Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Основные вопросы. Учебное пособие.pdf
Ядро
и получаем
aa
hb
Y ,X
66
≤≤
hb
Y ,X
66
=−=−
aa
Y,X
42
22
X
XY
2
J
d4 d
ii
A 16
64 d
π⋅ ⋅
= = = =
⋅π⋅
n
d
Y2= −
a
dr
Y
84
= =
z
P 12 12 P
(1 ) 7
A 22 22 A
σ=− ⋅ + + ⋅=−⋅
⋅⋅
,
чему удовлетворяет прямая, отсекающая такие отрезки от координатных
осей (рис. 51). Можно также уравнение прямой получить из уравнения ну-
левой линии при
, считая параметрами
− для круга
,
т. е. ядро сечения – круг радиусом r/4 (рис. 52).
сечения
;
,
,
Рис. 52. Ядро круглого поперечного сечения
Итак, для бетонных опор необходимо обеспечить приложение равно-
действующей нагрузки в ядре сечения (например, соответствующими
стальными закладными деталями в железобетонных конструкциях).
Заметим, что, прикладывая нагрузку внецентренно, мы существенно
увеличиваем напряжения. Например, для прямоугольника при приложении нагрузки в одном из углов, в точке приложения нагрузки получаем
,
т. е. в семь раз больше, чем при центральном нагружении.
101
Для круглого сечения при наиболее опасном приложении нагрузки на
z
P 16 P
(1 ) 5
A 22 A
σ=− ⋅ + =−⋅
⋅
22
xj yj
zj
Xj
MM
W
+
σ=
zj zj
j Xj
MM
W 2W
ρ
τ= =
⋅
222
xj yj zj
Xj
MMM
[ ] max( )
W
++
σ≥
22 2
xj yj zj
Xj
M M 0,75M
[ ] max( )
W
++
σ≥
( )
*
yz x
*
x
Q
τy S
max
2
bJ
σ
= ⋅≤
поверхности в плоскости суммарного изгибающего момента (Y = Ya = d/2) –
в пять раз:
.
• Изгиб и кручение сплошных валов
В этом случае максимальные нормальные и касательные напряжения
имеют место в одной и той же точке поверхности. Поскольку в этой точке
,
то получаем по 3-й гипотезе прочности
и по 4-й
,
.
Для тонкостенных трубчатых сечений (толщиной стенки t = D–d)
необходимо дополнительно проверить прочность от касательных напряжений по Журавскому от максимальной поперечной силы Q
,
102
где
b 2t= ⋅
22
(D d )
A
4
π⋅ −
=
44
X
(D d )
J
64
π⋅ −
=
33
* 33
X
Dd 1
S (D d )
12 12 12
= −=⋅ −
33 22 33
44 44
22
Q 64 (D d ) 4 Q (D d ) (D d )
3A
(D d) (D d ) 12 (D d) (D d )
4 Q (D D d d )
3A 2
(D d )
⋅⋅− −⋅−
=⋅⋅ =
−⋅π⋅ − ⋅ −⋅ −
σ
+ ⋅+
=⋅⋅ ≤
+
dD→
d0→
,
,
,
.
Следовательно, условие прочности
Проанализируем неравенство. При утончении стенки до нуля каса-
тельные напряжения при
в сравнении со сплошным валом (при
увеличиваются только в 1,5 раза
), т. е. даже короткий полый
вал по всем расчетам выгоднее сплошного с точки зрения веса при равной
прочности.
В остальных случаях расчет осуществляется по общему алгоритму.
В современных пакетах, например МКЭ, расчет можно проводить численно в миллионах точек.
Погрешности расчета на прочность суперпозицией невелики и при
проверке по точным алгоритмам не превосходят 5 %. Исключением являются длинные гибкие стержни, при изгибе которых со сжатием возникают
существенные дополнительные изгибающие моменты от сжатия. Это нагружение называют продольно-поперечным изгибом. Оно будет рассмотрено ниже.
103
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 8
1. Почему в сложном сопротивлении стержней практически всегда
справедлив принцип суперпозиции?
2. Что такое опасные точки?
3. В чем заключается принцип суперпозиции?
4. Как распределяются напряжения на гранях элементарного объема
при сложном нагружении?
5. Какое напряженное состояние возникает в точках стержня при
сложном сопротивлении стержней?
6. Что представляет собой расчет на прочность?
7. Какой изгиб называется косым?
8. По какой формуле рассчитывается нормальное напряжение в сече-
нии в случае косого изгиба?
9. Что такое нулевая линия?
10. Что такое опасные точки?
11. По какой формуле рассчитывается нормальное напряжение в се-
чении в случае косого изгиба с растяжением?
12. По какой формуле рассчитывается нормальное напряжение в се-
чении в случае внецентренного сжатия?
13. Что такое ядро сечения?
14. По каким формулам осуществляется расчет нормальных и каса-
тельных напряжений при изгибе с кручением?
104
Тема 9. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
В ЗАДАННОЙ ТОЧКЕ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛА МОРА
И ПО СПОСОБУ ВЕРЕЩАГИНА
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ
К. О. Мором предложен способ вычисления перемещений в заданной
точке стержня и выбранном направлении, применимый для консервативных систем, в которых результат деформации не зависит от порядка приложения нагрузок. Способ удобен для расчета перемещений в статически
определимых задачах (СОЗ) и сводится к интегрированию уравнений
внутренних сил (ВС). А. К. Верещагин предложил заменить интегрирование алгебраическими операциями с площадями эпюр ВС и координатами
их центра тяжести. Точность расчетов соответствует точности при применении принципа суперпозиции (см. предыдущую тему), и они могут выполняться вручную, что было особенно актуально до развития и широкого
применения ПЭВМ.
Метод Мора может использоваться и для статически неопределимых
задач (СНЗ), если отбросить «лишние» связи, заменив их неизвестными
силами Xi – реакциями опор, которые определяются из условия отсутствия
соответствующих перемещений. Метод получил название метод сил,
а система линейных уравнений для определения Xi – каноническая систе-
ма уравнений метода сил. Коэффициенты этой системы определяются методом Мора – Верещагина.
Таким образом, метод Мора – Верещагина позволяет для определения
перемещений заменить задачу интегрирования системы нелинейных дифференциальных уравнений (что возможно только численно на ЭВМ) совокупностью простых алгебраических операций, которые можно выполнять
вручную.
В задачах динамики, которые часто не решаемы даже численно в современных пакетах, необходимо вычислять перемежения в конкретной
точке и направлении. Для этого метод Мора – Верещагина эффективен.
105
ЭПЮРЫ ВС В СОЗ
вн
Q
Q
N(z) N(0) P
Если(z a;0;1),N(l) 0= −⋅ < =
N(z) N(0) q z q (z a) Если(z a;0;1),N(l) 0= −⋅+⋅ − ⋅ < =
N(z) N(0) q z q (z a) Если(z a;0;1),N(0) 0= −⋅+⋅ − ⋅ < =
a
Эпюра N
q
qa
q
Эпюра N
a
Эпюра N
qa
а
Актуально построение эпюр ВС для изгибающего момента М, крутя-
щего момента Мк и продольной силы N. Перемещения от поперечных сил
малы и ими обычно пренебрегают. Для единообразия изложения будем
обозначать обобщенную внутреннюю силу от внешних сил через
ставляющие: Мx, My, Мк, N), а от единичной силы –
.
(со-
Используя принцип суперпозиции всегда можно представить эпюры
внутренних сил (ЭВС) от внешней нагрузки как совокупность ЭВС от от-
дельных нагрузок. Построение эпюр от последних просто. Кроме того,
обычно ЭВС для отдельных внешних нагрузок приводятся в справочниках
конструктора.
Рассмотрим несколько типичных примеров для стержня длиной l3
(рис. 53–56).
1. Растяжение-сжатие (при растяжении N > 0, при сжатии N < 0)
Рис. 53. Типичные схемы растяжения-сжатия и их эпюры
2. Кручение (поворот против часовой стрелки – Мk > 0, по часовой –
Мk < 0)
3
Во всех случаях проще до построения эпюр развернуть стержень свободным концом
налево.
106
;
;
.
zzk z
M(z) M(0) M Если(z a;0;1),M (l) 0= −⋅ < =
zzk z
M(z) M(0) M Если(z a;0;1),M (0) 0= −⋅ < =
M(z) M(0) Q(0) z P (z a) Если(z a;0;1),M(l) 0, Q(l) 0= + ⋅−⋅ − ⋅ < = =
22
M(z) M(0) Q(0) z q z /2 q (z a) /2 Если(z a;0;1),
M(l) 0, Q(l) 0;
= + ⋅−⋅ +⋅ − ⋅ <
= =
M(z) M(0) Q(0) z M Если(z a;0;1),M(0) 0, Q(0) 0= + ⋅− ⋅ < = =
a
Эпюра М
P
Эпюра М
q
ql2/8
P(1 – a)a/l
a
Эпюра М
M(l – a)/l
Ma/l
Мk
Эпюра М
k
М
Мk М
k
a
Эпюра М
к
q
a
a
Эпюра М
qa2/2
М
Эпюра М
Pа
a
Эпюра М
М
Рис. 54. Типичные схемы кручения и их эпюры
;
.
3. Изгиб (эпюра М строится на растянутом волокне)
k
Рис. 55. Типичные схемы изгиба с жесткой заделкой и их эпюры
;
.
Рис. 56. Типичные схемы изгиба с шарнирной заделкой и их эпюры
107
M(z) M(0) Q(0) z P (z a) Если(z a;0;1),M(l) 0, M(0) 0= + ⋅−⋅ − ⋅ < = =
;
2
M(z) M(0) Q(0) z q z /2,M(l) 0, M(0) 0= + ⋅−⋅ = =
M(z) M(0) Q(0) z P (z a) Если(z a;0;1),M(l) 0, M(0) 0= + ⋅−⋅ − ⋅ < = =
вн
Q
вн
Q
1
AP
2
= ⋅ ⋅δ
AP= ⋅δ
δ
Р
А
;
.
При нагружении несколькими нагрузками эпюры от них складываются.
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ И РАБОТА ВНЕШНИХ СИЛ
Как известно из курса теоретической механики, в консервативных
системах вся работа внешних сил переходит в потенциальную энергию
деформации U. Последняя, исходя из принципа суперпозиции, получается
сложением составляющих от всех ВС (работой от поперечных сил Qx и Qy
обычно пренебрегают из-за ее малости), т. е.
U(
) = U(Mx) + U(My) + U(N) + U(Mk),
где
– обобщенный вектор внутренних сил.
Работа А внешней силы Р (рис. 57) на упругом перемещении δ равна
,
а от деформации, вызванной действием других сил, –
.
Рис. 57. К определению работы
108
Вид формулы для всех составляющих U(
вн
Q
2
l
вн
вн
0
Q
U(Q ) dz
2
Ж
= ⋅
∫
⋅
2
ll
вн
вн
00
1 N(z)
U(N) N(z) dw dz
2 2 EA
=⋅ ⋅= ⋅
∫∫
⋅
2
22 2
ll l l
y
xk
вн
00 0 0
xy
M (z)
N(z) M (z) M (z)
U(Q ) dz dz dz dz
2EA 2EJ 2EJ 2EJ
ρ
= ⋅+ ⋅+ ⋅+ ⋅
∫∫ ∫ ∫
) одинаков:
,
где Ж – жесткость (при изгибе это EJx, EJy; при кручении GJρ; при растяжении EA).
Вывод формулы очевиден. Например, при растяжении отрезка длиной
dz внутренней силой N(z) его удлинение по закону Гука
dw = N(z)вн · dz/(EA)
и, соответственно, при упругой деформации
В общем случае
где z – любая координата на стержне.
.
,
ИНТЕГРАЛ МОРА
Поставим задачу определения перемещения δ в некоторой точке и в не-
котором направлении. Приложим к свободному от внешних нагрузок стержню в этой точке в нужном направлении единичную силу (если хотим найти
109
линейное перемещение) или единичный момент (если хотим найти угол по-
Q
вн
QQ
22 2
ll
вн вн вн
1
00
2
2
l
вн
0
(Q Q) Q 2 Q Q Q
U dz dz
2 Ж 2Ж
ll
(Q )
QQ
(Q)
вн
dz dz dz
2 Ж Ж 2Ж
00
+ +⋅ ⋅ +
= ⋅= ⋅=
∫∫
⋅⋅
⋅
= ⋅+ ⋅+ ⋅
∫ ∫∫
⋅⋅
2
2
2
ll
(Q )
(Q)
вн
U dz dz 1
2 Ж 2Ж
00
= ⋅+ ⋅+⋅δ
∫∫
⋅⋅
12
UU=
l
вн
0
QQ
dz
Ж
⋅
δ= ⋅
∫
l l ll
y,вн y ,1 кр,вн кр ,1
x,вн x,1 x,вн x,1
0 0 00
xy
MM M M
MM NN
dz dz dz dz
EJ EJ EA GJ
ρ
⋅⋅
⋅⋅
= ⋅+ ⋅+ ⋅+ ⋅
∫ ∫ ∫∫
⋅⋅⋅ ⋅
ворота) и определим
от действия
+
от этой силы. Потенциальную энергию деформации
можно вычислить двумя способами:
1) при одновременном приложении нагрузок
;
2) при приложении сначала единичной нагрузки, а потом всех вешних
сил
.
Приняв принцип суперпозиции и считая систему консервативной,
можно утверждать, что
. После преобразования получаем инте-
грал Мора4
=
где δ – определяемое перемещение.
,
4
В формуле составляющие ВС от единичной силы отмечены индексом 1.
110