Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая физика. Часть 2. Статистическая физика равновесных состояний. Учебно-методическое пособие
.pdf
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
151
Выполним усреднение
2
()EE
:
2 2 2
1 , ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
NN
i i k
i i k i k
E E E
.
Но
22
( ) ( )
i
– дисперсия энергии каждой из ча-
стиц системы. Кроме того, в силу независимости частиц
22
( ) ( )EN
, и среднеквадратичное отклонение энергии
системы от ее среднего значения
22
( ) ( )E E N N
,
а относительная среднеквадратичная флуктуация энергии системы
E
EN
EN
N
.
Таким образом, при
N
среднеквадратичная относи-
тельная флуктуация энергии стремится к нулю, т.е. свойства
системы в термостате приближаются к свойствам замкнутой
системы с энергией
E const
.
Задача 2. Показать, что флуктуации давления и температуры не являются независимыми. Найти корреляцию
pT
между флуктуациями давления и температуры, рассматривая
в качестве независимых переменных объем и температуру.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
152
Решение
Рассматривая общую формулу функция распределения
флуктуаций (2.13)
exp
2
S T V p
w const
kT
(1)
в переменных p и T, запишем выражения дляS и
V
:
p
T
SS
S T p
Tp
и
p
T
VV
V T p
Tp
.
Учтем, что термодинамический потенциал Гиббса G
является характеристической функцией переменных
p
и
T
,
т.е.
dG SdT Vdp
. Тогда
p
G
S
T
,
T
G
V
p
и
p
T
SV
pT
. (2)
Поэтому
2
2
()
()
p
T
p
T
SS
S T V p T p T
Tp
VV
T p p
Tp
22
( ) 2 ( )
p
p
T
C
VV
T T p p
T T p
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
153
При этом функция распределения флуктуаций имеет
вид:
22
( , ) exp ( ) 2 ( )
p
p
T
C
VV
w p T const T T p p
T T p
(3)
(заметим, что величина
0
T
V
p
, но
0
p
VT
).
Из выражения (3) видно, что функция распределения не
представима в виде произведения двух функций, каждая из
которых зависит лишь от одной переменной. Другими словами, флуктуации давления и температуры не независимы.
Найдем корреляцию
pT
между флуктуациями давле-
ния и температуры, рассматривая в качестве независимых переменных объем и температуру. Для этого рассмотрим произведение
pT
:
2
()
TV
pp
p T V T T
VT
.
Усредним это выражение, учитывая, что
0VT
:
2
()
V
p
p T T
T
. Но в соответствии с (2.26а)
2
2
( ) .
V
kT
TC
Таким образом,
2
V
V
p kT
pT
TC
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
154
Для идеального газа
V
p NkT
TV
, и
23
V
Nk T
pT
VC
.
Задача 3. Найти средний квадрат флуктуаций числа частиц идеального Ферми-газа, находящихся в k-том квантовом состоянии.
Решение
Для нахождения флуктуаций числа частиц идеального
Ферми-газа, находящихся в k-том квантовом состоянии воспользуемся формулой (2.21) п.2.3.1:
2
2
2
()
T
kTN V
N
Vp
.
Рассмотрим величину
2
2
T
NV
Vp
, выполнив ее преоб-
разование следующим образом:
2
22
,,T T T N V T
N V N V N N N
NN
V p V p p V V p
.
Этот ряд преобразований обусловлен тем, что флуктуации числа частиц могут быть связаны как с изменением объема при неизменной концентрации частиц, так и с изменением концентрации в фиксированном объеме рассматриваемой
подсистемы.
Для дальнейшего преобразования величины
,VT
NN
Vp
рассмотрим термодинамику системы с переменным числом
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
155
частиц, для которой термодинамический потенциал Гиббса
G
связан с химическим потенциалом соотношением
.GN
Тогда
dG dN Nd SdT Vdp dN
.
Отсюда получаем
Nd SdT Vdp
и
SN
dp dT d
VV
.
Следовательно,
,TV
Np
V
, и
,,
,,
T V T V
V T T V
N N N p N
V p p
.
Таким образом, средний квадрат флуктуаций числа частиц можно представить так:
2
()
T
N
N kT
.
Используем этот результат для определения флуктуаций
среднего числа частиц идеального Ферми-газа, находящихся
в k-том квантовом состоянии:
2
()
k
k
T
n
n kT
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
156
Для идеального газа фермионов
1
1
k
kT
k
ne
. Тогда
2
2
2
( 1)
1
1
k
k
k
kT
k k k k
kT
kT
n n n n
e
e
kT kT kT
e
,
и средний квадрат флуктуаций числа частиц
2
( ) ( 1)
k k k
n n n
.
3.5.2. Задания для аудиторного и
самостоятельного выполнения
3.1. Найти средний квадрат флуктуаций энергии иде-
ального газа, используя в качестве независимых параметров
V
и T.
Ответ:
2 2 2
()
V
V
E
E kT kC T
T
.
3.2. С использованием распределения Максвелла найти
среднеквадратичную и относительную флуктуации скорости
молекул одноатомного идеального газа.
Ответ:
2
(3 8) 1 (3 8)
( ) , =
22
v
kT
vv
m
.
3.3. С использованием распределения Максвелла найти
среднеквадратичную флуктуации проекции скорости молекул
одноатомного идеального газа.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
157
Ответ:
2
()
xx
kT
vv
m
.
3.4. С использованием распределения Максвелла найти
среднеквадратичную и относительную флуктуации энергии
молекулы одноатомного идеального газа.
Ответ:
2
22
( ) 2,
3
kT
.
3.5. Найти корреляцию объема и давления
Vp
, рас-
сматривая в качестве независимых переменных V и T.
Ответ:
V p kT
.
3.6. Найти корреляцию объема и энтропии
VS
, рас-
сматривая в качестве независимых переменных V и T.
Ответ:
p
V
V S kT
T
.
3.7. Найти корреляцию температуры и энтропии
TS
,
рассматривая в качестве независимых переменных V и T.
Ответ:
S T kT
.
3.8. Найти средний квадрат флуктуаций числа частиц
идеального Бозе-газа, находящихся в k-том квантовом состоянии.
Ответ:
2
( ) ( 1)
k k k
n n n
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
158
3.9. Найти средний квадрат флуктуаций энергии систе-
мы, рассматривая
( , )E E V T
и используя в качестве незави-
симых параметров V и T.
Ответ:
2
22
()
V
V
T
pV
E kT T p C kT
Tp
.
3.10. Найти среднеквадратичную флуктуацию энергии
равновесного электромагнитного излучения
()E
, прихо-
дящейся на интервал частот
.
Ответ:
3
2
3
8
()
1
h
kT
h
kT
Vh e
E
c
e
.
3.11. Определить предел чувствительности изобарного
термометра с идеальным газом в качестве рабочего тела, обусловленный флуктуациями температуры.
Ответ: Наименьшее изменение температуры, которое
может регистрировать прибор, порядка флуктуаций температуры
2
()
T
TT
N
.
Методические рекомендации: на практических заня-
тиях рекомендуется рассмотреть примеры 1–3 и решить задания 3.1–3.3, 3.7.
Вопросы к теоретическому материалу раздела 3
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
159
1. Флуктуации, дисперсия, среднеквадратичная и отно-
сительная флуктуации.
2. Распределение Гаусса.
3. Связь распределения Гаусса с энтропией.
4. Общее выражение распределения Гаусса для термоди-
намических величин.
5. Флуктуации объема и плотности.
6. Флуктуации давления.
7. Флуктуации температуры и энтропии.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
160
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1.
Интегралы и суммы классической статистики
Интеграл Пуассона и производные от него
Интеграл Пуассона
2
0
0
1
2
x
I e dx
.
Интегралы вида
2
2
2
0
nx
n
I x e dx
, где m = 1,2,3,…,
определяются как соответствующие производные по параметру от интеграла Пуассона. Так
2
2 3/2
20
0
1
4
x
d
I x e dx I
d
,
2
2
4 5/2
4 2 0
2
0
3
8
x
dd
I x e dx I I
dd
,
2
3
6 7/2
6 4 0
3
0
15
16
x
dd
I x e dx I I
dd
,
2
2 7/2
2 2( 1) 0
0
15
( 1)
16
n
n x n
nn
n
dd
I x e dx I I
dd
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]