Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая физика. Часть 2. Статистическая физика равновесных состояний. Учебно-методическое пособие
.pdf
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
11
Пособие включает три Приложения – «Интегралы и
суммы классической статистики», «Некоторые интегралы
квантовой статистики» и «Некоторые физические постоянные». Завершается пособие заключением, списком рекомендуемой литературы в количестве 10 наименований и предметным указателем.
Структура статистической физики как целого отражается приведенной ниже таблицей. Представляемая вторая часть
«Статистическая физика равновесных состояний» учебнометодического пособия «Статистическая физика» в этой таблице отмечена цветом
Структура курса статистической физики
Термодинамика
Статистическая физика
Термодинамика
равновесных
состояний
Статистическая физика равновесных состояний
Раздел
Динамическая модель
Классическая
статистика
Движение частиц под-
чиняется законам
классической механи-
ки
Квантовая статистика
Движение частиц под-
чиняется законам
квантовой механики
Неравновесная
термодинамика
Статистическая физика
неравновесных состояний
Физическая кинетика
Классическая модель
Квантовая модель
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
12
1. КЛАССИЧЕСКАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
1.1. Основные понятия
Важнейшими понятиями статистической физики являются понятия микросостояний и статистического ансамбля.
Совокупность обобщенных координат qi и сопряженных
импульсов рi в данный момент времени называется микросостоянием макросистемы, которое в фазовом пространстве
изображается точкой. Микросостояние однозначно определяет состояние макросистемы, в то время как этому макросостоянию соответствует множество микросостояний, непрерывно сменяющих друг друга вследствие движения, взаимодействия и столкновений частиц системы. При этом фазовая
точка описывает сложную траекторию, оставаясь в пределах
некотором доступном фазовом объеме . Точки, образующие
фазовую траекторию при ее наблюдении в течение длительного времени, можно рассматривать как совокупность возможных микросостояний, реализующих рассматриваемое состояние системы в данный момент времени.
Совокупность микросостояний, реализующих данное
макросостояние, образует ансамбль систем (статистический ансамбль), который описывается изображающими
точками в доступном фазовом объеме .
Минимальный фазовый объем
min
, занимаемый одним
микросостоянием, ограничен соотношением неопределенностей Гейзенберга1
ii
q p h
и определяется как
1
Гейзенберг Вернер Карл (1901-1976) – немецкий физик-теоретик,
лауреат Нобелевской премии по физике 1932 г., член ряда академий и
научных обществ мира.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
13
min
= hs ,
где
34
6,65 10h
Джс – постоянная Планка1, а s – число сте-
пеней свободы системы. При этом в элементарном фазовом
объеме
1
s
ii
i
d dq dp
(1.1)
возможное число состояний
s
d
dg
h
. (1.2)
Доступный фазовый объем , элементарный объем d и
число состояний dg являются функциями обобщенной энергии системы
( , ) ( )E K p q Пq
, (1.3)
где К – кинетическая энергия, и П – потенциальная энергия
системы; под p и q понимаются совокупности всех обоб-
щенных координат и импульсов. При этом элементарный фазовый объем и соответствующее ему число состояний можно
записать в виде функций энергии:
1
, ( )
s
d dE dg dE g E dE
E h E
. (1.4)
1
Планк Макс Карл Эрнст Людвиг (1858-1947) – немецкий физик-
теоретик, лауреат Нобелевской премии по физике 1918 г., член Прусской
академии наук, ряда иностранных научных обществ и академий наук.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
14
Функция
()gE
называется плотностью состояний и
определяет число состояний, приходящихся на единичный
интервал изменения энергии.
Доступный фазовый объем определяется как
1
s
ii
i
pq
dp dq
, (1.5)
где интегрирование ведется по всем возможным значениям
обобщенных координат и импульсов.
Если система состоит из N невзаимодействующих частиц, то
3sN
, а
i i i i ix iy iz
d dxdy dz dp dp dp
и
1
1
N
N
i
i
d d d
, (1.6)
где
1
d
– элементарный фазовый объем, занимаемый одной ча-
стицей. Доступный фазовый объем одной частицы, обладающей
энергией
222
2
22
x y z
ppp
p
mm
и находящейся в объеме V,
3 3/2 3/2
44
(2 )
33
Vp V m
. (1.7).
Число изображающих точек
dN
в элементарном фазо-
вом объеме определяется величиной этого объема и плотностью изображающих точек
( , )pq
. Из определения стати-
стического ансамбля (фазовые точки не возникают и не исчезают) следует, что плотность изображающих точек от времени не зависит, хотя обобщенные координаты и импульсы яв-
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
15
ляются функциями времени. Следовательно, плотность изображающих точек должна быть функцией таких комбинаций р
и q, значения которых с течением времени не меняются. Та-
кими комбинациями в классической механике являются полная энергия, импульс и момент импульса замкнутой системы.
Однако в термодинамике и статистической физике не рассматривается движение системы как целого, поэтому плотность изображающих точек является функцией лишь энергии
системы. Т.к. точки не исчезают и не возникают, то и элементарный фазовый объем, с течением времени меняясь по форме, не меняет своей величины. Таким образом, число точек в
объеме d
( , )dN p q d
,
а вероятность обнаружить изображающую точку в этом объеме
( , )
( , )
dN p q
dW p q d
NN
. (1.8)
Функция
( , )
( , )
pq
w p q
N
называется фазовой функци-
ей распределения. Тогда
( , ) ( , ) ( , )dW p q w p q d w p q dpdq
, (1.9)
где, по-прежнему, под р и q понимаются совокупности всех
обобщенных координат и импульсов.
Фазовая функция распределения является интегралом
движения и зависит только от полной энергии системы, т.е.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
16
( , ) ( ( , ))w p q w E p q
. Поэтому от распределения по микросо-
стояниям (1.9) можно перейти к распределению по энергиям:
( ) ( )dW E w E dE
E
. (1.10)
Т.к. вид фазовой функции распределения может быть
найден лишь из общефизических соображений, то она определена с точностью до постоянного множителя, который
определяется из условия нормировки:
( , ) 1C w p q dpdq
, (1.11)
где интегрирование ведется по всему доступному фазовому
объему.
С помощью выражений (1.11) и (1.12) можно определять средние значения любых величин В, являющихся функциями фазовых переменных, таких как внутренние параметры
и энергетические характеристики системы:
( , ) ( , )B B p q w p q dpdq
. (1.12)
При этом следует иметь в виду, что
( , )w p q
в (1.12)
нормирована на единицу.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
17
1.2. Распределения в классической статистике
1.2.1. Микроканоническое распределение Гиббса1
Микроканоническим распределением описывается замкнутая система с энергией
E const
. Функцию распределе-
ния для такой системы проще получить, полагая, что энергетический спектр системы дискретный.
а. Квантовое микроканоническое распределение
(квазиклассическое рассмотрение)
Пусть энергия системы может принимать значения
12
, ,... ,...
i
E E E
и пусть числа различных микросостояний с эти-
ми энергиями (статистический вес)
12
, ,... ,,
i
g g g
соответствен-
но. Вероятность того, что энергия системы равная
i
E
,
про-
порциональна статистическому весу
i
g
состояний с этой
энергией:
()
i i i
W W E g
. Если ввести ненормированную тер-
модинамическую вероятность
T
W
, то можно принять, что
()
T i i
W E g
. (1.13)
Это соотношение отражает равновероятность различных состояний с одинаковой энергией и может рассматриваться как квантовое микроканоническое распределение.
Важным следствием определения (1.13) является вывод
о том что состояние равновесия характеризуется максимально возможным числом микросостояний: если в момент времени
0t
части замкнутой системы не находятся в состоя-
нии термодинамического равновесия, то с течением времени
1
Гиббс Джозайя Уиллард (1839-1901) – американский физик и математик.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
18
части системы приходят в тепловое равновесие,
T
W
растет и
достигает своего максимального значения.
б. Классическое микроканоническое распределение
Гиббса.
При переходе от дискретного энергетического спектра к
непрерывному
W dW
,
i
g dg
и
( ) ( )dW E Aw E dg
,
где А – нормировочная постоянная. При этом для системы с
0
E E const
( ) 0wE
при
0
EE
и
()wE
при
0
EE
.
Этим условиям и условию нормировки на единицу удовлетворяет -функция Дирака
0
()EE
(Приложение 1).
Тогда, учитывая, что
s
d
dg
h
, микроканоническое распреде-
ление принимает вид:
00
( , ) ( ) ( )dW p q A E E dg A E E dpdq
. (1.14)
Практическое использование микроканонического распределения затруднено как техническими сложностями, так и
тем, что замкнутые системы в природе не существуют.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
19
1.2.2. Система в термостате.
Каноническое распределение Гиббса
Наиболее продуктивной моделью макросистемы является модель системы в термостате. Термостат – совокупность
макроскопических тел, размеры которых много больше размеров рассматриваемой системы (окружающая среда), с которыми эта система свободно обменивается энергией. Если
систему разбить на множество макроскопических подсистем,
то каждую из них можно рассматривать как систему в термостате. Из определения системы в термостате следует, что система и термостат находятся в состоянии равновесия.
Рассмотрим энергию системы, состоящей из равновесных подсистем
взk
E E E
,
где
k
E
– энергия k-той подсистемы, а
вз
E
– энергия взаимо-
действия подсистем.
Т.к. обмен энергией между системой и термостатом
осуществляется лишь пограничными частицами, число которых много меньше числа частиц в каждой из подсистем, то
взk
EE
. Поэтому
k
EE
, (1.15)
Т.е. подсистемы можно рассматривать как квазизамкнутые.
Квазизамкнутость подсистем приводит и к их статистической квазинезависимости – состояние одной из подсистем
не зависит от состояния любой другой, т.е.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
20
( ) ( )
kk
w E w E
и
k
gg
. (1.16)
а. Каноническое распределение Гиббса в классической статистике.
Рассмотрим систему в термостате, энергия которой
имеет непрерывный спектр значений.
Вероятность того сто состояние системы реализуется
микросостоянием, изображаемым точкой в объеме d
( , ) ( )dW p q Aw E dpdq
. (1.17)
Если система состоит их двух подсистем с энергиями
1
E
и
2
E
, то в соответствии с (1.15) и (1.16)
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )w E w E E w E w E
.
Этому функциональному уравнению удовлетворяет
единственная функция – экспонента. Следовательно,
()
aE
w E Ae
. Далее учтем, что функция распределения не мо-
жет неограниченно возрастать и, поэтому, примем
1
a
,
где
0
. Таким образом, для системы в термостате справед-
ливо следующее распределение по микросостояниям:
( , )
( , )
E p q
dW p q Ae dpdq
. (1.18)
Это выражение и соответствующая функция распределения называются каноническим распределением Гиббса, а величина , имеющая размерность энергии, называется модулем канонического распределения.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]