Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая физика. Часть 2. Статистическая физика равновесных состояний. Учебно-методическое пособие
.pdf
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
161
Интегралы вида
2
2
2
nx
n
I x e dx
, где n = 0,1,2,…,
определяются удвоением всех рассмотренных интегралов
Пуассона и его производных.
Интегралы вида
2
21
21
0
nx
n
I x e dx
(n = 0,1,2,…)
Интеграл
2
1
0
1
2
x
I xe dx
. Этот интеграл вычисляет-
ся непосредственным интегрированием, т.к.
22
1
2
e x x
x d e
.
Интегралы вида
2
21
21
0
nx
n
I x e dx
, где n = 0,1,2,…,
можно рассматривать как производные по параметру от инте-
грала
2
1
0
x
I x e dx
.
Так,
2
3
31
2
0
1
2
x
d
I x e dx I
d
,
2
2
52
5 3 1
23
0
1
( 1)
4
x
dd
I x e dx I I
dd
,
2
21
2 1 2 1 1
21
0
1
( 1)
2!
n
n x n
nn
nn
dd
I x e dx I I
d d n
,
2n+1
числе от до ) равны нулю.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
162
Дельта-функция Дирака
()xa
-функция определяется следующим операторным ра-
венством:
( ) ( ) ( )f x x a dx f a
,
где
( ) 0fx
при
x
. При этом
0 ( )
()
( )
xa
xa
xa
.
Из определения -функции следует:
1)
( ) 1x dx
, 2)
1
( ) ( )xx
,
3)
1
()
2
ikx
x e dk
(разложение Фурье1).
Некоторые суммы статистической физики
Сумма членов ряда натуральных чисел
0
( 1)
2
N
N
k
NN
Sk
.
Сумма членов убывающей геометрической прогрессии
1
Фурье Жан-Батист Жозеф (1768-1830) – французский математик и фи-
зик, член Парижской академии наук, иностранный член Лондонского королевского общества, иностранный почетный член Петербургской академии наук.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
163
0
(1 )
1
N
N
k
N
k
aq
S aq
q
.
Сумма членов бесконечной убывающей геометрической
прогрессии.
0
1
k
k
a
S aq
q
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
164
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Некоторые интегралы квантовой
статистики
В квантовой статистике встречаются интегралы вида
1
0
()
1
m
xa
x dx
Ia
e
(П2.1)
где
1m
и может быть как целым, так и дробным числом, а
величина a может быть как положительной, так и отрица-
тельной, но
1/ 0
a
eB
(
x
,
, a B e
).
Интегралы вида (П2.1) вычисляются с помощью рядов.
Умножим числитель и знаменатель подынтегральной функции на
x
Be
.
Тогда
1
0
1
mx
x
x e dx
IB
Be
Разложим функцию
1
1xBe
в ряд, формально исполь-
зуя выражение для суммы членов бесконечной убывающей
геометрической прогрессии со знаменателем
x
q ae
:
для фермионов
22
0
1
1 ... ( 1)
1
x x n n nx
x
n
Be B e B e
Be
;
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
165
для бозонов
22
0
1
1 ...
1
x x n nx
x
n
Be B e B e
Be
.
Тогда
1
1
0
()
na m nx
n
I a e x e dx
для бозонов, (П2.2а)
и
1
1
0
( ) ( 1)
n na m nx
n
I a e x e dx
для фермионов. (П2.2б)
Интегралы под знаком сумм в (П2.2а,б) заменой пере-
менной
nx y
приводятся к виду
1
0
1
my
n
m
J y e dy
n
и вы-
числяются с помощью интегралов
2
2
2
0
nx
n
I x e dx
,
2
21
21
0
nx
n
I x e dx
, а также их производных, рассмотренных в
Приложении 1. Интегралам
n
J
можно придать компактную
форму, если ввести гамма-функцию, которая по определению
равна
1
0
()
my
n y e dy
(для целых
( ) !m m m
,
1
(3/ 2) ,
2
3
(5/ 2)
4
и т.д.). Таким образом,
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
166
1
0
0
( ) ( )
1
m na
x a m
n
x dx e
I a m
en
бозоны, (П2.3а)
1
0
0
( 1)
( ) ( )
1
m n na
x a m
n
x dx e
I a m
en
фермионы. (П2.3б)
Частными случаями интегралов (П2.3б) являются так
называемые интегралы (функции) Ферми.
Интегралы Ферми
0
1
()
( 1) 1
n
n
xa
x dx
Fa
ne
.
В статистике Ферми-Дирака при расчете числа частиц и
средней энергии используются интегралы
1/2
1/2
0
1
1
x
x dx
F
e
a
и
3/2
3/2
0
1
1
x
x dx
F
e
a
. (П2.4)
Значения интегралов Ферми принципиально зависит от
величины a В качестве примера приведем несколько значений
1/2
I
для разных a:
1/2
()
a
F a e
при
a
;
1/2
()
1 0,27
a
a
e
Fae
при
1a
;
1/2
2
2 1,15
( ) 1Fa
a
при
1a
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
167
При вычислении числа частиц и средней энергии в системе бозонов используются интегралы вида (П2.1) при
0.a
Интегралы вида
0
1
n
n
x
x dx
I
e
При
0a
выражение (П2.3а) принимает вид:
1
0
0
1
( ) ( ) ( )
1
m
n
xm
n
x dx
I m m m
en
, (П2.5)
где
()m
– дзета-функция Римана, представляющая собой
сумму ряда
1
1
()
m
k
m
k
. Приведем значения -функции для
некоторых n:
(3/ 2) 2,612
;
(5/ 2) 1,341
;
2
(2)
6
;
4
(4)
90
;
(3) 1,202
;
(5) 1,037
.
В заключение приведем значения некоторых интегралов
статистики Бозе-Эйнштейна:
1)
34
3
0
1 15
x
x dx
I
e
,
2)
2
1
0
16
x
xdx
I
e
,
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
168
3)
1/2
1/2
0
2,612 2,31
12
x
x dx
I
e
,
4)
3/2
3/2
0
3
1,341
14
x
x dx
I
e
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
169
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Некоторые физические постоянные
Скорость света в вакууме, с
2,99108 м/с
Постоянная Планка, h
6,62510
-34
Джс
1,05410
-34
Джс
Заряд электрона, е
1,610
-19
Кл
Масса покоя электрона, m
e
9,110
-31
кг
Гравитационная постоянная,
6,67210
-11
Нм2/кг2
Электрическая постоянная, 0
8,8510
-12
Ф/м
Магнитная постоянная,
0
1,25710-6 Гн/м
Масса покоя протона, m
p
1,67210
-27
кг
Число Авогадро, NA
6,0231023 моль-1
Универсальная газовая
постоянная, R
8,314 Дж/Кмоль
Постоянная Больцмана, k
1,3810
-23
Дж/К
Постоянная СтефанаБольцмана,
5,6710-8 Вт/м2·К
4
Магнетон Бора,
Б
0,92710
-23
Дж/Тл
Постоянная Вина, А
3
2,897 10
м-1К
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 2.
Статистическая физика равновесных состояний
170
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Авторы второй части «Статистическая физика равновесных состояний» учебно-методического пособия «Статистическая физика» предприняли попытку в сжатой форме изложить соответствующий обширный и весьма сложный теоретический материал для студентов-физиков бакалавриата, в
процессе первичного ознакомления с основами теоретической физики. Более глубокое освоение студентами приемов,
методов и задач теоретической физики осуществляется в
рамках профессионально ориентированных спецкурсов и в
процессе дальнейшего обучения в магистратуре.
По мере возможности весь материал изложен в предельно доступной форме и поддерживается примерами применения теоретических положений к решению задач, причем
эти примеры, как правило, представляют собой базовые задачи физики. Технической поддержкой теоретического материала служат три приложения математического характера. Работа над выполнением предложенных заданий к каждому логическому модулю существенно поможет в освоении студентами материала статистической физики.
Составители пособия выражают надежду на то, что
предложенный материал окажет значительную поддержку
студентам в их самостоятельной работе с учебной литературой в процессе освоения курса «Статистическая физика».
В заключение составители пособия хотели бы обратить
внимание студентов, пользующихся настоящим пособием, на
следующее: пособие не подменяет собой серьезную учебную
литературу. Лишь вдумчивая работа с литературой позволит
правильно использовать материал пособия, обеспечить глубину знаний и овладение навыками, необходимыми специалисту-физику.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]