Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Основные вопросы. Учебное пособие.pdf
В сечении имеют место касательные напряжения
zy
(z,y)τ
0)l(M,0)l(v,0)0(M,0)0(v
xx
====
0)l(M,0)l(Q,0)0(,0)0(v
x
===ϕ=
0)l(M,0)l(v,0)0(,0)0(v
x
===ϕ=
0)l
(,0
)l(
v,0
)0
(
M,
0)0(
v
x
=ϕ=
==
0)l(,0)l(v,0)0(,0)0(v =ϕ==ϕ=
0
)l
(
M),
l(
Q)l(vC,0
)0
(,
0
)0
(
v
x
=−
=⋅
=ϕ
=
0)l(,0)l(v,0
)0(
M),0(Q)0(vC
x
=ϕ===⋅
N(z) 0=
xx
v(0) 0, M (0) 0, v(l) 0,M (l) 0= = = =
W(0) W(l) 0= =
N(0) const 0= ≠
. Ниже мы
рассмотрим их приближенное вычисление и, соответственно, расчет на
прочность.
Варианты граничных условий для поперечного изгиба прямого
стержня:
;
;
;
;
;
;
Заметим, что отсутствие продольных нагрузок еще не гарантирует
, т. е. условия задачи. Необходима еще подвижность одной из
опор вдоль оси стержня. Например, если в первом примере сделать неподвижной правую опору, то поскольку при изгибе меняется длина стержня,
к граничным условиям
вить
, откуда найти
.
нужно доба-
.
71
В общем случае задача решается только численно. Приближенно
l
0
NQ
dw N(0) Q(z) (z)
W(l) 0 dz
dz EA EA
− ⋅ϕ
− ⋅ϕ
= ⇒== ⋅
∫
Q0≠
*
zy
A
Q dx dy= τ⋅ ⋅
∫∫
dz
b*
τ
zy
A
*
τ
yz
dz
z
z
Z
∂
∂
+
σ
σ
σ
z
τ
zy
X
Y
y
τ
yz
zy
τ
можно найти N(0) из
.
На практике при изгибе часто ограничиваются решением задачи прямого поперечного изгиба и не учитывают особенности осевого закрепления, потому что разница нормальных напряжений не существенна.
Перейдем к оценке касательных напряжений при прямом поперечном
изгибе. Их возникновение обусловлено
и тем, что
.
КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПО ЖУРАВСКОМУ
На практике пользуются приближенным решением задачи, предложенной Н. Н. Журавским.
Рассмотрим равновесие части стержня (рис. 33), выделенной двумя
бесконечно близкими сечениями и горизонтальной плоскостью на расстоянии y от главной центральной плоскости ХOZ. Площадь верхней части
сечения обозначим А*, ширину сечения b*.
Рис. 33. К определению касательных напряжений
при поперечном изгибе
72
Составим уравнение равновесия этой части относительно оси Z. По за-
zy yz
τ=τ
z
dz
z
∂σ
⋅
∂
yz
(x,y)−τ
**
z
yz
А b dz
dzdxdy dxdz
z
∂σ
= τ
∫∫ ∫∫
∂
*
*
z
А
(y) b dz
yz
dzdxdy
z
⋅⋅
∂σ
= τ
∫∫
∂
zx x
xx x
M y dM y
( y) Q
z z J J dz J
∂σ ∂
= ⋅= ⋅ = ⋅
∂∂
**
yz
xx
АА
1y Q
(y) Q dz dxdy ydxdy
J b* J
dz b
∗
τ = ⋅⋅ ⋅ = ⋅
∫∫ ∫∫
⋅
⋅
( ) ( ) ( )
*
yz x zy
*
x
y
Q
τ Sy τ y
bJ
=⋅=
*
x
S
A*
ydxdy
∫∫
b y x
h
c
*
кону парности касательных напряжений
на на верхнюю часть, помимо
, действует касательное напряжение
и третьему закону Ньюто-
, тогда условие равновесия верхней части запишем как
.
Предполагаем (приближенно) равномерное распределение τzy по x.
Тогда
.
Учтем, что
.
Из условия равновесия верхней части сечения получаем
.
,
где
=
– статический момент отсеченной части А* площади
поперечного сечения относительно оси X; y – координата (рис. 34).
Рис. 34. Поперечное сечение
при поперечном изгибе
73
Поскольку ось X является центральной, то при у = 0
*
x
S
yz
0
τ=
*
bb=
* 22
x
h 1h b h
S b ( y) ( y) [( ) y ]
2 22 2 2
=⋅−⋅⋅+=⋅ −
2
*
x max
bh
S
8
⋅
=
3
x
bh
J
12
⋅
=
yz
3Q
max
2bh
τ=⋅
⋅
**
zmax x max max
x
σ,τ
* **
zymax
xc
σ M by by
M
K,
τQ
QS Аy
⋅⋅ ⋅
= = = ⋅
⋅⋅
*
c
y
σz τ
zy
(у = 0) – мак-
симально. Таким образом, при изгибе касательные напряжения максимальны в точках, лежащих на оси X, и убывают до нуля по мере приближения к поверхности тела, где по третьему закону Ньютона
Например, для прямоугольного сечения
и
,
,
,
,
т. е. в 1,5 раза больше среднего касательного напряжения от поперечной
силы.
Характер распределения нормальных и касательных напряжений в сечении представлен на рис. 35.
.
Рис. 35. Эпюры нормальных и касательных напряжений
при поперечном изгибе
Оценим величину максимальных касательных напряжений в сравнении с максимальными нормальными в том же сечении:
где
– расстояние от оси X до центра тяжести полусечения.
74
Очевидно, что
*
max
x
*
by
M
l, 1
Q
A
⋅
≈≈
,
*
c
l
y
K
στ
≈
,Kστ
x
Мl
Q
2
=
max
**
max c
hh
b b, y , А b y , y
24
∗
===⋅=
max
zy
3Q
τ
2A
= ⋅
σ,τ
l
K2
h
=
Р
Q
P/2
Pl/4
M
x
то есть
,
.
Таким образом, для стержней получаем K
В качестве примера (рис. 36) вычислим
нагруженной в центре силой Р, в которой
Рис. 36. Схема поперечного изгиба:
>> 1.
σ,τ
для шарнирной балки,
.
прямолинейный стержень на шарнирах
с сосредоточенной силой посередине
Для прямоугольного сечения
,
75
,
.
Для круглого сечения
bd=
max
d
y
2
=
2
*
d
A
8
π⋅
=
*
c
2d
y
3
⋅
=
⋅π
max
zy
Q
4
τ
π
A
= ⋅
,
l
K3
d
στ
= ⋅
*
x
S
σ,τ
l
K 0,8
h
≈
zmax
3
2
zmax
2
q b l l h/2
σ ,
2 bh / 12
σ
l
3 1, если l h.
q
h
⋅ ⋅⋅⋅
=
⋅
= >> >
b
l q h
,
,
,
,
,
.
Для двутавра, у которого для уменьшения веса, при той же прочности, удалена часть металла в средней части сечения (
в справочнике),
.
приводится
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
Оценим напряженное состояние и рассмотрим соотношение σy/σz.
Ограничимся оценкой влияния поверхностных сил на примере призмы
прямоугольного сечения (рис. 37), защемленной одним концом и нагруженной равномерным давлением q по продольной поверхности.
прямолинейный стержень с защемленным концом слева
Наибольшее нормальное напряжение в опасном поперечном сечении:
Рис. 37. Пример поперечного изгиба:
и распределенной нагрузкой по поверхности
76
Но при этом будут также возникать и нормальные напряжения в про-
2
z
2
y
σl
3
σ
h
≥
xy
yz
zx zy z
0 0 τ
σ 0 0 τ
τ τ σ
=
22 2
1 z 2 zx zy 3
J
σ , J τ τ τ , J 0= =−− =− =
32
1 23
J JJσ − ⋅σ + ⋅σ−
( ) ( )
2
2
zz
2,3
σσ
στ
24
=±+
2
2 22
z
экв 1 3 z
σ
σ σσ 2 τ σ 4
4
= − = + = +τ
дольных сечениях σу, которые максимальны на поверхности, где σу = q.
Следовательно,
.
Очевидно, что даже при l > 5h учет σу (а значит и σх) уже нецелесооб-
разен.
Матрица напряжений в любой точке стержня при прямом поперечном
изгибе в главных центральных осях сечения имеет вид
.
Следовательно,
(плоское (двух-
осное) напряженное состояние), и корни характеристического уравнения
будут равны
σ
Так как знаки σ
σ2 = σ
, а σ3 = σ
(1)
= 0,
(1)
и σ
(2)
. Во всех точках стержня имеет место двухосное напря-
(3)
разные, то главные напряжения σ1 = σ
(3)
.
,
(2)
женное состояние.
По 3-й гипотезе (максимальных касательных напряжений)
.
77
По 4-й гипотезе
22
экв z
σ σ3
= +τ
xx
xx
max M мах M
[ ] max y
JW
σ≥ ⋅ =
x
x
J
W
max y
=
( )
*
x
x
max Q
S0
*
b (0) J
[]
2
⋅
⋅
σ
≥
*
x
S (0)
.
Для относительно длинных стержней касательными напряжениями
можно пренебречь даже для тонкостенных профилей
.
Геометрическая характеристика
называется моментом
сопротивления при изгибе и для стандартных сечений приводится в справочниках.
Для коротких стержней дополнительно следует вести расчет по касательным напряжениям на оси. Например, по 3-й гипотезе
.
Значение
для стандартных сечений приводится в справочниках.
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 6
1. Какую задачу относят к задаче на прямой поперечный изгиб?
2. Как выглядит система дифференциальных линейных уравнений
при прямом поперечном изгибе прямого стержня?
3. Запишите уравнения поперечных сил, изгибающих моментов, уг-
лов поворота и прогибов для разных схем нагружения в задачах на прямой
поперечный изгиб.
4. Как на эпюре поперечных сил отображается действие от распреде-
ленных и сосредоточенных нагрузок?
78
5. Как на эпюре изгибающих моментов отображается действие от
распределенной и сосредоточенной нагрузок или от сосредоточенного
момента?
6. В каких случаях эпюра имеет экстремум?
7. По какой формуле определяется нормальное напряжение в стержне
задачи на прямой поперечный изгиб?
8. По какой формуле определяется касательное напряжение в стержне
задачи на прямой поперечный изгиб?
9. Приведите варианты граничных условий для поперечного изгиба
прямого стержня.
10. Как выглядят эпюры нормальных и касательных напряжений при
поперечном изгибе?
11. Каково соотношение между величиной максимальных касатель-
ных напряжений в сравнении с максимальными нормальными напряжениями в том же сечении?
12. Каким образом осуществляется расчет на прочность задачи на
прямой поперечный изгиб?
79
Тема 7. ПРИМЕР МОДЕЛИРОВАНИЯ НАПРЯЖЕННОГО
z
M0≠
z
(z)τ
z
M (z)
(z)γ
z
M (z)
кi
L
кi
m
z
(z)τ
z
M
γ
И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЙ ПРИ КРУЧЕНИИ СТЕРЖНЯ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим моделирование напряженного и деформированного состояний в прямом стержне при кручении, т. е. когда из всех внутренних
сил только
. Примеры2: валы турбореактивного, турбовинтового
и турбовентиляторного двигателей.
Сечение по-прежнему будем считать плоским, что справедливо для
круглых сечений и приближенно справедливо для некруглых. Для последних в практических расчетах (в курсе «Детали машин») вводят поправочные коэффициенты для вычисления максимальных напряжений и эффективного полярного момента инерции.
Очевидно, что при кручении в сечении возникают касательные
напряжения
ции
и поворот сечения φz(z) от взаимного сдвига сечений. Появление
от крутящего момента
, угловые деформа-
этих изменений является следствием действующих внешних нагрузок на
определенным образом закрепленный стержень.
Крутящий момент
иногда принято обозначать Мz(z) = Мк(z).
Ограничимся, как и при моделировании растяжения-сжатия, сосредоточенными крутящими моментами
[Н·м, Н·мм] и погонными крутя-
щими моментами
[Н], постоянными по величине на длине их дейст-
вия. Примеры сосредоточенного момента – крутящий момент от зубчатого
колеса, момент от одного ряда лопаток турбины. Примеры распределенного момента – момент от нескольких рядов лопаток.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Необходимо записать четыре (по числу параметров:
,
(z),
(z), φz(z)) уравнения связи неизвестных функций от z.
Уравнение равновесия получим, рассмотрев равновесие элемента dz
(рис. 38).
2
В реальных конструкциях чистое кручение валов практически не реализуется. Как
минимум, вал еще и сжимается, а в зубчатых редукторах и изгибается. Прочность в этих случаях рассмотрим далее.
80