подчиняется законам
квантовой механики и при этом известен их (частиц) энергетический спектр;
2) вводятся числа заполнения
k
n
– числа частиц в k-том
квантовом состоянии с энергией
k
(подразумевается что k –
совокупность квантовых чисел, определяющих состояние частицы);
3) тепловое движение приводит к столкновениям частиц,
обмену энергиями и, следовательно, к тому, что
k
n
– величи-
на случайная;
4) вводятся средние числа заполнения состояний
k
n
;
5) условие нормировки имеет вид
k k k k
kk
N n g n g
, (2.1)
где
k
g
– кратность вырождения рассматриваемого энергети-
ческого уровня, а суммирование выполняется по всем возможным энергиям
k
;
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
85
6)
k
n
частиц обладают энергией
k k k k
E n g
, и полная
энергия системы
k k k k
kk
E E n g
; (2.2)
7) в случае непрерывного энергетического спектра
k
nn
(среднее число частиц в одном из состояний с энер-
гией ),
, , N dN E dE g dg
и
:
( ) ( )dN ndg
,
( ) ( )dE dN ndg
, (2.3а)
0
()N ndg
,
0
()E n dg
. (2.3б)
В соотношениях (2.3) dg – число состояний, в каждом
из которых частицы обладают энергией , dN и dE среднее
число и средняя энергия таких частиц.
Если между частицами отсутствует не только силовое,
но и обменное взаимодействие (число состояний много
больше числа частиц), то
1
k
n
При наличии же обменного
взаимодействия необходимо учесть, являются частицы фермионами (частицами с полуцелым спином) или бозонами с
целочисленным спином. В соответствии с принципом запрета
Паули1 в системе фермионов не существует хотя бы двух частиц, находящихся в одинаковых квантовых состояниях. В
1
Паули Вольфганг Эрнст (1900-1958) – швейцарский физик-теоретик,
лауреат Нобелевской премии по физике 1945 г., иностранный член Лондонского королевского общества, член-корреспондент Баварской академии наук, почетный иностранный член академии наук США.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
86
системе бозонов никакие ограничения на число частиц в одинаковых квантовых состояниях, не налагается. Поэтому можно классифицировать статистические методы описания системы микрочастиц следующим образом:
1
k
n
– классический идеальный газ (статистика
Максвелла-Больцмана);
1
k
n
– идеальный газ фермионов (статистика Ферми1-
Дирака2);
11
k
n
– идеальный газ бозонов (статистика Бозе3-
Эйнштейна4).
2.2. Распределения в квантовой статистике
2.2.1. Распределение Максвелла-Больцмана
В соответствии с квантовым каноническим распределением Гиббса вероятность того, что частицы находятся в од-
ном из состояний с энергией
k k k
En
1
Ферми Энрико (1901-1954) – итальянский физик, лауреат Нобелевской
премии по физике 1938 г., член национальной академии, член национальной академии наук США, иностранный член-корреспондент академии
наук СССР, иностранный член Лондонского королевского общества.
2
Дирак Поль Адриен Морис (1902-1984) – английский физик-теоретик,
лауреат Нобелевской премии по физике 1933 г., член Лондонского королевского общества, иностранный член-корреспондент академии наук
СССР, национальной академии наук США и Французской академии Наук
3
Бозе Сатьендра Нат (1894-1974) – индийский физик, национальный про-
фессор Индии, член Лондонского королевского общества.
4
Эйнштейн Альберт (1879-1955) – физик-теоретик, лауреат Нобелевской
премии по физике 1931 г., почетный доктор около 20 ведущих университетов мира, член многих академий наук, в том числе иностранный почетный член академии наук СССР.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
87
( ) ( )
k k k k
k
k
F E F
n
k k k n
W E e e e W n W
, (2.4)
где
k
F
– свободная энергия частиц в состояниях с энергией
,
k
а
k
Wn
– вероятность того, что в одном из состояний с
энергией частиц
k
находится
k
n
частиц. При этом свободная
энергия таких частиц
k
F
может быть выражена через боль-
шой термодинамический потенциал Гиббса:
k k k
Fn
,
где – химический потенциал. Тогда
()
kk
k
n
k
W n e e
. (2.5)
Условие нормировки (2.6) имеет вид:
01
01
0
... ... 1
k k k
k
k
N
nN
n
W W W W e e e
. (2.6)
Но число состояний в классическом идеальном газе
много больше числа частиц. Поэтому вероятность обнаружить в том или ином состоянии одну и более частицы близка
к нулю. Следовательно,
0
1~W
и
~1
k
e
. Таким образом,
()~
k
k
n
k
W n e
.
Определим среднее число частиц в одном из состояний
с энергией
k
:
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
88
01
0
0 1 ...
k k k
k
k
N
N
k k n
n
n n W e e N e
. (2.7)
В силу всего сказанного первое не равное нулю слагаемое в этой сумме определяет среднее число частиц в состоя-
нии с энергией
k
, т.е.
k
k
ne
. (2.8)
Выражение (2.8) носит название распределения Максвелла-Больцмана (М-Б). Т.к.
1
k
n
, что должно выполняться
для любых значений энергий (в том числе и для
0
k
) то
необходимо потребовать, чтобы был отрицательным и,
кроме того,
1
. Важно подчеркнуть, что, как это видно
из (2.7),
k
n
имеет смысл вероятности того, что в одном из со-
стояний с энергией
k
имеется частица.
Условие нормировки (2.1) в системе рассматриваемых
частиц принимает вид:
k
k
k
N N e g
. (2.9)
В соответствии с (2.2) определяется средняя энергия системы:
k
kk
k
E E g e
. (2.10)
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
89
В случае непрерывного энергетического спектра общие
выражения (2.3а,б) дают
( ) ( )dN e dg
,
()dE e dg
,
0
()N N e dg
,
0
()E n dg
.
2.2.2. Распределение Ферми-Дирака
В системе фермионов условие нормировки (2.3) имеет
вид:
01
01
0
11
k k k k k
k
k
N
n
n
W W W e e e e e
Отсюда получаем
ln 1
k
k
e
. (2.11)
Подчеркнем, что в (2.11)
k
относится лишь к части-
цам, находящимся в одном из состояний с энергией
k
.Но,
как было показано при введении термодинамических потенциалов,
N
. Поэтому, выполняя дифференцирование
(2.11), получаем
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
90
1
1
k
k
n
e
(2.12а)
или, для непрерывного энергетического спектра,
ln 1 e
и
1
1
n
e
. (2.12б)
Распределения (2.12) называется распределением Ферми-Дирака (Ф-Д). Нетрудно убедиться в том, что в газе фер-
мионов
1n
при любом значении химического потенциала –
как положительного, так и отрицательного. Так же, как и в
случае классического газа,
k
n
(n) имеет смысл вероятности
того, что в одном из состояний с энергией
k
( ) имеется
частица.
2.2.3. Распределение Бозе-Эйнштейна
В идеальном газе бозонов никаких ограничений на число частиц в одном состоянии не существует. Поэтому в условии нормировки (2.3) нужно учитывать все слагаемые, причем ряд будет сходиться, если
0
. Кроме того, т.к. число
частиц системы
1N
, без ограничения общности верхний
предел суммы можно считать бесконечным. Следовательно,
выражение (2.3) в газе бозонов принимает вид:
00
1
kk
k
k
kk
N
n
n
nn
W e e
. (2.13)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]