Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая физика. Часть 2. Статистическая физика равновесных состояний. Учебно-методическое пособие
.pdf
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
91
Но сумма в (2.13) представляет собой при
0
сумму
членов убывающей геометрической прогрессии, знаменатель
которой
k
qe
. Следовательно,
1
1
1
k
k
e
e
и
ln 1
k
k
e
.
Среднее число частиц в k-том квантовом состоянии
находим дифференцированием
k
по :
1
1
k
k
n
e
(2.14а)
или, в случае непрерывного энергетического спектра
ln 1 e
и
1
1
n
e
. (2.14б)
Выражения (2.14) называются распределением БозеЭйнштейна (Б-Э).
В отличие от классического газа и газа фермионов теперь величину
k
n
нельзя рассматривать как вероятность
нахождения частицы в рассматриваемом состоянии.
2.2.4. Вырождение. Критерий вырождения
На рис.2.1 схематически представлены графики зависимости
()n
распределений Максвелла-Больцмана, Ферми-
Дирака и Бозе-Эйнштейна.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
92
()n
0
Б-Э
М-Б
Ф-Д
Рис.2.1. Распределения М-Б, Ф-Д и Б-Э
Сопоставим эти распределения:
М-Б:
ne
,
;
Ф-Д:
1
1
n
e
,
; (2.15)
Б-Э:
1
1
n
e
,
0
.
Из соотношений (2.13) видно, что при
1e
распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна переходят в распределение Максвелла-Больцмана.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
93
Всякое отклонение от статистики Максвелла-
Больцмана, приводящее к статистикам Ферми-Дирака
или Бозе-Эйнштейна, называется вырождением.
Очевидно, что критерием вырождения является величи-
на
1e
. При
1e
идеальный газ можно рассматривать
как классический, подчиняющийся распределению Максвелла-Больцмана; при
1e
газ фермионов вырожден и подчиняется распределениям Ферми-Дирака, а газ бозонов является
вырожденным и подчиняется распределению Бозе-
Эйнштейна, если величина
e
близка к единице.
Для выяснения связи величины
e
с параметрами газа
рассмотрим каноническое распределение Гиббса в фазовом
пространстве одной частицы и запишем его в виде:
3/2
2
3
1
2
Nh
dN N e h dg dg
z V m
.
Но
dN
n
dg
– среднее число частиц, находящихся в од-
ном из состояний с энергией состоянии. С другой стороны,
ne
. Следовательно,
3/2
2
2
Nh
e
Vm
. Используя кри-
терий вырождения
1e
, введем температуру вырождения
в
T
такую, что
2/3
2
2
в
Nh
T
V mk
. (2.16)
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
94
Из этого выражения видно, что при
в
TT
газ является
классическим, а при
в
TT
– вырожденным. Температура
вырождения определяется концентрацией частиц газа
N
V
и их
массой. Температура вырождения повышается с увеличением
концентрации (повышением давления). Температура вырождения обратно пропорциональна массе частиц, составляющих
систему – так, при прочих равных условиях температура вырождения электронного газа на три порядка превышает температуру вырождения газа атомов. Отметим, что атмосферный воздух, состоящий из атомов, свойства которых описываются законами квантовой механики, тем не менее, описывается классической статистикой из-за низкой концентрации
молекул.
2.3. Термодинамические свойства идеальных
одноатомных Бозе- и Ферми-газов
1). Рассмотрим термодинамические свойства вырож-
денного одноатомного идеального газа.
Т.к. молекулы одноатомного газа не обладают внутренней структурой и имеют лишь три поступательные степени
свободы, энергия которых не квантуется, то объединенное
выражение для распределений Ферми-Дирака и БозеЭйнштейна имеет вид:
1
1
n
e
, (2.17)
где верхний знак относится к фермионам, а нижний – к бозонам.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
95
В соответствии с (2.3а) среднее число частиц с энергией, заключенной в интервале значений от до
d
, опре-
деляется выражением
()dN mdg
. Число состояний одной
частицы, как функция ее энергии
3/2
3/2
32
( ) 4 2
()
3
m
gV
hh
.
Тогда
3/2
1/2
2
2
( ) 2
m
dg V d
h
. В общем случае это выра-
жение нужно еще умножить на кратность спинового вырождения
s
g
. Таким образом,
3/2
1/2
2
2
2
1
s
md
dN Vg
h
e
.
Тогда условие нормировки и средняя энергия определяются так:
3/2
1/2
2
0
2
2
1
s
md
N Vg
h
e
и
3/2
3/2
2
0
2
2
1
s
md
E Vg
h
e
. (2.18)
Интегралы в (2.18) вычисляются с помощью специальных
-функции Римана и функции Ферми
(см. Приложение 2).
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
96
Для нахождения уравнения состояния вырожденного
идеального газа воспользуемся тем, что большой термодинамический потенциал Гиббса системы
PV
. Частицам с
энергиями в интервале значений от до
d
, которым от-
вечает число состояний,
()dg
соответствует потенциал
d
.
Т.к. каждому состояниям с определенной энергией частиц
соответствует термодинамический потенциал, определяемый
выражениями (2.12) и (2.14), то состояниям с энергиями частиц в интервале значений от до
d
отвечает
ln 1 ( )d e dg
.
Тогда, подставляя значение
()dg
и учитывая, что
pV
, получаем уравнение состояния идеальных Бозе- и
Ферми-газов в виде
3/2
2
0
2
2 ln 1
s
m
P g e d
h
.
Выполняя интегрирование по частям и учитывая выражение для средней энергии (2.18), получаем
22
33
E
Pu
V
, (2.19)
где u – плотность энергии газа (энергия, приходящаяся на
единицу объема).
Общий вид уравнения состояния вырожденного идеального газа такой же, что и классического газа, однако существенное различие заключается в значении средней энер-
гии .E
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
97
2.4. Применение статистики Ферми-Дирака
к электронам в металле
2.4.1. Полностью вырожденный газ фермионов
Рассмотрим распределение Ферми-Дирака при темпера-
туре абсолютного нуля. Т.к. вырожденный ферми-газ характеризуется химическим потенциалом
0
, то при
0T
e
и при
1
0
1
n
e
.
Если же
, то
0e
и
1
1
1
n
e
.
Следовательно, при
все состояния при темпера-
туре абсолютного нуля заняты частицам, а при
– сво-
бодны (рис.2.2а). Такой газ называется полностью вырожденным Ферми-газом.
Энергетический уровень
F
, выше которого в
системе фермионов при температуре абсолютного нуля
все состояния свободны, а ниже которого все состояния
заняты, называется уровнем Ферми.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
98
С повышением температуры ступенька размывается,
причем степень ее размытия определяется величиной тепловой энергии
kT
(рис. 2.2.б), причем
0
11
()
2
1
F
n
e
. (2.20)
F
б)
n
1
0
0T
kT
Рис.2.2 Распределение Ферми-Дирака:
а) – при
0T
, б) – при
0T
n
F
а)
0T
1
0
Рассмотрим свойства полностью вырожденного газа
фермионов. Т.к. при
0n
, а при
1n
, то усло-
вие нормировки
3/2 3/2
1/2 3/2
22
0
4
22
2
3
S
S
Vg
mm
N Vg d
hh
(2.21)
позволяет выразить уровень Ферми через характеристики газа
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
99
2/3
2
3
42
F
S
Nh
Vg m
. (2.22)
Энергия полностью вырожденного газа фермионов
3/2 3/2
3/2 5/2
0
22
0
4
2 2 3
2
55
S
SF
Vg
mm
E Vg d N
hh
, (2.23)
а уравнение состояния
0
22
35
F
PV E N
или,
2
5
F
pn
, (2.24)
где n – концентрация частиц.
2.4.2. Электронный газ в металлах
Электроны проводимости в металлах можно рассматривать как идеальный газ – существует немало экспериментальных данных, которые вполне удовлетворительно описываются в рамках представлений об электронах в металлах как об
идеальном газе. Если идеальный электронный газ рассматривать как классический, то серьезные затруднения возникают
при определении теплоемкости металлов, которая должна
складываться из решеточной составляющей
3Nk
(закон
Дюлонга1-Пти
2
) и электронной классической составляющей
1
Дюлонг Пьер Луи (1785-1838) – французский физик и химик, член Па-
рижской академии наук, иностранный член Лондонского королевского
общества.
2
Пти Алексис Терез (1791-1820) – французский физик.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
100
3
2
Nk
. Эксперимент показывает, что теплоемкость металлов
практически не отличается предсказываемой законом Дюлонга-Пти.
Оценим температуру вырождения электронного газа,
учитывая, что концентрация электронов в металлах
28
/ ~10NV
м-3, а масса электрона
31 30
9,1 10 10~m
кг:
2/3
2 68
18 4
30 23
10 10
10 1~~0
2 10 10
в
Nh
T
V mk
Е.
Следовательно, вплоть до температур плавления электронный газ в металлах является вырожденным, а при нормальных температурах – сильно вырожденным, свойства которого мало отличаются от свойств полностью вырожденного
газом фермионов со спином
1/ 2
(
2
s
g
).
Оценим величину энергии Ферми для электронов в металлах:
2/3
2 67
18 19
30
3 10
10 10
20
~~
41
S
Nh
Vg m
Дж = 1эВ.
Энергия теплового движения kT при нормальных условиях составляет величину порядка 0,01 эВ. Следовательно, в
металлах
1
kT
. Этот результат свидетельствует о том,
что лишь менее 1% электронов, энергии которых мало отличаются от энергии Ферми, могут принимать участие в тепловом движении. Основная часть электронов располагается на
энергетических уровнях
, причем на каждом уровне
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]