Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Основные вопросы. Учебное пособие.pdf
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПО СПОСОБУ ВЕРЕЩАГИНА
Q a bz=+⋅
l ll
Qвн Qвн
вн вн вн
0 00
(a A b S )
Q (a b z) Q z Q
δ dz a dz b dz
Ж ЖЖ Ж
⋅ +⋅
⋅ +⋅ ⋅
= ⋅=⋅ ⋅+⋅ ⋅=
∫ ∫∫
l
вн
Qвн
0
A Q dz= ⋅
∫
l
вн
Qвн
0
S z Q dz=⋅⋅
∫
с
Qвн Qвн
S Az= ⋅
c
z
Qвн Qвн
(a A b S )⋅ +⋅
C
Qвн
A (a b z )⋅ +⋅
c
Qвн
A Q(z )⋅
c
Qвн
A Q(z )
Ж
⋅
δ=
Qвн
A
c
z
В основе способа Верещагина лежит линейность внутренней силы от
единичной нагрузки, т. е. есть
, что после подстановки в инте-
грал Мора дает
где
– площадь эпюры ВС от внешних сил;
– статический момент площади эпюры ВС от внеш-
них сил относительно левого конца стержня.
Но
,
,
где
– координата центра тяжести эпюры ВС от внешних сил относи-
тельно левого конца, а
=
=
.
Окончательно получаем
.
Для вычисления перемещения в заданной точке стержня и в заданном
направлении для стержня постоянного сечения (Ж = const) необходимо:
− приложить единичную силу в нужной точке и направлении;
− построить эпюру ВС от внешней нагрузки, определить ее площадь
и координату центра тяжести
;
− построить эпюру ВС от единичной силы;
111
− вычислить значения эпюр при z = zc;
Qвн
A
c
Q(z )
1
a/3
l
a
M
M
l
l–a/3
Pa
δ
− вычислить перемещение как сумму произведений
Рис. 58. Площади и центр тяжести некоторых эпюр:
1 – выпуклая парабола; 2 – треугольник; 3 – вогнутая парабола
на
и 1/Ж.
Площади и положение центра тяжести некоторых эпюр длиной l
и высотой h (см. примеры построения эпюр ВС выше) приведены на рис. 58.
ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПО СПОСОБУ ВЕРЕЩАГИНА
Рассмотрим для примера три способа решения схемы на рис. 59.
xвн
x1
Рис. 59. Консольная балка под действием поперечной силы,
приложенной посередине
112
1) Метод Верещагина
x
11 a
12
Q Q(0) P= +
12
M M(0) Q(0) z P (z a)= + ⋅ +⋅ −
22
12
1
(0) [M(0) z Q(0) z / 2 P (z a) / 2 ]
EJ
ϕ=ϕ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ −
23 3
12
1
EJ
V(0) (0) 0
=ϕ=
Q(l) 0 Q(0) P
=⇒=−
M(l) 0 M(0) P l P (l a) P a= ⇒ = ⋅− ⋅ − = ⋅
23 3
1 l l (l a)
[P a P P ]
EJ 2 6 6
−
−δ=− ⋅ ⋅⋅ −⋅ +⋅
2
Pa
a (l )
2EJ 3
δ= ⋅ ⋅ −
M(z) 0=
1
M (z) l z= −
a
0
2 23
a2
0
1
(P a P z) (l z) dz
EJ
P z l az z P a
(a l z ) a (l )
EJ 2 2 3 2EJ 3
δ= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ =
∫
⋅⋅
= ⋅ ⋅⋅ − − + = ⋅ ⋅ −
[ ][ Paa][(l )]
δ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
EJ 2 3
⋅
.
2) Решение по участкам
,
,
,
V V(0) (0) z [M(0) z / 2 Q(0) z / 6 P (z a) / 6 ]
= −ϕ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ −
Граничные условия:
;
;
.
.
В итоге
После преобразования
3) Интеграл Мора
Так как на втором участке
, а
.
.
, то
113
.
Становится очевидно, что для простых схем нагружения метод Вере-
i
X
1in≤≤
1
δ
a/3
l
a
M
M
x11
1
Paa
–1
5/8*l
М
xв
ql2/8
l/2
q
δ
M
x1
5l
84
⋅
l
4
]1[]aaP
2
1
[]
JE
1
[
x
−⋅⋅⋅⋅⋅
⋅
=δ
]
48
l
5
[]
2
l
8
ql
3
2
[]
JE
1
[2
2
x
⋅
⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅
⋅=δ
щагина значительно проще двух других. На рис. 60 приведены еще две
схемы и значения максимальных перемещений по методу Верещагина.
x
Рис. 60. Определение максимальных перемещений по методу Верещагина
МЕТОД СИЛ
Применение метода Мора – Верещагина для статически неопредели-
мых задач (СНЗ) требует предварительно определить реакции n «лишних»
связей, убирая которые мы еще не теряем равновесие. Число n называют
степенью неопределимости системы (задачи). Задача решается методом
сил.
Заметим, что при численном решении статическая определимость или
неопределимость не имеют значения.
Для СНЗ выбираем статически определимую основную систему,
отбрасывая n «лишних» связей, и переходим к эквивалентной системе,
заменяя отброшенные связи неизвестными реакциями
, где
Из условия равенства нулю перемещений в направлении отброшен-
ных связей составляем систему канонических уравнений метода сил –
114
.
линейную систему уравнений относительно неизвестных реакций. Каждое
11 1 1i i 1n n 1вн
n1 1 ni i nn n nвн
X ... X ... X 0
........................................................
X ... X ... X 0
δ ⋅ + +δ ⋅ +δ ⋅ +∆ =
δ ⋅ + +δ ⋅ +δ ⋅ =∆ =
ij
δ
ij
∆
i вн
j ci i c
QQ
ij i
A Q (z ) Q (z ) A
,
ЖЖ
⋅⋅
δ= ∆=
l/3
а/3
Мxвн
X
M
X
M
l
а
СНЗ, n = 2
Основная система
Эквивалентная система
М
М
x1 Мx2
а
l
=∆+⋅δ+⋅δ
=∆+⋅δ+⋅δ
0XX
0XX
вн2222121
вн1212111
Система канонических
уравнений метода сил
].lM[]l
2
1
[]
JE
1
[],aM[]a
2
1
[]
JE
1
[
],a
3
1
l[]aa
2
1
[
]
JE
1
[
],l
3
2
[]ll
2
1
[]
JE
1
[],
a
3
2
[]aa
2
1
[]
JE
1
[
x
вн
2
x
вн1
x
2112
x
22
x
11
⋅−⋅⋅⋅
⋅
=
∆⋅−⋅⋅−⋅
⋅
=∆
⋅−⋅⋅⋅−
⋅
⋅
=δ=δ
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅
=δ⋅−⋅⋅⋅
−⋅
⋅
=δ
2а/3
2l/3
l-а/3
из уравнений системы равно нулю и записывается в виде
.
Коэффициенты системы
ничной силы в j-том направлении;
– перемещения в i-том направлении от еди-
– перемещения в i-том направлении от
внешних сил, находятся интегралом Мора (или методом Верещагина):
.
Решив эту задачу, получаем СОЗ, перемещения и ВС в которой ищем,
как показано выше. Пример метода сил показан на рис. 61.
2
1
Рис. 61. Этапы решения СНЗ по методу сил
115
С точки зрения математики, мы, приняв некоторые допущения, заме-
yz
qq0= =
NQ
⋅ϕ <<
dv
dz
= −ϕ
dw N
dz E A=⋅
dN
0dz=
dQ
0dz=
x
dM
Q
dz
=
x
x
M
d
dz EJ
ϕ
=
12
NN=
211
w w N /(EA)= +
12
QQ=
2 11
M M Q l / (EJ)= +⋅
2
21 1 1
(M l Q l / 2) / (EJ)ϕ =ϕ+ ⋅+ ⋅
23
21 1 1 1
v v ( l M l /2 Q l /6)/(EJ)= −ϕ⋅+ ⋅ + ⋅
(42)
няем интегрирование большой нелинейной системы дифференциальных
уравнений (что возможно только численно и то не всегда) последовательным выполнением большого числа простых вычислительных операций.
Самая сложная операция метода – решение системы n линейных алгебраических уравнений.
МЕТОД ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В МКЭ
При построении расчетной модели метода конечных элементов
(МКЭ) нагрузки приводятся в виде сосредоточенных сил в узлах, следова-
тельно,
. Принято также, что при малых деформациях
.
Система дифференциальных уравнений (30), рассмотренная в теме 5,
упрощается и принимает вид
,
,
,
,
,
,
а также может быть проинтегрирована.
Пусть индекс «1» относится к началу конечного элемента длиной l,
а индекс «2» – к его концу. После интегрирования и вычисления результатов в конце элемента получаем
,
,
,
,
,
.
116
В МКЭ расчеты ведутся методом перемещений, т. е. неизвестными
1 2121 2
(w ,w , , ,v ,v )ϕϕ
1 212 1 2
(N,N ,Q ,Q ,M ,M )
12 2 1
EA EA
NN w w
ll
= = ⋅− ⋅
12 1 2 1 2
22 3 3
6 EJ 6 EJ 12 EJ 12 EJ
QQ v v
ll l l
⋅⋅ ⋅ ⋅
= = ⋅ϕ + ⋅ϕ − ⋅ + ⋅
1 1 212
22
4 EJ 2 EJ 6 EJ 6 EJ
M vv
ll
ll
⋅⋅ ⋅⋅
= ⋅ϕ + ⋅ϕ − ⋅ + ⋅
2 12 1 2
22
10 EJ 8 EJ 18 EJ 18 EJ
M vv
ll
ll
⋅⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ϕ + ⋅ϕ − ⋅ + ⋅
11
22
22 3 3
11
22 3 3
22
22
1
22
2
EA / l EA / l 0 0 0 0
Nw
EA / l EA / l 0 0 0 0
Nw
0 0 6EJ / l 6EJ / l 12EJ / l 12EJ / l
Q
Q 0 0 6EJ / l 6EJ / l 12EJ / l 12EJ / l
Mv
0 0 4EJ / l 2EJ / l 6EJ / l 6EJ / l
M
0 0 10EJ / l 8EJ / l 18EJ / l 18EJ / l
−
−
−
ϕ
= ⋅
−ϕ
−
−
1
2
v
объявляются перемещения узлов
, через которые для
каждого элемента вычисляются силы на концах конечного элемента (КЭ)
, а затем формируется система уравнений равно-
весия узлов (включая граничные условия, исключая условия равновесия
закрепленных узлов в соответствующем направлении). Из решения этой
системы находятся перемещения узлов. При этом принимается во внимание равенство перемещений точек сопряжения соседних узлов. Поэтому
преобразуем полученную систему линейных алгебраических уравнений:
,
,
В матричном виде:
,
.
Матрица преобразования перемещений в силы называется локальной
матрицей жесткости КЭ.
117
После вычисления перемещений узлов по этому же матричному урав-
11 11 12 21 22
V V V V 0,=ϕ= = = =
12 21
ϕ=ϕ
21
ϕ
22
ϕ
12 21 22 21 21 22 22 21 22
12 21 22 21 21 22 22 21 22
M ( , ),M ( , ),M ( , ),
Q(,),Q(,),Q(,)
ϕϕ ϕϕ ϕϕ
ϕϕ ϕϕ ϕϕ
12 21 22 21 21 22
22 21 22
M(,)M(,)0
M( , )M 0
ϕϕ− ϕϕ=
ϕϕ+=
21
ϕ
22
ϕ
X1 M
M
Q
Q
M M
Q
X
нению решается обратная задача определения внутренних сил в элементе
и напряжений в нем (в его середине).
В нашем примере два элемента: 1, 2. При этом без учета растяжения
имеем восемь неизвестных перемещений. Но
и остается всего два неизвестных перемещения
и
, для
отыскания которых можно составить два уравнения равновесия моментов
узлов – средней и правой опор (рис. 62) в вертикальном направлении, вычислив предварительно силы в узлах
с помощью локальной матрицы жесткости соответствующих узлов.
21
2
12
21
12
Рис. 62. Реакции, возникающие в опорах
22
22
Алгоритм громоздкий, но универсальный и не зависит от исходной
расчетной схемы. Имеем в примере:
1. Решаем систему уравнений равновесия
и находим
и
.
118
2. При необходимости вычисляем
12 21 22
Q ( , ),
ϕϕ
21 21 22
Q ( , ),ϕϕ
22 21 22
Q( , )ϕϕ
1 12 21
XQ Q= −
2 22
XQ= −
и реакции опор как
,
.
Метод перемещений особенно эффективен при решении стержневых
систем.
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 9
1. Какие перемещения для балок определяются под действием
нагрузок?
2. Для каких задач применяется метод Мора – Верещагина?
3. Приведите типичные схемы растяжения-сжатия, кручения и изгиба
и эпюры к ним.
4. По каким зависимостям определяется работа внешних и внутрен-
них сил, а также потенциальная энергия деформации?
5. Какими величинами определяется жесткость при изгибе, кручении,
растяжении?
6. Запишите интеграл Мора.
7. Поясните суть определения перемещений по способу Верещагина.
8. Приведите пример задачи, решенной тремя способами: по участ-
кам, методом Верещагина, по интегралу Мора.
9. Что такое степень статической неопределимости?
10. Как выглядит каноническое уравнение метода сил?
11. Что означают коэффициенты канонической системы уравнений
метода сил?
12. Поясните особенность определения перемещений по методу ко-
нечных элементов.
119
Тема 10. ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ И УСТОЙЧИВОСТЬ
z
q 0, N P const= =−=
x
dM
NQ
dz
= ⋅ϕ+
NP= −
dv
dz
= −ϕ
y
dQ
q
dz
= −
x
dM
PQ
dz
=− ⋅ϕ+
x
x
M
d
dz EJ
ϕ
=
P
РАВНОВЕСИЯ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Рассмотрим задачу об одновременном изгибе и сжатии стержня. Даже
в малых перемещениях она не линейна (см. тему 3) и не имеет аналитического решения. Численное же решение не представляет сложности.
C целью пояснения сути проблемы и общих свойств задачи рассмот-
рим сначала частный случай, позволяющий получить аналитическое решение и его проанализировать:
(Р известно), EJx = const, w не вычисляем.
Физическая особенность задачи видна из примера (рис. 63). Наличие
сжимающей силы увеличивает изгиб, который при достаточно большой
силе Р может сохраняться после снятия изгибающей нагрузки, так как си-
ла Р удерживает стержень в изогнутом состоянии. Такая сила называется
критической и обозначается Ркр.
Рис. 63. Задача на продольно-поперечный изгиб
Математическая модель задачи (идентична поперечному изгибу и ли-
нейна, так как сила Р известна) представляет систему линейных дифференциальных уравнений 4-го порядка:
то есть
,
,
,
120
,
,
.