Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая физика. Часть 2. Статистическая физика равновесных состояний. Учебно-методическое пособие
.pdf
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
51
Именно это распределение чаще всего называют распределением Максвелла, которое также записывают в виде числа частиц
со скоростями в указанном интервале значений:
2
3/2
2
2
( ) 4
2
mv
m
dN v N e v dv
. (1.49б)
Максвелловская функция распределения
2
2
2
()
mv
f v const e v
обращается в нуль при
0v
и
v
и
принимает максимальное значение при
2
в
v
m
(рис.1.4). Сред-
няя и среднеквадратичная скорости определяются соотношениями
0
8
()v v dW v
m
,
22
.
0
3
()
ср кв
v v v dW v
m
(1.50)
()fv
0
v
.
в ср кв
v v v
Рис. 1.4. Функция распределения
()fv
Наконец, от распределения по скоростям можно перейти к
распределению по энергиям, если учесть, что
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
52
3/2
2 1/2
12
2
v dv d
m
:
2
()dW e d
, (1.51)
функция распределения которого обращается в нуль при
0v
,
v
и максимальна при
.
1.7.2. Распределение Больцмана
Координатная часть канонического распределения Гиббса
не может быть представлена в виде произведений независимых
сомножителей, т.е. в общем случае потенциальная энергия взаимодействия частиц системы не является суммой их потенциальных энергий. Однако, если система невзаимодействующих частиц
находится во внешнем потенциальном поле, то полная потенциальная энергия частиц системы равна сумме потенциальных энер-
гий каждой из частиц
()
ii
ur
в этом поле:
1
N
i
i
u
.
В этом случае
()
1
()
i
ur
N
ii
i
dW q A e dr
,
т.е. распределения отдельных частиц по координатам статистически независимы. Поэтому можно говорить о вероятности того, что
координаты любой из частиц заключены в интервале значений от
,,x y z
до
,,x dx y dy z dz
:
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
53
( , , )
( , , )
i
u x y z
dW x y z A dxdydz
.
Значение нормировочной константы А зависит от конкретного вида потенциальной энергии частицы
( , , )u x y z
во внешнем
поле.
В заключение отметим, что для системы невзаимодейству-
ющих частиц распределение
w At
, где под понимается пол-
ная энергия частицы, как правило, называют распределением
Максвелла-Больцмана.
1.8. Задачи для аудиторного и
самостоятельного выполнения
1.8.1. Основные положения статистической физики.
Каноническое распределение Гиббса. Интеграл состояний
1.8.1.1. Примеры решения задач
Задача 1. Частица массой m находится в объеме V.
Определить занимаемый частицей фазовый объем как функцию ее энергии . Найти число и плотность возможных состояний частицы.
Решение
Элементарный фазовый объем, занимаемый частицей,
x y z x y z
d dp dp dp dxdydz dp dp dp dV
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
54
Т.к.
222
2
22
x y z
ppp
p
mm
, то имеет смысл в простран-
стве импульсов перейти от декартовых координат к сферическим, т.е.
2
sin
x y z
dp dp dp p dp d d
.
Учитывая, что
1/2
2pm
, получаем следующее выра-
жение для элементарного фазового объема:
3/2 1/2
1
(2 ) sin
2
d m d d d dV
.
Интегрирование по объему и полному телесному углу
приводит к элементарному фазовому объему, зависящему
только от энергии:
3/2 1/2
( ) 2 (2 )d V m d
.
Фазовый объем как функция энергии
3/2 1/2 3/2 3/2
0
4
( ) 2 (2 ) (2 )
3
V m d V m
.
Число состояний частицы в этом фазовом объеме
3/2 3/2
33
( ) 4
( ) (2 )
3
g V m
hh
,
а плотность состояний
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
55
3/2 1/2
3
2
( ) (2 )
dg V
Dm
dh
.
Задача 2. Определить среднюю энергию и теплоемкость
системы из N невзаимодействующих одномерных классических линейных осцилляторов, массой m каждый. Собственная
частота колебаний каждого осциллятора равна . Найти
среднюю энергию одного осциллятора.
Решение
Полная энергия системы
2 2 2
11
22
NN
ii
i
ii
p m x
E
m
. (1)
Здесь pi – импульс, сопряженный координате xi, т.е. х-вая
проекция импульса i-го осциллятора.
Элементарный фазовый объем
11
NN
i i i
ii
d dp dq d
, (2)
где
u
d
- элементарный фазовый объем i-го осциллятора.
С учетом выражений (1) и (2) интеграл состояний для
рассматриваемой системы имеет вид:
//
11
i
ii
i
NN
i i i
ii
Z e d e d e d
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
56
Т.к. все
i
одинаковы и совпадают с фазовым объемом
одного (любого)осциллятора
1
, то
N
Zz
, где z – интеграл
состояний одного осциллятора, причем:
11
//
1
z e d e dpdx
.
Теперь учтем, что
2 2 2
22
p m x
m
и что для гармониче-
ского осциллятора координата и импульс могут принимать
значения в бесконечных пределах:
2 2 2
22
p m x
m
z e dp e dx
. (3)
Каждый из интегралов в выражении (3) является интегралом Пуассона (см. Приложение 1), вычисление которых
приводит к следующему значению интеграла состояний одной частицы:
2
22
2zm
m
.
Для системы в целом
2
N
NN
Zz
.
Найдем среднюю энергию системы с использованием
формулы
2
(ln )Z
E
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
57
В рассматриваемом случае
ln ln2 ln lnZ N N N
и
EN
. Средняя энергия од-
ного осциллятора
, причем средняя кинетическая энергия осциллятора равна его средней потенциальной энергии и
равна
/2
.
1.8.1.2. Задания для аудиторного и
самостоятельного выполнения
1.1. Определить фазовый объем, число и плотность со-
стояний релятивистской частицы как функции ее энергии
2 2 2 4
0
p c m c
. Частица находится в объеме V.
Ответ:
3/2
2
22
0
2
4
3
V m c
c
,
1/2
2
22
0
3 2 2
4
()
V
D m c
h c c
.
1.2. Определить фазовый объем, число и плотность со-
стояний ультрарелятивистской частицы как функции ее энергии
pc
. Частица находится в объеме V.
Ответ:
3
4
3
V
c
,
2
3
4
()
V
D
h c c
.
1.3. Найти фазовый объем линейного гармонического
осциллятора как функцию энергий
0
. Собственная часто-
та осциллятора .
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
58
Ответ:
0
2
()
1.4. Найти фазовый объем, энтропию и температуру си-
стемы из N невзаимодействующих частиц как функции средней энергии одной частицы.
Ответ:
3 /2 3 2
4
(2 )
3
N
NN
Vm
,
3
4 3 3
ln ln ln(2 ) ln
22
N N V N m N
h
,
2
3
.
1.5. Интеграл состояний некоторой системы равен
()
N
ZA
. Определить число и плотность состояний систе-
мы.
Ответ:
N
g A e
,
1
()
NN
D A e
.
1.6. Найти интеграл состояний, среднюю энергию и
теплоемкость идеального ультрарелятивистского
()pc
га-
за, занимающего объем V.
Ответ:
3
(8 ) ,
N
N
ZV
c
3 , 3
V
E N C Nk
.
1.7. Найти интеграл состояний и уравнение состояния
идеального ультрарелятивистского
()pc
газа, занимающе-
го объем V.
Ответ:
3
(8 ) ,
N
N
ZV
c
pV N
.
1.8. Найти выражение для энтропии через интеграл со-
стояний.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
59
Ответ:
( ln )Z
.
1.9. Определить интеграл состояний и среднюю энергию для системы из N невзаимодействующих двухатомных
молекул (масса молекулы – М, момент инерции – J).
Ответ:
3 3 /2 5 /2
(2 ) (2 ) , 5 / 2
N N N N
Z J M V E N
.
1.10. Показать, что для системы с большим числом
невзаимодействующих частиц наиболее вероятная энергия
совпадает с ее средним значением.
1.11. Выразить
2
E
через интеграл состояний.
Ответ:
2
22
Z
E
Z
.
1.12. Выразить термодинамический потенциал Гиббса
через интеграл состояний.
Ответ:
(ln )
ln
(ln )
Z
GZ
V
.
1.13. Два одинаковых идеальных газа с одинаковыми
температурами и числами частиц N, но с разными давлениями
р
1
и р2 находятся в двух сосудах. Сосуды соединяют. С ис-
пользованием интеграла состояний определить изменение энтропии.
Ответ
2
12
12
()
ln
4
pp
S Nk
pp
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
60
1.14. Идеальный газ заключен в сосуд, закрытый подвижным поршнем массой М. Определить уравнение состояния газа в этом случае.
Ответ:
( 1)F N kT
V
pp
.
1.15. Два одинаковых идеальных газа с одинаковым
числом частиц N и одинаковыми давлениями, но разными
температурами Т1 и Т2 находятся в сосудах с разными объемами. Сосуды соединяют. С использованием интеграла состояний найти изменение энтропии.
Ответ:
2
12
12
()
4 ln 6ln2
TT
N
TT
.
Методические рекомендации: для практических занятий рекомендуется выполнение примеров 1 – 2 и заданий
№№ 2, 4, 6, 7, 9, 13.
1.8.2. Распределение Максвелла
1.8.2.1. Примеры решения задач
Задача 1. Найти наиболее вероятную
в
v
, среднюю
v
и
среднеквадратичную
2
кв
vv
скорости молекул одноатом-
ного идеального газа.
Решение
Распределение Максвелла по скоростям можно представить в виде
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]