Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая физика. Часть 2. Статистическая физика равновесных состояний. Учебно-методическое пособие
.pdf
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
101
находятся по два электрона с противоположно направленными спинами.
Оценим энергию и теплоемкость электронного газа при
0T
. В этом случае электроны с энергией
/2kT
при сообщении им тепловой энергии
kT
принимают уча-
стие в тепловом движении. Среднее число таких электронов с
учетом ранее сказанного в п.2.4.1 и формул (2.20)-(2.21) можно оценить следующим образом:
3/2 3/2
1/2 3/2 3/2
22
/2
2 1 4 2
4 ( / 2) .
23
m V m
N V d
hh
Упростим это выражение, учитывая (2.22), а также то,
что
1
и
3/2
3
( / 2) 1
4
~
.Тогда окончательно
получаем
3/2
3/2
2
42
34
V m N
N
h
.
Эти
N
электронов обладают средней дополнительной
энергией
2
33
28
E N N
. Полная средняя энергия элек-
тронного газа
2
00
38N
E E E E
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
102
Но в соответствии с (2.23) энергия полностью вырож-
денного электронного газа
3
5
N
.
Поэтому
2
0
2
5 ( )
1
8
kT
EE
.
Теплоемкость электронного газа определяется лишь
вкладом
E
. Следовательно,
2
35
46
кл
E E k T kT
C N C
TT
,
где
3
2
кл
C Nk
– теплоемкость классического одноатомного
идеального газа. Таким образом, вклад в теплоемкость металлов электронных степеней свободы при нормальных температурах составляет менее 1% от решеточной теплоемкости,
описываемой законом Дюлонга-Пти.
2.5. Применение статистики Бозе-Эйнштейна
к равновесному излучению
Проблема излучения абсолютно черного тела (равновесного излучения в полости при температуре T) требует
особого обсуждения, т.к. носит мировоззренческий характер.
Как известно, классический расчет числа волн в полости, приходящихся на единичный интервал частот, и использование значения средней энергии классического гармониче-
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
103
ского осциллятора
kT
привели к формуле Рэлея1-Джинса2
спектральной плотности излучения
2
3
8
( , )T kT
c
. Этот
результат привел к так называемой «ультрафиолетовой катастрофе» – в выражении для интегральной плотности излуче-
ния u интеграл
0
( , )Td
расходится. М. Планк предложил
считать среднюю энергию гармонического осциллятора рав-
ной
1
h
kT
h
e
, что позволило в полной мере описать экспе-
риментально наблюдаемые закон смещения Вина3
m
T const
и закон Стефана4-Больцмана для интегральной
мощности излучения с единицы поверхности полости
4
PT
. Дальнейшее развитие квантовой механики привело
к представлению о квантовом гармоническом осцилляторе,
энергия которого
( 1/ 2) ( 0,1,2,...)
n
h n n
. При этом,
как было показано ранее,
2
1
h
kT
hh
e
, где
2
h
– энергия
нулевых колебаний, существование которых экспериментально подтверждено. Однако если учесть нулевые колебания, то их учет опять приводит к бесконечности интегральной
энергии излучения в полости. Такой результат, по-видимому,
1
Рэлей Джон Уильям Стретт (1842-1919) – британский физик, лауреат
Нобелевской премии по физике 1904 г., член Лондонского королевского
общества, иностранный член Французской академии наук.
2
Джинс Джеймс Хопвуд (1877-1946) – британский физик, астроном и ма-
тематик, член Лондонского королевского общества.
3
Вин Вильгельм (1864-1928) – немецкий физик, лауреат Нобелевской
премии по физике 1911 г.
4
Стефан Йозеф (1835-1893) – австрийско-словенский физик и математик,
член Австрийской академии наук.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
104
связан с непоследовательностью рассуждений – число волн
рассчитывается методами классической волновой теории, а
средняя энергия осциллятора определена методом квантовой
статистики. Причина справедливости формулы Планка для
спектральной плотности энергии равновесного излучения в
полости получила объяснение лишь в рамках квантовой статистики систем тождественных микрочастиц.
Распределение энергии в спектре электромагнитного
равновесного излучения, находящегося в полости при температуре T (излучение абсолютно черного тела) может быть
получено достаточно просто методами квантовой статистики
с использованием распределения Бозе-Эйнштейна.
Равновесное излучение в полости можно рассматривать
как равновесный газ фотонов. Фотоны с энергиями
h
и
импульсами
h
p
c
не взаимодействуют друг с другом (в
волновой теории это отражается независимостью лучей),
вследствие чего фотонный газ можно рассматривать как идеальный. Т.к. спин фотона равен нулю, то фотоны являются
бозонами, подчиняющимися распределению БозеЭйнштейна. Фотонный газ в полости является полностью вырожденным Бозе-газом с
0
. Действительно, при темпера-
туре T в полости фиксированного объема V свободная энергия
( , , )F F V T N
минимальна в состоянии равновесия, а
число фотонов N, число которых определяется температурой, – величина переменная (фотоны непрерывно поглощаются и испускаются стенками полости). Поэтому
,0VT
F
N
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
105
Таким образом, учитывая непрерывность спектра равновесного излучения, распределение Бозе-Эйнштейна в газе
фотонов имеет вид:
1
()
1
h
n
e
. (2.25)
Определим среднее число фотонов с частотами от до
d
:
()dN ndg
.
Число состояний
22
3 3 3
44
()
d V V
dg p dp d
h h c
необходимо удвоить, т.к. каждой электромагнитной волне
отвечают два фотона с одинаковой частотой, соответствующие двум ее взаимно перпендикулярным поляризациям. Следовательно,
2
3
8
()
V
dg d
c
и
2
3
8
1
h
V
dN d
c
e
(2.26)
Средняя энергия фотонов с частотами в рассматриваемом интервале
3
3
8
1
h
Vh
dE h dN d
c
e
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
106
Введем плотность энергии фотонов (плотность энергии
электромагнитного излучения в полости) с частотами в ин-
тервале от до
d
dE
du
dV
:
3
3
8
1
h
h
du d
c
e
. (2.27а)
С другой стороны,
( , )du T d
, (2.27б)
где
( , )T
– спектральная плотность излучения, т.е. энергия
излучения в единице объема полости, приходящаяся на единичный интервал частот. Сравнивая (2.27а) с (2.27б), получаем формулу Планка для спектральной плотности излучения
абсолютно черного тела:
3
3
8
( , )
1
h
h
T
c
e
. (2.28)
Таким образом, методами квантовой статистики получена формула Планка, следствиями которой являются все
экспериментально наблюдаемые законы равновесного излучения.
Кратко напомним, как из формулы Планка могут быть
получены эти законы, уже упоминавшиеся в начале п.2.5 пособия.
Очевидно, что при низких частотах
1
h
формула
Планка переходит в классическую формулу Рэлея-Джинса, а
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
107
при
1
h
– в формулу Вина
3
8hh
e
c
. На рис. 2.3.
представлена зависимость спектральной плотности излучения
от частоты фотонов для двух различных температур.
( , )T
0
1
T
21
TT
Рис.2.3. Зависимость спектральной плотности
равновесного излучения от частоты фотонов
Интегральная плотность излучения
4
33
33
0 0 0
88
( , )
1
1
h
x
h d h x dx
u T d
c c h e
e
.
Последний безразмерный интеграл представляет собой
число, равное
4
15
(см. Приложение 2.3). Следовательно,
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
108
3
2
4
8
15
kk
uT
hc
.
Наконец, мощность излучения с единицы поверхности
черного тела
4
cu
P
, и
3
2
44
2
2
15
kk
P T T
ch
,
где
5,6710-8 Вт/м2·К4 – постоянная Стефана-Больцмана.
Если в выражении (2.27) перейти от частот к длинам
волн, то с учетом (2.28) можно записать спектральную плотность излучения как функцию длины волны:
5
8
( , )
1
hc
h
T
c
e
.
Эта функция имеет единственный экстремум – она максимальна при
4,965
m
hc
kT
.
Отсюда получаем
m
TA
, где
3
2,897 10A
м-1К –
постоянная Вина.
2.6. Фононы. Применение статистики Бозе-Эйнштейна к
колебаниям кристаллической решетки
В твердых телах каждый из атомов в узлах кристаллической решетки обладают тремя колебательными степенями
свободы. Общее число независимых (нормальных) колебаний
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
109
с различными, в общем случае, частотами составляет 3N, где
N
– число атомов моноатомного кристалла. Если колебания
атомов рассматривать как классические осцилляторы, то
средняя энергия кристалла
3E NkT
, его теплоемкость при
постоянном объеме в соответствии с законом Дюлонга-Пти
3C Nk
и не зависит от температуры. Однако, как показыва-
ет опыт, при низких температурах
3
~CT
(рис. 2.4). Такое
поведение теплоемкости можно объяснить, если считать атомы квантовыми осцилляторами
V
C
3E
0
T
Рис.2.4. Зависимость молярной теплоемкости
при постоянном объеме твердого тела от
температуры
D
T
С колебаниями и упругими взаимодействиями атомов
связано существование в твердом теле упругих стоячих волн.
П. Дебай1 предложил рассматривать твердое тело как непрерывную среду (континуум), заполняющую объем V, в которой находится система стоячих волн, подобно излучению в
полости. При этом в отличие от электромагнитных волн в ва-
1
Дебай Петер Йозеф Вильгельм (1884-1966) – нидерландский физикохимик, лауреат Нобелевской премии по химии 1936 г., член многих академий наук и научных обществ.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
110
кууме, в каждом направлении распространяются три волны с
одинаковыми частотами, но различными поляризациями –
две поперечные со скоростями
1t
c
,
2t
c
и одна продольная со
скоростью
l
c
(в изотропном твердом теле
12r r r
c c c
).
Квантование энергии источников (атомов) приводит и к квантованию энергии упругих волн – квант энергии упругой волны называется фононом. Фонон – квазичастица, существующая только в объеме твердого тела; энергия и импульс фонона имеют такой же вид, что и для фотона:
, ,
h
h p k p
c
.
Так же, как и для фотонов в полости, энергетический
спектр фононов в твердом теле можно считать практически
непрерывным в силу того, сто
1N
.
Однако, в отличие от фотонов, в твердом теле существует предельная длина упругих волн
min
~ a
, где a – по-
стоянная кристаллической решетки.
В отличие от фотонов фононы обладают ненулевой массой покоя. Чтобы оценить массу покоя фонона, оценим его
максимальную частоту, учитывая, что скорости упругих (зву-
ковых) волн в твердых телах
34
,
10~ 10
tl
c
м/с. Тогда
,,
13 14
max
min
2 10~ 0
t l t l
cc
a
с-1. Из уравнения
2
0
2
,
2
1
tl
mc
h
c
c
с учетом того, что
,tl
cc
, получаем
37
0
10m
кг.
Так же, как и фотон, фонон является бозоном со спином, равным нулю. Т.к. атомы могут находиться в возбужденном состоянии, они могут испускать более одного фонона,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]