Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Основные вопросы. Учебное пособие.pdf
zk z z
M m dz M dM 0
− + ⋅+ + =
z
k
dM
m
dz
= −
z
l ci bi a
i
L
кi
m
кi
y
x z σz
α
(l m n)
,,ν
σ
ν
σ
ν
τ
ν
р
α
dz z M
z
m
кi
Получаем
Откуда
Mz + d Mz
Рис. 38. Стержень под действием крутящего момента
.
. (35)
Для получения физической зависимости – закона Гука при кручении
(линейной зависимости угловой деформации γ и касательного напряжения τ) вернемся к опыту на растяжение, из которого известны (определены) модуль Юнга Е [МПа] и коэффициент Пуассона μ.
Рассмотрим площадку (рис. 39), повернутую на угол α вокруг оси x.
Определим касательные напряжения.
Рис. 39. К определению касательных напряжений
81
В принятых координатах в опыте на растяжение имеем линейное
000
T 000
00
σ
=
σ
xy23 z1
0,σ=σ=σ=σ= σ=σ=σ
(l 0,m sin ,n cos )ν= =− α = α
xx yy zz
p l,p m,p n
=σ⋅ =σ⋅ =σ⋅
p (0; 0; cos )
ν
σ⋅ α
2
xy z
p plpmpn cos
νν
σ = ⋅ν = ⋅ + ⋅ + ⋅ =σ⋅ α
2222 2 4 2 2 2 2 2
1
p (cos cos ) cos sin ( sin 2 )
2
ννν
τ= −σ =σ⋅ α− α=σ⋅ α⋅ α=σ⋅ α
sin 2
2
ν
σ
τ= ⋅ α
напряженное состояние. Все площадки главные, и на них отсутствуют касательные напряжения. Матрица напряжений
,
т. е.
.
Проекции нормали к площадке на главные оси напряжений (рис. 39)
.
Проекции полного напряжения
,
т. е.
.
Соответственно нормальное напряжение на площадке
,
а квадрат касательного напряжения равен
Откуда модуль касательного напряжения на площадке
. (36)
Определим угловую деформацию.
82
.
По определению, угловая деформация – уменьшение начального пря-
ав
()
γ= α −α
a в
,α << α α << α
a а
sin
α=α
прод
BL BL
KB S sin E
σ
ε= = =
∆⋅ α
'
поп
BL B'L
KA S cos E
σ
ε = = =µ⋅
∆⋅ α
aa a
S sin BL cos( ) LB' sin( ) 0 0−∆ ⋅ α + ⋅ α+α + ⋅ α+α + =
а
α
a
BL cos LB' sin
S
⋅ α+ ⋅ α
α=
∆
К
α
A
L В В'
n
n
α
γ−90
а
α
α+αв α+α
а
мого угла в плоскости, т. е. разность углов поворота – составляющих лучей αa и αв изначально прямого угла (рис. 40).
.
Рис. 40. К определению угловой деформации.
Задачу решаем в малых перемещениях, т. е. при
и
.
Выразим углы поворота лучей через продольную и поперечную де-
формации образца при растяжении. На рис. 40: АК – нормальное сечение
образца до нагружения; АВ = S – начальное положение луча до нагружения; АВ' – конечное положение луча после нагружения.
Продольная деформация:
Поперечная деформация:
.
.
Спроектируем контур ABLB'A на нормаль n-n к отрезку AB'.
Получим
.
С учетом малости
получим
.
83
Подставим выражения для деформаций:
BL
sin
SE
σ
=⋅α
∆
B'L
cos
SE
σ
=µ⋅ ⋅ α
∆
a
(1 ) sin cos
E
σ
α = ⋅ +µ ⋅ α⋅ α
sin(90 ) cos ,+α = α
cos(90 ) sin+α =− α
в
(1 ) sin cos
E
σ
α =− ⋅ +µ ⋅ α⋅ α
a в
(1 ) sin 2
E
σ
γ=α −α = ⋅ +µ ⋅ α
2 (1 )
sin 2 2
EG
⋅ +µ τ
σ⋅ α= ⋅τ⇒ γ= ⋅τ=
G
τ
γ=
E
G
2 (1 )
=
⋅ +µ
,
получим
Для второго отрезка с поворотом на 90о (так как
) получим
Соответственно
,
.
.
.
Сравнивая последнее выражение с формулой (36) для касательных
напряжений, получаем закон Гука при сдвиге – искомое физическое уравнение
,
то есть
, (37)
где модуль сдвига G равен
и выражается через коэффициент Пуассона µ и модуль Юнга E.
84
Используя гипотезу плоских сечений, рассмотрим кольцевой элемент
dρ
z
dz d⋅γ =ρ⋅ ϕ
z
d
dz G
ϕ
τ
γ=ρ⋅ =
z
d
G
dz
ϕ
τ= ⋅ρ⋅
2 22
xy
ρ= +
2 22
zz
z
dd
dM dA G dA G (x y ) dA
dz dz
ϕϕ
=τ⋅ ⋅ρ= ⋅ρ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅
z
z
d
M GJ
dz
ρ
ϕ
=⋅⋅
B
1
τ
A
B
ρ
dρ
dz
τ
d
γ
dφ
круглого сечения с текущим радиусом ρ бесконечно малой толщины
длиной dz и площадью dA (рис. 41).
z
Рис. 41. Действие касательных напряжений при кручении
,
Приравнивая длину дуги BB1 из двух треугольников (
получаем с учетом закона Гука (37)
,
откуда
. (38)
Элементарный крутящий момент (с учетом
),
)
и, интегрируя по площади сечения, получаем
85
.
Для круга
4
24
2 XY
A
d
J (x y ) dA J J 0,1 d
32
ρ
π⋅
= + ⋅ =+= ≈⋅
∫
zz
dM
dz G J
ρ
ϕ
=
⋅
z
M
J
ρ
τ= ⋅ρ
z
k
zz
dM
m
dz
dM
dz G J
ρ
= −
φ
=
⋅
zx
zy
xz yz
00
T 00
0
σ
τ
= τ
ττ
.
Откуда
. (39)
Подставляя (38) в (39), получаем касательные напряжения
, (40)
которые линейно распределены по высоте сечения диаметром d (рис. 41)
и максимальны на поверхности.
Задача о кручении фактически сводится к решению системы двух линейных дифференциальных уравнений
(41)
при соответствующих граничных условиях – математическом описании
закрепления концов стержня.
По оставшимся двум формулам можно вычислить напряжения и угловую деформацию и провести расчет на прочность.
Матрица напряжений в главных центральных осях сечения
86
дает инварианты НС
22 2
1 2 zx zy 3
J 0,J ,J 0= = −τ −τ = −τ =
3 22
0 00σ − ⋅σ −τ ⋅σ+ =
123
, 0,σ = τ σ = σ = −τ
экв
[]
2 [] 2
2
σ
σ = ⋅τ→ σ ≥ ⋅τ→τ≤
экв
[]
3 [] 3
3
σ
σ = ⋅τ→ σ ≥ ⋅τ→τ≤
zzk k k
N M,w ,P L,q m,E G,A J(
или J )
ρ
⇒ ⇒φ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
44 4
4
Dd D
J (1 )
32 32 32
ρ
π⋅ π⋅ π⋅
= − = ⋅ −α
и, соответствен-
но, главные напряжения – решение характеристического уравнения матрицы (
),
, что характерно
для напряженного состояния – чистый сдвиг.
Условие прочности:
− по гипотезе касательных напряжений
;
− по энергетической гипотезе
.
Как видно, разница существенная. Больший запас дает первый
вариант.
Таким образом, анализ напряженного и деформированного состояний
сводится к решению системы (41).
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ И РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
Сравнивая математические модели кручения и растяжения, видим
полную аналогию вплоть до обозначений. Поэтому как аналитическое, так
и численное решение для кручения получаем из решения для растяжения
заменой соответственно:
.
Согласно (40) максимальные касательные напряжения возникают на
поверхности тела. Например, для трубчатого сечения внутренним диаметром d, толщиной стенки t и внешним диаметром D (рис. 42):
87
,
D
t
d
где
d
D
α=
max
D
2
ρ=
M
3
4 34
max
J
D
W (1 ) 0,2 D (1 )
16
ρ
ρ
π⋅
= = ⋅ −α ≈ ⋅ ⋅ −α
ρ
zz
M [] M []
max
или max
W2 W
3
ρρ
σσ
≤≤
43 3
кв
(1 ) D D
16 16
ππ
−α ⋅ = ⋅
4 1/3
к
в
D
(1 )
D
−
= −α
,
и максимальное касательное напряжение в сечении
z
W
,
ρ
τ=
max
где
– момент сопротивления
при кручении.
Рис. 42. Размеры трубчатого сечения стержня
В итоге расчет на прочность сводится к проверке условия
по всей длине стержня.
Сравним расход металла для сплошного (диаметром Dв) и трубчатого
валов (кольца) внешним диаметром Dк и толщиной стенки t. Приравнивая
(из условия равнопрочности) моменты сопротивления
,
получаем
.
88
Соотношение площадей сечений
2
2
кк
2
в
в
АD
(1 )
А
D
= −α ⋅
2 4 2/3
к
в
А
(1 ) (1 )
А
−
= −α ⋅ −α
2
k
W hb=α⋅ ⋅
3
k
J bh=β⋅ ⋅
h/b 1 1,5 2 4 8 ∞
α
0,208
0,231
0,246
0,282
0,307
0,333
β
0,141
0,196
0,229
0,281
0,307
0,333
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,1 0,2 0,3
0,4 0,5 0,6
0,7 0,8 0,9 1
α
или
.
Результаты расчетов иллюстрируются графиком (рис. 43).
Рис. 43. Зависимость соотношения площадей от α
Трубчатый вал позволяет экономить вес конструкции по мере уменьшения толщины стенки. Уменьшение последней при поперечном изгибе
ограничено касательными напряжениями по Журавскому, а при чистом
кручении – устойчивостью формы поперечного сечения.
Для некруглого сечения используют Wk , приводимое в справочниках,
которое находится численно или определяется экспериментально. Например, для прямоугольного сечения высотой h и шириной b
,
и в справочниках приводится соответствующая таблица (табл. 1):
Таблица 1
89
ПРОЕКТНЫЙ РАСЧЕТ ВАЛА
3
[] N
16
2
d
σ
≥⋅
π⋅ ⋅ω
3
N
d 32
[]
≥⋅
σ ⋅ω
Пусть вал передает мощность N с угловой скоростью ω, т. е. крутя-
щий момент Мкр = N/ω. Тогда условие прочности
,
т. е. примерный диаметр вала
.
ПРИМЕРЫ ВАЛОВ, РАБОТАЮЩИХ НА КРУЧЕНИЕ,
В РАКЕТОСТРОЕНИИ И САМОЛЕТОСТРОЕНИИ
Пример конструктивного исполнения двигателя на рис. 44.
Рис. 44. Авиационный двигатель
Турбореактивный двигатель (ТРД). На выходе из сопла установле-
ны несколько ступеней турбины, закрепленные на общем валу. Проходя
через лопатки турбин, газ приводит их во вращение. Между колесами турбин установлены неподвижные направляющие лопатки, которые придают
определенное направление потоку газа на пути к следующей ступени (колесу) турбины, что создает более эффективное вращение (рис. 45).
90