Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Основные вопросы. Учебное пособие.pdf
Q
Тема 5. ПОЛНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЛОСКОГО ИЗГИБА
z
qq=
y
q
x
ϕ
xz
τ
Рис. 31. Положение элемента стержня до и после нагружения
q
Мx+dM
Y
Q+dQ
N
v+dv
v
w
dz
z
dz
Z
1
Z
ϕ
В
В
А
w+dw
N+dN
Qz
1
М
x
q
Y
1
x
Q
И РАСТЯЖЕНИЯ (СЖАТИЯ) ПРЯМОГО СТЕРЖНЯ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ПАРАМЕТРЫ
Выше (см. тему 4) мы построили математическую модель и проанализировали частный случай нагружения прямого стержня только продольной нагрузкой
(растяжение-сжатие). Рассмотрим более общую по-
становку задачи – плоский изгиб и растяжение-сжатие.
Задача решается в главных центральных осях. При этом в отличие от
предыдущей задачи, стержень нагружен поперечной погонной нагрузкой
и внутренние силы Mx и Qy не равны нулю. Соответственно допол-
нительно имеют место перемещения v оси вдоль оси y, поворот относительно оси x –
и касательные напряжения
в поперечном сечении.
Вычисление последних через внутренние силы – сложная задача и будет
рассмотрена приближенно далее. Пока ограничимся построением математической модели связи внутренних сил и перемещений. Основные параметры вычисляются в исходных главных центральных осях.
1
y
z
Y
1
x
Параметры задачи (рис. 31) – шесть неизвестных функций от координаты сечения:
1) продольная сила N(z),
61
2) поперечная сила Q(z),
x
(z) (z)
ϕ=ϕ
z z1 1
q dz q dz⋅= ⋅
y y1 1
q dz q dz⋅= ⋅
z
N q dz (N dN) 0,−+ ⋅ − + =
z
dN q dz.=−⋅
y
Q q dz (Q dQ ) 0,−+ ⋅ − + =
y
dQ q dz.=−⋅
3) изгибающий момент Mx(z),
4) продольное перемещение w(z),
5) поперечное перемещение v(z),
6) угол поворота сечения относительно оси x
,
появление которых является следствием действующих внешних нагрузок на определенным образом закрепленный стержень. В схеме приложения нагрузок две погонные нагрузки qy и qz. Очевидно, что внешняя
нагрузка на отрезок до и после нагружения и деформации не меняется
и будет равна
,
.
В частных случаях они вырождаются в сосредоточенные продольную
силу Pz , поперечную силу Py и момент Lx.
УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
Проектируем силы, действующие на отрезок dz1, на оси координат
(рис. 31) и рассматриваем момент сил относительно точки В1. Пренебрегаем бесконечно малыми второго порядка малости.
Проекцию продольной силы на ось Z обозначаем N (как при растяжении-сжатии):
(23)
Проекцию поперечной силы на ось обозначаем Q:
(24)
62
Сумма моментов сил равна
x 1y 1z x x
dz dz
M (Q dz q dz ) cos (N dz q dz ) sin M dM 0,
22
− − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ϕ− ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ϕ+ + =
x1
dM (Q cos N sin ) dz .= ⋅ ϕ+ ⋅ ϕ ⋅
x
x
M
d dz
EJ
ϕ= ⋅
z1 1
z1
Q dz dz
EE
A dz
−
σ= =ε ⋅ = ⋅
z1
Q N cos Q sin= ⋅ ϕ− ⋅ ϕ
z1
Q
1
N cos Q sin
dz (1 (1 ) dz
EA
⋅ ϕ− ⋅ ϕ
=++ ⋅
⋅
(25)
Получаем три уравнения равновесия в неподвижной системе коор-
динат.
ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
При схематизации деформаций в главных центральных осях получено
. (26)
В соответствии с законом Гука
. (27)
С другой стороны, Qz1 есть сумма проекций N и Q на оси Z1 (рис. 31):
. (28)
Исключая
из (27) и (28), получаем
, (29)
где Е – модуль Юнга.
63
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЛОСКОГО ИЗГИБА И РАСТЯЖЕНИЯ
1
dz
dv N cos Q sin
(1 ) sin
dz E A
⋅ ϕ− ⋅ ϕ
=−+ ⋅ ϕ
⋅
N cos Q sin
dw
(1 ) cos 1
dz E A
⋅ ϕ− ⋅ ϕ
= + ⋅ ϕ−
⋅
dN
dz
y
dQ
q
dz
= −
x
dM
N cos Q sin
(N sin Q cos ) (1 )
dz E А
⋅ ϕ− ⋅ ϕ
= ⋅ ϕ+ ⋅ ϕ ⋅ +
⋅
x
x
M
d
.
dz EJ
ϕ
=
(30)
ПРЯМОГО СТЕРЖНЯ ПРИ БОЛЬШИХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ
Исключая из (23)…(26)
по (29), получаем систему дифференци-
альных уравнений (30) для определения параметров v, w, ϕ, N, Q, Mx.
,
,
q
= −
z
,
,
Система шестого порядка не линейна, содержит трансцендентные выражения и не имеет решений в элементарных функциях.
Шесть граничных условий для конкретной задачи всегда формулируются, так как при любом закреплении концов стержня на каждом известны по три условия:
− жесткое закрепление: v = 0, w = 0, ϕ = 0;
− шарнирно-неподвижное закрепление: Mx = 0, v = 0, w = 0;
− шарнирно-подвижное закрепление: Mx = 0, v = 0, N = 0;
− свободный конец: Mx = 0, Qy = 0, N = 0 и т. д.
Система дифференциальных уравнений записана в каноническом виде, не требующем предварительного преобразования для численного интегрирования.
64
После решения системы вычисляем нормальные напряжения
x
z
x
N cos Q sin M (z)
(z, y) y,
AJ
⋅ ϕ− ⋅ ϕ
σ= + ⋅
x
J
cos 1,ϕ=
tg sinϕ= ϕ=ϕ
N (E
А)
y
Q (EА)
N (E
А)
y
Q (EА)
dv
dz
= −ϕ
NQ
dw
dz EA
− ⋅ϕ
=
z
dN
q
dz
= −
y
dQ
q
dz
= −
x
dM
NQ
dz
= ⋅ϕ+
x
x
M
d
dz EJ
ϕ
=
y
q (z)
zz
q q (z)=
(31)
где А и
– геометрические параметры сечения.
МОДЕЛЬ ПЛОСКОГО ИЗГИБА И РАСТЯЖЕНИЯ ПРЯМОГО СТЕРЖНЯ
ПРИ МАЛЫХ ПРОГИБАХ
При малых углах поворота сечений ϕ принимаем
.
Для многих материалов величины
и
много меньше
единицы. Например, для стали, в пределах прочности, значения нормальных и касательных напряжений N/А, Qy/А не могут превышать 2000 МПа
[1], а модуль нормальной упругости (модуль Юнга) Е ≈ 200000 МПа. Таким образом,
и
< 0,01.
C учетом сказанного, система дифференциальных уравнений (24)
упрощается и принимает вид
,
,
,
,
.
,
В общем случае нагружения и закрепления система не линейна, может
содержать переменные коэффициенты (при переменном сечении А = А(z)
и Jx = Jx(z)) и кусочно-непрерывные функции в правой части (qy =
,
), т. е. в общем случае не имеет аналитического решения.
65
Численное решение возможно всегда. Представим систему (31), для
zz∆=δ
i 1 i zi zi
N N q zP
+
= − ⋅∆ −
i ii
i1 i
i
NQ
ww z
EA
+
− ⋅ϕ
= + ⋅∆
⋅
i 1 i yi yi
Q Q q zP
+
= − ⋅∆ −
i1 i i i i i
M M (Q N ) z L
+
= + + ⋅ϕ ⋅∆ −
i
i1 i
i
M
z
EJ
+
ϕ =ϕ + ⋅∆
⋅
i1 i i
vv z
+
= −ϕ ⋅∆
z∆
zi yi i i
q ,q ,A ,J
r r1
0 1 r1 r
a a ... a a 0
−
−
⋅α + ⋅α + + ⋅α+ =
(32)
простоты, в дискретном виде с шагом интегрирования
по методу
Эйлера:
,
,
,
,
,
.
Численное решение интегрированием организуется аналогично рассмотренному для растяжения, т. е. с достаточно малым шагом
ными значениями
, каждое последующее значение искомых
с задан-
функций вычисляется по (32).
Начальные (нулевые) значения определяются из условия удовлетворения заданным граничным условиям. Для улучшения сходимости к точному решению метод Эйлера может быть заменен более мощными методами Рунге – Кутта 3-го или 4-го порядка.
В сопротивлении материалов рассматриваются частные случаи
нагружения стержня, допускающие аналитическое решение. Последнее
возможно для линейной системы уравнений порядка r с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение которой
имеет решение в квадратурах. Для соответствующих дифференциальных
уравнений в справочниках, например в [1], приводится решение.
66
Рассмотрим частные случаи плоского нагружения стержней, имею-
xy
vM Q 0ϕ= = = =
y
q0=
⇒
z
dN
q
dz
= −
dw N
dz EA
=
2
z
2
dw q
EA
dz
= −
⇒
r2=
2
0α=
z
q N0= =
y
dQ
q
dz
= −
x
dM
Q
dz
=
x
x
M
d
dz EJ
ϕ
=
dv
dz
= −ϕ
4
y
4
q
dv
EJ
dz
=
⇒
r4=
4
0α=
3
3
dw Q J d v dv
dz EA A dz
dz
⋅ϕ
= =⋅⋅
z
q 0, N const P известно= = =±→
⇒
y
dQ
q
dz
= −
x
dM
PQ
dz
=− ⋅ϕ+
x
x
M
d
dz EJ
ϕ
=
dv
dz
= −ϕ
42
y
2
42
x
q
dv dv
k
EJ
dz dz
+⋅ =
2
x
P
k
EJ
= ±
⇒
r4=
42
P
0
EJ
α ± ⋅α =
3
2
3
dw J dv d v dv
(k )
dz A dz dz
dz
=⋅ ⋅+ ⋅
z
q N0= =
y
q q cv= −⋅
⇒
y
dQ
q
dz
= −
x
dM
Q
dz
=
x
x
M
d
dz EJ
ϕ
=
dv
dz
= −ϕ
4
y
4
q
dv c
EJ EJ
dz
+=
⇒
r4=
4
c
0
EJ
α+ =
4
c
4k
EJ
=
12
34
v(z) C sin kz shkz C sinkz chkz
C cos kz shkz C coskz chkz v(z).
=⋅⋅+⋅⋅+
+⋅⋅+⋅⋅+
щие аналитическое решение.
1. Растяжение-сжатие прямого стержня:
внешней нагрузке
характеристическое уравнение
,
.
2. Прямой поперечный изгиб прямого стержня:
,
характеристическое уравнение
Если нужно, то
,
,
⇒
.
.
3. Продольно-поперечный изгиб прямого стержня:
⇒
при
;
⇒,
,
;
,
,
характеристическое уравнение
Если нужно, то
4. Изгиб балки на упругом основании:
,
характеристическое уравнение
⇒
,
;
.
.
,
,
,
⇒
.
Решение данного уравнения по справочнику при обозначении
запишем в виде
;
67
Если характеристическое уравнение решено и найдены его корни
1r
...
αα
1r
zz
1r
y(z) C e ...C e y(z)
α⋅ α⋅
=⋅+⋅+
y(z)
12 r
C ,C ,...,C
, то общее решение системы имеет вид
.
Частное решение
ищем:
− методом вариации произвольных постоянных,
− в виде правой части,
− в виде определенного интеграла.
Произвольные постоянные
находим из граничных условий.
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 5
1. Какие внутренние силы возникают в задаче на плоский изгиб с рас-
тяжением?
2. Какие перемещения возникают в задаче на плоский изгиб с растя-
жением?
3. Запишите систему дифференциальных уравнений математической
модели плоского изгиба с растяжением прямого стержня в больших перемещениях.
4. Какие граничные условия можно записать в задаче на изгиб с рас-
тяжением?
5. По какой формуле вычисляется нормальное напряжение в задаче
на изгиб с растяжением?
6. Запишите систему дифференциальных уравнений математической
модели плоского изгиба с растяжением прямого стержня при малых перемещениях.
7. Как выглядит аналитическое решение задачи на растяжение (сжа-
тие) прямого стержня?
8. Как выглядит аналитическое решение задачи на прямой попереч-
ный изгиб прямого стержня?
9. Как выглядит аналитическое решение задачи на продольно-попе-
речный изгиб прямого стержня?
10. Как выглядит аналитическое решение задачи на изгиб балки на
упругом основании?
68
Тема 6. ПРЯМОЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ ПРЯМОГО СТЕРЖНЯ
y
dQ
q
dz
= −
x
dM
Q
dz
=
x
x
M
d
dz EJ
ϕ
=
dv
dz
= −ϕ
V
I II III IV
Q Q(0) P q (z b) q (z c) 0= − −⋅ − +⋅ − −
d
l
c
b
a
P
q
L
(33)
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
Задача решается при следующих ограничениях:
− условия закрепления и отсутствие продольных нагрузок исключают
появление продольной силы, т. е. N = 0;
− поперечные нагрузки приложены в плоскости одной из главных
осей.
При этом четыре уравнения из системы (31) образуют систему линей-
ных дифференциальных уравнений четвертого порядка (33) и могут быть
проинтегрированы последовательно, как это было сделано ранее при растяжении-сжатии.
,
,
,
.
Рис. 32. Схема нагружения поперечного изгиба
прямого стержня
Для примера на рис. 32 имеем:
69
;
22
V
I II III IV
(z b) (z c)
M M(0) Q(0) z P (z a) q q L
22
−−
= + ⋅ −⋅ − −⋅ +⋅ −
;
22 3
I II III
x
3
V
IV
z (z a) (z b)
M(0) z Q(0) P q
22 6
(0) / (EJ )
(z c)
q L (z d)
6
−−
⋅+ ⋅ −⋅ −⋅ +
ϕ=ϕ +
−
+⋅ − ⋅ −
23 3
I II
x
4 42
V
III IV
z z (z a)
M(0) Q(0) P
26 6
V V(0) (0) z / (EJ )
(z b) (z c) (z d)
q qL
24 24 2
−
⋅ + ⋅ −⋅ −
= −ϕ ⋅ −
− −−
− ⋅ ++ ⋅ − ⋅
M(0) V(0) 0; M(l) V(l) 0.= = = =
Q(0) и (0)ϕ
22
(l b) (l с)
0 Q(0) l P (l a) q q L
22
−−
= ⋅−⋅ − −⋅ +⋅ −
334
x
42
1 l (l a) (l b)
0 (0) l [Q(0) P q
EJ 6 6 24
(l с) (l d)
q L]
24 2
−−
=ϕ ⋅+ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ +
−−
+⋅ −⋅
x
z
x
M (z)
(y,z) y
J
σ= ⋅
(34)
;
при граничных условиях
Для отыскания неизвестных значений
подставляем
граничные условия в соответствующие формулы и получаем систему двух
линейных алгебраических уравнений
,
.
После решения системы (34) строим графики функций1, исследуем
их, вычисляем нормальные напряжения в стержне по формуле
.
Численное интегрирование проводим по общему алгоритму без учета
растяжения. Для этого обнуляем продольные нагрузки.
1
Подробно построение графиков внутренних сил при растяжении-сжатии и прямом
поперечном изгибе рассмотрено в [2].
70