Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая физика. Часть 2. Статистическая физика равновесных состояний. Учебно-методическое пособие
.pdf
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
61
( ) ( )dW v Af v dv
, где
2
2
( ) exp
2
mv
f v v
Для определения наиболее вероятной скорости молекул
необходимо исследовать функцию распределения по скоростям
()fv
на экстремум. Функция
()fv
обращается в нуль
при
0v
, при
v
и имеет один максимум определяемый
уравнением
2
2
2
( ) 2 0
mv
mv
f v e v
.
Отсюда получаем
2
в
v
m
.
Среднюю и среднеквадратичную скорости найдем по
правилам нахождения средних значений, т.е.:
2
2
3
2
2
00
2
()
mv
v vdW v A v e dv A
m
,
2
5/2
2 2 4
2
00
32
()
8
mv
v v dW v A v e dv A
m
(см. Приложения П1.1 и П1.2).
Определим постоянную А из условия нормировки:
2
3/2
2
2
00
12
( ) 1
4
mv
dW v A v e dv A
m
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
62
Отсюда
3/2
42
A
m
. Тогда
8
v
m
и
3
кв
v
m
.
Таким образом,
в кв
v v v
(см. рис. 1.4).
Полученные результаты можно записать, используя молярную массу газа и универсальную газовую постоянную:
2
в
RT
v
M
,
8RT
v
M
,
3
кв
RT
v
M
.
Задача 2. Разреженный газ находится в сосуде при дав-
лении р. Определить скорость истечения газа в вакуум через
небольшое отверстие S0. Изменением давления в сосуде пренебречь.
Решение
В соответствии с распределением Максвелла число молекул в единице объема, вектор скорости которых находится
в телесном угле, образованном конусом с углом раствора
2
(см. рис 1.5), равно
2
3/2
2
0
2
2
2
sin
mv
n
dn v e dv d
m
.
Эта формула получена из распределения (1.48б), записанного в сферических координатах и проинтегрированного
по азимутальному углу . Нормировочная постоянная, рассчитанная в предыдущей задаче, уменьшена в два раза, т.к.
распределение Максвелла (1.49) получается из (1.48б) инте-
грированием как по углу , так и по углу, а
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
63
0
sin 2d
.
z
S0
Рис.1.5. Геометрия задачи
В единицу времени из отверстия вылетают молекулы,
находящиеся в объеме
0
cosSv
, направления скоростей ко-
торых определяются углами
0
2
, т.е.
2
3/2
/2
3
0
2
00
00
2
cos ( , ) sin cos
mv
n
N S v dn v S v e dv d
m
Выполняя интегрирование, получаем:
0 0 0 0
1 2 1
24
N S n n S v
m
.
Учитывая, что
0 0 0
p n kT n
, окончательно получаем
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
64
00
4
p S v
N
kT
.
Задача 3. Определить плотность тока насыщения тер-
моэлектронной эмиссии, если потенциальная энергия электронов в металле меньше чем в вакууме на величину
e
. Электрон-
ный газ в металле рассматривать как одноатомный классический
идеальный газ. Концентрация электронов в металле n.
Решение
Плотность тока насыщения определяется количеством
всех электронов, покидающих единицу поверхности катода в
единицу времени. Для нахождения этого количества электронов воспользуемся распределением (1.48а), записав его для
проекций скоростей:
2
2
mv
x y z
dn nAe dv dv dv
.
Из условия нормировки
2
3
2
1
x
mv
x
A e dv
находим
3/2
2
m
A
, т.е.
2
2
2
3/2
2 2 2
2
y
x
z
mv
mv
mv
x y z
m
dn n e dv e dv e dv
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
65
Поверхность катода могут покидать электроны с любыми значениями проекций
y
v
,
z
v
и
minx
vv
(рис.1.6), где ми-
нимальная скорость определяется из уравнения
2
2
mun
mv
e
.
металл вакуум
u (x)
0
e
x
Рис.1.6. Геометрия задачи
Учтем, что в единицу времени к площадке S поверхности катода могут подлететь электроны с положительной про-
екцией
x
v
, находящиеся в объеме
x
Sv
, причем S = 1 м2. Тогда
число электронов, вылетающих в единицу времени с единичной площадки катода, равно:
2
2
2
min
3/ 2
2 2 2
2
y
x
z
mv
mv
mv
y z x x
v
m
N n e dv e dv v e dv
.
22
min
3/ 2 3/ 2
2
22
2
22
22
x mun
mv mv
xx
v
mm
n v e dv n e
mm
Полученный результат можно представить в виде
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
66
4
e
nv
Ne
.
Тогда плотность тока насыщения термоэлектронной
эмиссии определяется так называемой классической формулой Ричардсона1:
exp
4
emv e
j
kT
(здесь e – заряд электрона).
1.8.2.2. Задания для аудиторного и
самостоятельного выполнения
1.16. Определить наиболее вероятную энергию молекул
одноатомного идеального газа.
Ответ:
/2
в
1.17. Показать, что относительное число молекул иде-
ального газа, имеющих скорость больше наиболее вероятной,
не зависит от температуры.
1.18. Определить среднюю энергию молекул одноатом-
ного идеального газа, используя распределение а) по проекциям скоростей (импульсов); б) по модулям скоростей; в) по
энергиям.
Ответ:
3
2
.
1.19. Найти зависимость максимума функции распреде-
ления Максвелла по скоростям от температуры.
1
Ричардсон Оуэн Уилланс (1879-1959) – английский физик, лауреат Но-
белевской премии по физике 1928 г., член Лондонского королевского
общества.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
67
Рис.1.7. К задаче 1.21
Ответ:
3/2
4
()
2
max
m
fv
e
.
1.20. Найти среднюю скорость относительного движе-
ния молекул идеального газа.
Ответ:
4
отн
v
m
.
1.21. В сосуде, содержащем идеальный газ концентра-
ции n, имеется небольшое круглое отверстие S. Найти число
частиц, попадающих в единицу времени на круглый
диск радиуса R, рас-
положенный на расстоянии
h от щели. Центры сечения
S и диска лежат на прямой,
перпендикулярной плоскости сечения (см. рис.1.7).
Изменением концентрации
пренебречь.
Ответ:
2
22
4
nv R
NS
Rh
.
1.22. Определить среднюю обратную скорость
1
v
моле-
кул идеального газа. Сравнить результат с величиной обратной средней скорости.
Ответ:
18m
v
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
68
1.23. Определить средний обратный квадрат скорости
2
1
v
молекул идеального газа. Сравнить с обратным средним
квадратом скорости.
Ответ:
2
1 m
v
.
1.24. Найти вероятность того, что одна из проекций скорости
молекул идеального газа положительна.
Ответ:
( 0) 1/ 2
x
Wv
.
1.25. Найти вероятность того, что все три проекции скорости
молекул идеального газа положительны.
Ответ:
( 0, 0, 0) 1/8
x y z
W v v v
.
1.26. Показать, что доля молекул, скорости которых за-
ключены в интервале значений между наиболее вероятной и
скоростью, отличающейся от нее на v, обратно пропорцио-
нальна
Т
.
1.27. Используя распределение Максвелла, получить
выражение для давления идеального газа при температуре Т.
Концентрация молекул газа n.
Ответ:
p nkT
.
1.28. Определить относительное число атомов, теряемых атмосферой планеты радиуса R0 и массы М в единицу
времени. Масса атома m, а температура Т – постоянная. Распределение атомов по скоростям считать максвелловским.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
69
Указание: учесть, что вторая космическая скорость
2
2 M
v kT
R
.
Ответ:
0
2
0
0
0
1
4
2
Mm
kTR
kTR
dn kT
Re
n dt m mM
.
Методические рекомендации: для практических заня-
тий рекомендуется выполнение примеров 1 – 3 и заданий
№№ 16–21, 28.
1.8.3. Распределение Больцмана
1.8.3.1. Примеры решения задач
Задача 1. N невзаимодействующих частиц находяться в
цилиндре радиуса R и высоты Н. Цилиндр вращается с угловой скоростью относительно его оси симметрии. Масса частицы m. Найти:
а) радиальное распределение плотности частиц;
б) энергию и теплоемкость системы;
в) давление газа на боковую поверхность цилиндра.
Решение
а. В системе отсчета, связанной с вращающимся цилин-
дром, на каждую из частиц действует центробежная сила
2
F m r
. В соответствии с принципом эквивалентности
центробежную силу можно рассматривать как потенциальную
()F gradu r
в потенциальном поле
()ur
, причем
22
2
( ) ( )
2
mr
u r F r dr C m rdr C C
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
70
Принимая
(0) 0u
, получаем С = 0. Таким образом,
каждая из частиц системы, находясь в поле сил инерции, обладает потенциальной энергией
22
()
2
mr
ur
.
Тогда распределение Больцмана в цилиндрических координатах имеет вид:
2 2 2 2
22
( , , )
m r m r
dW r z Ae rdrd dz Ae dV
,
а число частиц в элементарном объеме
22
2
mr
dN NAe dV
.
Постоянную А найдем из условия нормировки:
22
2
2
0 0 0
1
HR
mr
A d dz re dr
. Выполнив интегрирование, получим
22
2
2
1
2
1
mR
m
A
H
e
. Тогда распределение плотности частиц
определяется выражением
22
2
( ) (0)
mr
dN
n r n e
dV
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]