Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая физика. Часть 2. Статистическая физика равновесных состояний. Учебно-методическое пособие
.pdf
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
71
где
2 2 2 2
2 2 2
0
22
11
(0)
22
m R m R
Nm m R
nn
H
ee
– плотность
частиц на оси цилиндра при
0r
, а n0 =
2
NN
V R H
– плот-
ность в отсутствие вращения. Таким образом, плотность частиц газа отлична от нуля на оси цилиндра и уменьшается с
увеличением частоты его вращения. При этом плотность газа
экспоненциально возрастает вдоль радиуса от оси цилиндра к
периферии.
б. Для определения энергии системы вычислим интеграл состояний системы
N
Zz
, где z – интеграл состояний
для одной частицы. Т.к. частицы невзаимодействующие, то в
соответствии с распределением Гиббса и найденными ранее
нормировочным интегралом в распределении Больцмана
2
22
22
3
22
0
3/2
2
2
( , , ) ( , , ) 2
2 2 1
x
R
p
mr
m
x y z x
mR
z z r z z p p p H re dr e dp
m H e
m
.
Соответственно,
22
3/2
2
2
2 2 1
N
mR
Z m H e
m
, и
2
3 3 2
ln ln(2 ) ln ln
22
H
Z N m N N
m
22
2
ln ln 1
mR
N N e
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
72
Тогда средняя энергия системы
22
22
2
2
ln 3 1
22
1
mR
Z Nm R
E N N
e
.
Нетрудно убедиться, что при
0
экспоненту можно
разложить в ряд и ограничиться первыми двумя членами. В
этом случае средняя энергия системы становится равной
средней энергии идеального газа
3
2
ид
EN
.
Определим теплоемкость системы:
22
22
2
22
2
2
2
2
31
22
1
mR
V
mR
E m R e
C Nk Nk Nk
T
e
.
По-прежнему, при
0 3
ид
VV
C C Nk
.
в. Т.к.
2
V R H
, то
1
2
R
V R V RH R
. Поэтому
давление на боковую поверхность цилиндра определяется
выражением:
ln ln
()
F Z Z
pR
V V RH R
.
Выполняя дифференцирование, получаем
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
73
2 2 2 2
2 2 2
0
22
11
()
22
11
m R m R
Nm m R
p n n R
H
ee
.
Этот результат показывает справедливость основного
уравнения МКТ и в том случае, когда идеальный газ находится во внешнем потенциальном поле. Кроме того, как и ранее,
при
0
0
p n const
.
Задача 2. Определить центр тяжести атмосферного столба. Молярная масса воздуха М = 2910-3 кг/моль. Считать температуру воздуха независящей от высоты (Т = 373 К).
Решение
По определению центра масс
1
0
N
ii
N
ii
Ci
i
N z m
N
zz
Nm N
,
где m – масса молекулы, Ni – число молекул, находящихся в
столбе атмосферного воздуха сечением 1м2 на высоте zi.
Т.к.
1N
, то величину
i
N
N
можно рассматривать как
вероятность нахождения молекулы на высоте ziW(zi). Тогда
0
()
N
C i i
i
z zW z z
, а поскольку величина z практически не-
прерывна, то от суммирования можно перейти к интегрированию, т.е.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
74
0
()
C
z z zdW z
.
В соответствии с распределением Больцмана для молекул, находящихся в поле силы тяжести и обладающих на высоте z от поверхности Земли потенциальной энергией mgz,
справедливо выражение
/mgz
dW Ae dzdS
.
Полагая площадь сечения атмосферного столба равной
1 м2, из условия нормировки
0
1
mgz
A e dz
находим
mg
A
. Тогда
0
mgz
C
m RT
z z ze dz
mg Mg
.
Подстановка числовых данных приводит к значению
3
78,5 10
C
zz
м
1.8.3.2. Задания для аудиторного и самостоятельного
выполнения
1.29. Определить молярную теплоемкость одноатомного
идеального газа с учетом поля тяготения Земли. Один моль
газа находится в вертикально расположенном сосуде высотой
Н и площадью основания S.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
75
Ответ:
2
2
5
2
1
MgH
RT
V
MgH
RT
MgH e
C R R
RT
e
.
1.30. Определить относительную диэлектрическую про-
ницаемость идеального газа, состоящего из дипольных молекул с постоянными дипольными моментами
0
p
, находящихся
во внешнем однородном электрическом поле напряженностью E. Концентрация молекул – n.
Ответ: при
2
00
0
1 =1
3
p E np
kT kT
.
1.31. Идеальный газ, молекулы которого имеют диполь-
ные моменты
0
p
, находится в постоянном однородном элек-
трическом поле напряженностью E. Определить среднее
значение потенциальной энергии молекулы.
Ответ:
0
0
oE
u p Ecth kT
kT
.
1.32. Определить среднее значение потенциальной энер-
гии одной молекулы в столбе газа высотой Н. Газ находится в
однородном поле силы тяжести при температуре Т.
Ответ:
1
mgH
kT
mgH
u kT
e
.
1.33. Определить среднее значение потенциальной энер-
гии молекулы идеального газа в центрифуге радиусом R, которая вращается с угловой скоростью .
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
76
Ответ:
22
22
22
2
2
11
2
1
kT
kT
mR
e
kT
u kT
e
.
1.34. Идеальный газ, масса частиц которого m, заключен в
вертикально расположенный цилиндр высотой Н. Определить
среднюю потенциальную энергию молекулы.
Ответ:
1
mgH
kT
mgH
u kT
e
1.35. Получить барометрическую формулу
0
Mgz
RT
p p e
.
Методические рекомендации: для практических заня-
тий рекомендуется выполнение примеров 1 и 2, а также решение задачи 35; задачи 29, 30 рекомендуется рассмотреть и
обсудить на семинаре.
1.8.4. Квантовое каноническое распределение Гиббса
1.8.4.1. Примеры решения задач
Задача 1. Определить энергию и теплоемкость системы,
состоящей из N независимых двумерных квантовых гармонических квантовых осцилляторов, каждый из которых обладает (n+1)-кратно вырожденными уровнями энергии
( 1) ( 0,1,2,...)
n
h n n
.
Решение
Т.к. осцилляторы независимы, то сумма состояний системы
N
Zz
, где z – сумма состояний для одного осциллятора. При
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
77
этом в соответствии с квантовым каноническим распределением
Гиббса
01
( 1)exp ( 1) exp
nj
hh
z n n j j
.
Введем безразмерную переменную
h
x
и
1
jx
j
Se
. Сумма
S
представляет собой сумму членов
бесконечной убывающей геометрической прогрессии со знаменателем
x
qe
(см. Приложение 1.6). Поэтому
1
11
x
xx
e
S
ee
.
Нетрудно убедиться, что
2
1
1
1
1
x
jx
x
x
j
dS
de
je
dx dx e
e
.
Следовательно,
2
1
hh
z e e
и
21N
hh
N
Z e e
.
Тогда
ln 2 ln 1
h
h
Z N N e
и
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
78
1
2
ln
21
h
Z
E Nh Nh e
.
Проанализируем полученный результат. В области высоких температур
h kT
полученное выражение переходит
в классическое для двумерного осциллятора
2EN
. Если
же
kT h
, то средняя энергия системы
E Nh
– энергии
нулевых колебаний, не зависящей от температуры.
Определим теплоемкость
2
2
21
hh
kT kT
V
Eh
C Nk e e
T kT
.
Очевидно, что при
2
V
h kT C Nk
, а при
2
h
kT
V
h
h kT C Nk e
kT
.
Задача 2. Система может находиться в двух квантовых
состояниях с энергиями
1
и
21
. Кратности вырождения
состояний g1 и g2 соответственно. Получить зависимость энтропии от энергии системы Е и проанализировать эту зависимость.
Решение
Для нахождения зависимости
()E
воспользуемся вы-
ражением для полной энергии (средней энергии) системы:
12
12
//
1 1 2 2
//
12
g e g e
E
g e g e
. (1)
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
79
Т.к.
1 d
dE
, то выражение (1) можно рассматривать как
уравнение относительно
/a
e
, где
21
a
. Решая это урав-
нение, получаем:
/
11
22
a
gE
e
gE
. (2)
Из этого выражения видно, что энергия системы
12
E
; кроме того, при
1
0 E
, а при
1 1 2 2
12
gg
E
gg
. Заметим, что бесконечной темпера-
туре соответствует
0
d
dE
, т.е. максимум энтропии. Лога-
рифмируя (2), получаем:
2 1 2 1
1 1 1
ln( ) ln( ) ln( / )
d
E E g g
dE a a a
. (3)
Тогда
2 1 2 1
11
( ) ln( ) ln( ) ln( / )
E
E E dE E dE g g const
a a a
.
Выполняя интегрирование, получаем:
1 2 1 2
12
21
ln ln( ) ln( )
Eg
E
E E const
a E g a a
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
80
Постоянную интегрирования найдем, принимая
1
( ) 0
. Тогда
12
1
ln 0
g
a const
ag
и
1 2 1 1
2 1 2 1
ln ln( / ) ln ln ln( / )const a g g a a g g
a a a a
.
Окончательно получаем для энтропии выражение:
1 2 1 1 2 1 2
2 1 2 1
ln ln ln ln
E g E g
Ea
a E g a a a E a g
.
Проанализируем полученный результат. Функция
()E
, как указывалось ранее, равна 0 при
1
E
и имеет
максимум в точке
1 1 2 2
12
gg
E
gg
. При
2 2 1
ln( / )E g g
, т.е. на участке значений
1 1 2 2
2
12
gg
E
gg
энтропия убывает, что соответствует от-
рицательным температурам. Максимальное значение энтропии
12
max 1 2 2 1
ln( ) ln lng g g g
aa
.
Соответствующая зависимость
()E
представлена на
рис.1.8.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]