Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая физика. Часть 2. Статистическая физика равновесных состояний. Учебно-методическое пособие
.pdf
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
111
т.е. фононы термически активируются, и их число в твердом
теле не является постоянным. Следовательно, газ фононов
полностью вырожден (
0)
. В первом приближении фоно-
ны можно считать невзаимодействующими и газ фононов –
идеальным. Таким образом, фононный газ подчиняется распределению Бозе-Эйнштейна и описывается теми же соотношениями, что и равновесный газ фотонов.
Выполняя такие же рассуждения, что и в п.2.5, запишем
число состояний фононов (число нормальных колебаний с
частотами в интервале от до
d
с учетом трех поляри-
заций в виде
22
3 3 3
1 1 4
( ) 4 2
lt
V
dg V d d
c c c
,
где введено обозначение
3 3 3
1 1 2
lt
c c c
.
Т.к. полное число нормальных колебаний равно 3N, то
max
23
max
33
0
44
3
3
VV
Nd
cc
, (2.29)
что позволяет определить
1/3
max
9
4
N
c
V
.
Средняя энергия колебаний кристаллической решетки
max max
3
3
00
4
()
1
h
Vh d
E h ndg
c
e
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
112
Переходя к безразмерной переменной
h
x
и введя
характеристическую температуру Дебая
max
D
h
T
k
, получаем
4
/
3
3
0
4
1
D
TT
x
Vh kT x dx
E
c h e
. (2.30)
Будем рассматривать интеграл (2.29) отдельно в области
низких и высоких температур.
В области высоких температур при
D
TT
в знаменате-
ле подынтегральной функции можно разложить экспоненту в
ряд и ограничиться величинами первого порядка малости.
Тогда
4
/
23
max
33
0
44
3
D
TT
Vh kT Vh
E x dx kT
c h c
.
Но в соответствии с (2.29)
3
max
3
4
3
3
Vh
N
c
. В результате
получаем классическое выражение
3E NkT
и закон Дюлон-
га-Пти для теплоемкости
3C Nk
.
Рассмотрим (2.30) при низких температурах, когда
D
TT
. В этом случае верхний предел интеграла (2.30) мож-
но считать бесконечностью, и, как и ранее, интеграл равным
4
15
. Теперь
4
5 4 4
4
33
43
15 5
D
V k NkT
E kT
c h T
,
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
113
и теплоемкость
3
4
3
12
~
5
D
T
C Nk T
T
.
Таким образом, использование представления о фононах, подчиняющихся квантовой статистике Бозе-Эйнштейна,
позволяет в полной мере объяснить поведение теплоемкости
тел, обусловленной колебаниями кристаллической решетки.
При этом температура Дебая разделяет области применимости классических и квантовых представлений при анализе
динамики кристаллической решетки твердого тела.
2.7. Явление Бозе-конденсации
Для идеального газа бозонов, состоящего из N нерелятивистских частиц с целочисленным спином и массой m в
объеме V, справедлива формула (2.18) при
1
s
g
3/2
1/2
2
0
2
2
1
md
NV
h
e
. (2.31)
Можно показать, что химический потенциал , оставаясь отрицательным, монотонно возрастает с понижением
температуры, т.е.
0
. При этом может обращаться в
нуль при некоторой не равной нулю температуре
0
T
. Даль-
нейшее понижение температуры не приводит к росту , т.к.
химический потенциал бозонов всегда отрицателен. Следова-
тельно, при
0
TT
остается равным нулю. Оценим вели-
чину температуры
0
T
, учитывая, что в (2.31)
N const
:
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
114
0
3/2 3/2
1/2 1/2
3/2
0
22
00
22
22
1
1
x
m d m x dx
N V V
h h e
e
. (2.32).
Т.к. последний интеграл равен
2
6
, то для
0
T
получаем
2/3
2
0
2
3
2
Nh
T
V mk
. (2.34)
Заметим, что эта температура ниже температуры вырождения примерно в три раза.
Рассмотрим поведение бозонов при
0
TT
. Теперь ра-
венство (2.31) не выполняется – оно может выполняться лишь
для числа частиц
NN
, которые, по-прежнему, распреде-
лены в соответствии с распределением Бозе-Эйнштейна:
3/2
1/2
3/2
2
0
2
2
1
x
m x dx
NV
he
при
0
. (2.35)
()NN
частиц при этом «оседают» на нижнем энергетиче-
ском уровне с минимально возможной энергией. По мере понижения температуры все большее число частиц «скатывается» в это состояние и не принимая участие в тепловом движении.
Описанное явление носит название явления Бозеконденсации, а температура
0
T
– температуры Бозе-
конденсации. Доля частиц, находящихся в состоянии с минимально возможной энергией, составляет
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
115
2/3
0
11
N N N T
N B T
. (2.36)
Экспериментальным подтверждением существования
Бозе-конденсации служит явление сверхтекучести, обнару-
женное в гелии
4
2
He
при температурах
2,19T
К. Оказалось,
что жидкий гелий ведет себя как две разные жидкости – одна
обычная, принимающая участие в тепловом движении и, следовательно, обладающая вязкостью, и вторая, все частицы
которой находятся на нулевом энергетическом уровне и не
принимают участие в тепловом движении. Интересно отме-
тить, что в жидком изотопе
3
2
He
атомы которого являются
фермионами, Бозе-конденсация не наблюдается ни при каких
температурах.
2.8. Задачи для аудиторного и
самостоятельного выполнения
2.8.1. Распределение Ферми-Дирака
2.8.1.1. Примеры решения задач
Задача 1. Определить среднюю скорость электронов в
полностью вырожденном идеальном электронном газе. Концентрация электронов n.
Решение
Т.к. газ идеальный, то электроны свободные, т.е. обладают тремя поступательными степенями свободы, энергия
которых имеет непрерывный спектр значений. Поэтому эле-
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
116
ментарный фазовый объем, занимаемый одним электроном
как функция его скорости, имеет вид:
32
4d Vm v dv
.
Число состояний в элементарном фазовом объеме с уче-
том спинового вырождения
3
2
8
m
dg V v dv
h
.
При этом число электронов, скорости которых лежат в
интервале значений от v до v+dv
( ) ( ) ( )dN v n v dg v
,
где
2
/2
1
()
1
mv
nv
e
.
Тогда вероятность того, что скорость электрона лежит в
указанном интервале значений, будет равной.
2
3
2
/2
()
( ) 8
1
mv
dN v V m v dv
dW v
N N h
e
и
0
()v vdW v
.
Здесь учтено, что кратность спинового вырождения
2
S
g
. В полностью вырожденном электронном газе при
температуре Т = 0 среднее число электронов в одном из со-
стояний с энергией
2
2
mv
равно 1, а при
2
2
mv
– равно
0. Поэтому
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
117
max
33
34
max
0
2
8
v
V m V m
v v dv v
N h N h
,
где
2
max
2
v
m
. Тогда полученный результат можно записать в
виде
2
3
8 Vm
v
Nh
.
Это выражение можно упростить, учитывая значение
энергии Ферми (2.9). При этом среднее значение скорости
электронов можно представить в виде:
22
3
v
m
.
Задача 2. Получить квантовую формулу Ричардсона для
плотности тока насыщения термоэлектронной эмиссии. Работа выхода электронов из металла
W
. Считать, что
W
.
Решение
Для вычисления плотности тока насыщения термоэлектронной эмиссии воспользуемся ее общим выражением (см.
пример 3 п.1.8.2.1), но учтем, что электронный газ является
вырожденным и подчиняется распределению Ферми-Дирака:
min
00
( , , )
y z x
x x y z
v v v v
j e v dn v v v
,
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
118
где
( , , )
x y z
dn v v v
– число электронов в единице объема метал-
ла, проекции скоростей которых лежат в пределах значений
от vx до vx+dvx, от vy, до vy+dvy, от vz до vz+dvz и
2
min
2
mv
W
.
Т.к.
( , , ) ( , , ) ( , , )
x y z x y z x y z
dn v v v n v v v dg v v v
, а
1
222
( )/ 2
( , , ) exp 1
x y z
x y z
m v v v
n v v v m
и
3
2
x y z
m
dg dv dv dv
h
,
Получаем
2
min
3
/2
00
2
1
x
xx
yz
A mv
v
v dv
m
j e dv dv
h
e
.
В последнем выражении введено обозначение
22
( ) / 2
yz
m v v W
A
.
Рассмотрим внутренний интеграл:
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
119
2
22
min min
22
( /2 )
( / )
/2 ( /2 )
( )/2
( )/
ln 1
11
ln 1
x
xx
yz
A mv
AW
x x x x
A mv A mv
vv
m v v
W
v dv e v dv
e
m
ee
ee
m
Теперь учтем условие задачи
()W
. Очевидно,
что из этого условия следует
( )/
1
W
e
. Поэтому
2 2 2 2
( )/2 ( )/2
( )/ ( )/
ln 1
y z y z
m v v m v v
WW
e e e e
mm
,
и выражение для плотности тока термоэлектронной эмиссии
приобретает вид:
2
2
3
22
00
2
y
z
mv
mv
W
yz
m
j e e e dv e dv
hm
.
Оставшиеся интегралы являются интегралами Пуассона
(см. Приложение). Окончательно получаем
3
22
23
4
4
WW
mm
j e e e e
h m h
или
2
3
4 ( )
w
kT
m kT
j e e
h
.
Полученная формула для плотности тока насыщения
термоэлектронной эмиссии называется квантовой формулой
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
120
Ричардсона, а величина
wW
– эффективной работой
выхода.
2.8.1.2. Задания для аудиторного
и самостоятельного выполнения
2.1. Определить число столкновений с единичной пло-
щадкой в единицу времени в электронном газе при Т = 0 К.
Ответ:
4/3
3
4
hN
mV
.
2.2. Определить теплоемкость вырожденного электрон-
ного ультрарелятивистского газа ( = рс).
Ответ:
2
3
V
kT
C Nk
.
2.3. Найти долю свободных электронов в металле при
Т = 0 К, кинетическая энергия которых больше половины
максимальной.
Ответ:
( / 2) 2
1
4
N
N
.
2.4. Определить среднеквадратичную скорость электро-
нов при Т = 0 К.
Ответ:
..
6
5
ср кв
v
m
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]