Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Основные вопросы. Учебное пособие.pdf
Находится ряд критических значений
i
α
сж
Tкр
σ>σ
и соответствующих форм
потери устойчивости. Формы потери устойчивости вычисляются как относительные перемещения (одно из перемещений узлов принимается равным единице) при заданных критических нагрузках. В частном случае,
прикладывая одну нагрузку, находим ряд ее критических значений и соответствующих форм потери устойчивости.
Расчет при
в современных пакетах МКЭ не реализуется.
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 10
1. В чем заключается особенность задачи продольно-поперечного из-
гиба?
2. Какую силу называют критической?
3. Запишите формулу определения критической силы и граничных
условий для типичных схем нагружения и закрепления.
4. Каким образом осуществляется расчет на прочность при продольно
поперечном изгибе?
5. Какой смысл несет коэффициент приведения длины, входящий
в формулу Эйлера?
6. Что такое гибкость стержня?
7. Запишите и объясните смысл формулы Ясинского.
8. Что означает коэффициент снижения допускаемых напряжений?
9. По какой формуле определяются минимальные критические на-
пряжения при осевом сжатии?
10. По какой формуле определяется критическое давление при рав-
номерном внешнем давлении?
11. В чем заключается особенность расчета критических сил методом
конечных элементов?
131
Тема 11. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ
ϕ
−=
dz
dv
EA
QN
dz
dw
ϕ⋅
−
=
z
q
dz
dN
−
=
y
q
dz
dQ
−
=
QN
dz
dM
x
+ϕ⋅=
x
x
EJ
M
dz
d=ϕ
zizii1i
zi
zi
i1i
z
PzqNN)
z
P
q(
z
NN
q
dz
dN
−∆⋅−=⇒
∆
+−=
∆
−
⇒−=
+
+
z∆
zizii1i
Pzq
NN −∆⋅−=
+
z
EA
N
ww
i
i
i1i
∆⋅+=
+
yi
yii1i
PzqQ
Q −∆
⋅−=
+
iiiii1i
Lz)NQ(MM −∆⋅ϕ⋅++=
+
z
EJ
M
i
i
i1i
∆⋅+ϕ=ϕ
+
zvv
ii1i
∆⋅ϕ−=
+
(48)
(49)
И РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ СТЕРЖНЯ
Аналитические решения системы разрешающих уравнений (30) огра-
ничены частными случаями, сводящимися к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами:
,
,
,
,
,
.
Применение ЭВМ и численных методов интегрирования дифферен-
циальных уравнений позволяет решать задачу численно в самой общей
постановке. Ниже приводится алгоритм интегрирования методом Эйлера
в общедоступной среде MS Excel. Например:
.
Представим всю систему в дискретном виде с шагом интегрирова-
ния
:
,
,
,
,
,
.
132
Достаточная для технической теории стержней точность достигается
200/lz ≤∆
B C D E F G H I J K L M N О
1
Исходные данные
Вычисляемые параметры
2
zi q
P
P
Li Аi Ji Ni wi Qi Mi φi v
3 0 1 0 1 0 1 0
4
∆z … n (n-3)·∆z
…
103
100·∆z
1 …
202
l-∆z
203
l
)q;0;b3A(ЕСЛИ <=
b
q
z
при
. Создадим лист МS Excel в следующем виде (рис. 69).
zi
zi qyi
Рис. 69. Листинг решения задачи в MS Excel
yi
i
Таблицу «Исходные данные» (рис. 71) заполняем по правилам MS
Excel в соответствии с условиями задачи. Можно просто заполнить ячейки
вручную или сформировать соответствующую функцию и «протянуть» ее
до конца таблицы. Например, стержень до z = b не нагружен поперечной
нагрузкой, а при z > b поперечная погонная нагрузка равна q. Записываем
в ячейку D3 формулу:
. «Протягиваем» содержимое
ячейки D3 до конца таблицы. Столбец qyi заполнен.
Таблицу «Вычисляемые параметры» (рис. 69) заполняем в два прие-
ма. Сначала заполняем строку 3 (z = 0) начальных условий. Неизвестные
начальные значения параметров вносим произвольно, например, принимаем равными единице (рекомендуется выделить эти ячейки серым цветом).
Рис. 70. Схема нагружения рассматриваемой
в MS Excel задачи
133
На рис. 69 приведен пример заполнения ячеек для шарнирно непо-
движной опоры на левом конце (рис. 70). Значения, подлежащие определению из граничных условий, выделены рамкой и цветом. В ячейки строки 4 записываем формулы (49) и «протягиваем» до конца соответствующего столбца таблицы. Например:
– в ячейку J4
=J3–С3*∆z–D3,
– в ячейку M4
=M3+(L3+(J3*N3)*∆z–G3,
– в ячейку N4
=N3+M3/($A$8*I3)*∆z и т. д.
Константы берем из столбца А шаблона (рис. 71).
Рис. 71. Исходные данные
для решения задачи в MS Excel
134
Константы, например ∆z, Е, записываются в виде конкретных чисел
или ссылками на некоторые ячейки. Если значение модуля упругости Е
занесено в ячейку A8 и постоянно по длине стержня, значение ∆z внесено
в A6, а момент инерции сечения – в столбец I и может изменяться по
длине стержня, то последняя формула будет записана как
=N3+M3/($A$8*I3)*$A$6.
Знак $ появляется автоматически после выбора нужной ячейки с помощью мыши и нажатия клавиши управления F4.
Для вычисления неизвестных начальных параметров используем процедуру «Поиск решения». Процедура вызывается нажатием кнопок «Сервис» → «Поиск решения» и позволяет численно решить систему уравнений граничных условий, т. е. подобрать неизвестные начальные параметры из условий на правом конце стержня. Например, для стержня на рис.
70 необходимо изменять значения в ячейках J3, L3, N3 (неизвестно N(0),
Q(0) и φ(0)) и добиваться равенства нулю значений в ячейках O203, K203,
N203 (прогиб, горизонтальное перемещение и угол поворота на правом
конце стержня). Пример заполнения таблицы «Поиск решения» представлен на рис. 72.
Рис. 72. Команда «Поиск решения» в МS Excel для рассматриваемой задачи
135
Одно из условий – на правом конце стержня – формулируется как це-
левая ячейка, а остальные – как ограничения.
После нажатия кнопки «Выполнить» решается поставленная задача,
и в изменяемых ячейках появляются значения, соответствующие заданным граничным условиям. Столбцы параметров заполнены искомыми
значениями с шагом ∆z.
Для анализа результатов целесообразно построить графики парамет-
ров. Для этого выделяем столбец z и столбец соответствующего параметра
и используем процедуру «Мастер диаграмм».
Алгоритм реализуется при неоднородных граничных условиях и для
стержневых систем. Рассмотрим примеры.
Пример 1
Стержень имеет одну или несколько промежуточных опор. Неизвест-
ные реакции опор добавляем к внешним силам, а соответствующие ячейки – к изменяемым ячейкам. Также добавляем необходимые ограничения.
Теперь при выполнении процедуры «Поиск решения» дополнительно вычисляются реакции промежуточных опор, величины которых автоматически учитываются при определении внутренних сил и перемещений.
Например, для учета промежуточной опоры в середине стержня дополнительно назначаем изменяемой ячейку $F$103 (Рy – вертикальную силу,
действующую в опоре на стержень) и добавляем в «Поиск решения» ограничение $O$103=0.
Пример 2
Промежуточная (или концевая) опора упругая податливостью δ5.
В сравнении с предыдущим случаем изменяется добавляемое ограничение
$O$103=–δ*$F$103,
так как положительное перемещение вызывает отрицательную силу.
5
Податливость – перемещение от силы, равной единице.
136
Пример 3
1n
n
QN
+
=
1
nn
v
w+=
1nn
NQ
+
−=
1nn
MM+=
1
nn +
ϕ
=
ϕ
1nn
wv
+
−=
V
Vn W
Q
N
Q
N
W
Ось стержня в конкретной точке изогнута под некоторым углом
(рис. 73). Ограничимся рамами, т. е. изгибом под прямым углом.
n
n
n+1
n+1
n
n+1
n+1
Рис. 73. Нагрузки и перемещения стержня,
изогнутого под 90°
Пусть точка изгиба расположена между точками n и n+1. Тогда в этих
точках продольная сила переходит в поперечную силу, продольное перемещение – в поперечное перемещение, углы поворота и моменты равны.
В частности, при повороте по часовой стрелке получаем:
,
,
,
,
,
.
В нашей таблице вычисляемых параметров в строке n + 1 изменяем
только формулы в шести ячейках (например, n = 90):
в ячейке L91 → = J90,
в ячейке O91 → = K90,
в ячейке J91 → = –L90,
в ячейке M91 → = M90,
в ячейке N91 → = N90,
в ячейке K91 → = –O90.
Пример 4
Определение критической силы или критической погонной нагрузки
по Эйлеру.
Величина сжимающей силы, критическое значение которой подлежит
определению (Pz в стержне, Pz или Py в раме), или сжимающей погонной
нагрузки (qz в стержне, qz или qy в раме) считаются изменяемым парамет-
137
ром, соответствующая ячейка – изменяемой ячейкой. Вводится дополни-
Ai
Yj
Yj
Ai
Xj
Xj
j
j
i,j
z
X
J
M
Y
J
M
A
N
⋅−⋅+=σ
тельное ограничение: значение максимального прогиба в k раз больше соответствующего значения при нулевой величине изменяемого (критического) параметра. Процедура «Поиск решения» дополнительно находит
критическое значение нагрузки. Практически можно с удовлетворительной точностью использовать значение k = 25.
В задачах нужно найти силу Pz, которая вызывает сжатие стержня,
найти максимальный прогиб стержня при Pz = 0 и, увеличивая модуль силы, добиться увеличения максимального прогиба в k раз. Найденное Pz –
критическая сила. Эту задачу есть шанс решить аналитически. Эту же задачу при поиске qкр можно решать только численно. Однако предварительный анализ задачи необходим, так как задача существенно не линейна. «Поиск решения» даст результат только при начальном приближении,
близком к искомому.
Пример 5
Определение допустимой нагрузки из условия прочности или жест-
кости.
В каждой i-й опасной точке и на каждом шаге вдоль оси z вычисля-
ются эквивалентные напряжения. Без учета кручения формула напряжений имеет вид
.
Находится максимальное по модулю напряжение и сравнивается с до-
пустимым, вычисляется запас прочности. Если он и вычисленные перемещения удовлетворяют заданным значениям, то все нагрузки допустимы.
Если ответ отрицательный, то из заданных нагрузок выбирается та,
которой можно варьировать (указываются пределы варьирования), и она
объявляется изменяемой. В ограничение добавляется заданное условие
прочности или жесткости. Если «Поиск решения» находит приемлемое
число, то это – ответ. Иначе задача не имеет решения при заданных условиях, и можно перейти к следующей.
138
Пример 6
k
k
m
,
L
kz
M,ϕ
)
W
MMM
max(][
Xj
2
zj
2
yj
2
xj
++
≥σ
)
W
M75,0MM
max(][
Xj
2
zj
2
yj
2
xj
++
≥σ
Подбор сечения. Задача решается аналогично предыдущей. Но выбираются размеры, которыми можно варьировать, соответствующие ячейки
в ГХС объявляются изменяемыми. Особенность MS Excel в том, что изменяемые ячейки и ограничения должны быть на том листе, с которого вызывается «Поиск решения».
Если необходимо добавить кручение стержня, то нужно просто добавить два столбца для крутящих нагрузок
ния
. Вычисляются эквивалентные напряжения с учетом кручения
и два столбца вычисле-
по 3-й гипотезе прочности
или по 4-й гипотезе
.
Добавляются соответствующие ограничения в «Поиск решения».
Несколько сложнее автоматически подбирать сечение из стандартного ряда (например, швеллер, двутавр и т. д.). Здесь целесообразно последовательно изменять в нужном направлении номер сечения из стандартного ряда (например, номер строки в ссылке на таблицу из ГОСТ), если
условие прочности не удовлетворяется. MS Excel это допускает.
В любом математическом пакете есть функции, позволяющие целенаправленно менять адрес ячейки. Однако в МКЭ ввиду огромного объема
вычислений это практически невозможно, а MS Excel это позволяет сделать достаточно легко, по этой причине применение MS Excel и рассматривается в данном курсе.
139
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 11
1. Запишите аналитические решения системы разрешающих уравне-
ний плоского изгиба и растяжения прямого стержня в виде дифференциальных уравнений.
2. Запишите аналитические решения системы разрешающих уравне-
ний плоского изгиба и растяжения прямого стержня в дискретном виде.
3. Каким образом заполняются таблицы «Исходные данные» и «Вы-
числяемые параметры» в MS Excel?
4. Поясните принцип работы «Поиск решения» в MS Excel.
5. Как построить графики в MS Excel?
6. Как изменится процедура «Поиск решения» в MS Excel, если стер-
жень имеет одну или несколько промежуточных опор?
7. Как изменится процедура «Поиск решения» в MS Excel, если ось
стержня в конкретной точке изогнута под некоторым углом?
8. Как изменится процедура «Поиск решения» в MS Excel, если необ-
ходимо определить допустимую нагрузку из условия прочности или жесткости?
9. Как изменится процедура «Поиск решения» в MS Excel, если необходимо подобрать поперечное сечение?
10. Назовите основные преимущества MS Excel при решении задач
по сопротивлению материалов.
140