Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Основные вопросы. Учебное пособие.pdf
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ОСИ И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ СЛОЖНОГО СЕЧЕНИЯ
ci ci ci
i х y xy
A,J ,J ,J
x ii
S aA= ⋅
∑
y ii
S bA= ⋅
∑
nn
ii ii
XY
i1 i1
cc
nn
ii
i1 i1
aA bA
SS
y ,x
AA
AA
= =
= =
⋅⋅
∑∑
= = = =
∑∑
c ci c ci
nn
22
X x iciY y ici
i1 i1
J (J (a y ) A ), J (J (b x ) A );
= =
= +− ⋅ = +− ⋅
∑∑
c ci
n
XY xy i c i c i
i1
J (J (a y ) (b x ) A ).
=
= +−⋅−⋅
∑
Любую фигуру (сечение) точно или приближенно можно предста-
вить как совокупность n простых фигур, для каждой из которых известно
положение центра тяжести и значения центральных моментов инерции.
ГХС – это интегралы по площади, т. е. сумма интегралов по составляющим площадям из простых фигур.
Выберем некоторые произвольные вспомогательные оси XOY, коор-
динаты центра тяжести i-той простой фигуры Сi, в которых обозначим bi
и ai. ГХС простой фигуры в собственных центральных осях, параллельных
вспомогательным, обозначим
(приводятся в справочни-
ках). Поскольку интеграл суммы равен сумме интегралов, то из (3)
,
.
Тогда координаты центра тяжести сечения С (xc,yc) во вспомогатель-
ных осях определяются как
. (5)
Аналогично в соответствии с (4) получаем центральные моменты
инерции сечения:
Полученные формулы (5)–(7) используются при практических расче-
тах ГХС.
21
(6)
(7)
Проиллюстрируем изложенное простым примером (рис. 9). Сечение
cc
11
c
1
2
11 1
33
44
xy
22
4
xy
a2см, b 2 см, A 9 см ,
36 63
J 18 см , J 4,5 см ,
36 36
36
J 4,5 см ;
72
= = =
⋅⋅
= = = =
⋅
= =
cc
22
c
2
2
22 2
33
44
xy
xy
a3см, b 5 см, A 24 см ,
46 64
J 72 см , J 32 см ,
12 36
J 0;
= = =
⋅⋅
= = = =
=
Y
Y
6 см
13 см
7 см
3 см
С
1
С
2
С
3
X xc Y
c
y
X
c
С
X
3 2 1
4
разобьем на три простые фигуры. Размеры для сокращения записей даны
в сантиметрах (очевидные размеры на рисунке не указаны).
c
Рис. 9. Сложное поперечное сечение
Исходные данные после выбора вспомогательных осей и разбиения
на простые фигуры:
фигура 1 (центр тяжести С1):
фигура 2 (центр тяжести С2):
22
фигура 3 (центр тяжести С3):
cc c
33 3
2
33 3
3 3 22
44 4
x y xy
a2см, b 9 см, A 18 см ,
66 66 6 6
J 36 см , J 36 см , J 18 см .
36 36 72
= = =
⋅⋅ ⋅
== == =−=−
с
2 9 3 24 2 18
y 2,47
см;
9 24 18
⋅+⋅ +⋅
= =
++
с
2 9 5 24 9 18
x 5,88 см
9 24 18
⋅+⋅ +⋅
= =
++
c
2 2 24
Х
J 18 (2 2,47) 9 72 (3 2,47) 24 36 (2 2,47) 18 138,7 см=+−⋅++−⋅++−⋅=
c
2 2 24
Y
J 4,5 (2 5,88) 9 32 (5 5,88) 24 36 (9 5,88) 18 401,8 см=+−⋅++−⋅++−⋅=
cc
XY
4
J 4,5 (2 2,47) (2 5,88) 9 0 (3 2,47) (5 5,88) 24 18
(2 2,47) (9 5,88) 18 34,7 см .
=+−⋅−⋅++−⋅−⋅−+
+− ⋅− ⋅ =−
α y
x
y
x
o
Результаты вычисления положения центра тяжести и центральных
моментов инерции сечения по формулам (5)–(7) в осях XcCYc:
;
;
ИЗМЕНЕНИЕ ГХС ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ
Пусть в некоторых осях xоy вычислены ГХС (рис. 10). Повернем оси
относительно исходных на некоторый угол α и проведем новые оси x
1
1
1оy1
;
.
Рис. 10. Поперечное сечение произвольной формы
при повороте осей
23
Координаты некоторой точки сечения в новых осях:
11
x x cos y sin , y y cos x sin
= ⋅ α+ ⋅ α = ⋅ α− ⋅ α
1
22
x1
AA
22
AA
22 2 2
x xy y
A
J y dx dy (y cos x sin ) dx dy
cos y dx dy 2 cos sin x y dx dy
sin x dx dy J cos J sin2 J sin ;
= ⋅⋅= ⋅ α−⋅α⋅⋅=
∫∫ ∫∫
= α⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ α⋅ α⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
∫∫ ∫∫
+ α⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ α− ⋅ α+ ⋅ α
∫∫
22
AA
A
11
xy 1 1
AA
22
A
22
AA
xy
xy
J x y dx dy (x cos y sin ) (y cos x sin ) dx dy
(cos sin ) x y dx dy
(sin cos ) ( y dx dy x dx dy)
JJ
J cos2 sin2 .
2
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ α+ ⋅ α ⋅ ⋅ α− ⋅ α ⋅ ⋅ =
∫∫ ∫∫
= α− α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
∫∫
+ α⋅ α⋅ ⋅⋅ − ⋅⋅ =
∫∫ ∫∫
−
= ⋅ α+ α
(8)
(9)
(10)
Соответственно ГХС в новых осях:
• осевой момент инерции относительно оси х1
• осевой момент инерции относительно оси у1
.
J x dx dy (x cos y sin ) dx dy
= ⋅⋅= ⋅ α+⋅α⋅⋅=
∫∫ ∫∫
y1
1
AA
22
cos x dx dy 2 cos sin x y dx dy
= α⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ α⋅ α⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
22 2 2
sin y dx dy J cos J sin2 J sin ;
+ α⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ α+ ⋅ α+ ⋅ α
∫∫ ∫∫
∫∫
y xy x
• центробежный момент инерции относительно осей х1у1
Очевидно, что если вычислять статические моменты поворотом от
центральных осей, то в ответе будет нуль. Также очевидно, что сумма моментов инерции не меняется при повороте осей.
24
ГЛАВНЫЕ ОСИ
xy
0
yx
2J
1
arctg
2 JJ
⋅
α= ⋅
−
ccсс
22
X x 0xу 0y 0
J J cos J sin2 J sin ;= ⋅ α− ⋅ α+ ⋅ α
c сс с
22
Y y 0xу 0x 0
J J cos J sin2 J sin .= ⋅ α+ ⋅ α+ ⋅ α
11
22 22
xXY yYX
J J cos J sin ; J J cos J sin= ⋅ α+ ⋅ α = ⋅ α+ ⋅ α
11
XY
xy
JJ
J sin2 .
2
−
= ⋅α
o
0
1 2 ( 34,7)
arctg 0,129 7,4
2 401,8 138,7
⋅−
α= ⋅ =− =−
−
Пусть после поворота осей центробежный момент инерции был равен
нулю. Соответствующие оси будем называть главными. В частном случае
главными являются оси, одна из которых – ось симметрии сечения. В общем случае главные оси получаем поворотом исходных осей на угол α0,
значение которого из (10):
. (11)
Главные моменты инерции сечения находим по формулам (8) и (9)
для поворота осей на угол α0:
(12)
(13)
Будем обозначать главные оси XOY, а главные центральные моменты
инерции JX, JY . Если исходные оси главные, то формулы для моментов
инерции при повороте от главных осей (поскольку центробежный момент
инерции равен нулю) равны:
;
Продолжим рассмотрение примера расчета сложного сечения (рис. 9)
с помощью формул (11)–(13).
Положение главных осей по (11):
25
.
Главные моменты инерции по формулам (12) и (13):
22
X
J 138,7 cos 0,129 34,7 sin(2 0,129) 401,8 sin 0,129 134,2= ⋅ −⋅ ⋅ + ⋅ =
22
Y
J 401,8 cos 0,129 34,7 sin(2 0,129) 138,7 sin 0,129 406,07= ⋅ +⋅ ⋅ + ⋅ =
сc
xy
J
сc
XY
xy
JJ
J sin 2
2
−
= ⋅α
u min
J
cc
u max x y umin
J JJJ=+−
cc
сc
x y u min
xy
J J 2J
J sin 2
2
+ −⋅
=± ⋅α
см4;
см4.
Определение
для несимметричных фигур (в справочнике не при-
водится) осуществляется по известному положению главных осей. Пользуемся формулой поворота от главных осей на известный угол α (приводится в справочнике для неравнобокого уголка, а для равнобокого, очевидно, α = 45о):
.
Для равнобокого уголка все необходимое есть в справочнике. Следует
только правильно определить знак α – поворот от главных осей к центральным осям.
Для неравнобокого уголка приводится только один главный момент
инерции –
. Второй определяем из условия постоянства суммы мо-
ментов инерции при повороте осей, т. е.
Формула преобразуется к виду
Знак в формуле легко находится по чертежу.
26
.
.
Алгоритм определения главных центральных
11
22
33
44
Cc Cc
Cc C c
Cc Cc
C c Cc
X x 5,88; Y y 2,47;
X x 3 2,88; Y 6 y 3, 53;
X 7 x 1,12; Y 6 y 3,53;
X 13 x 7,12; Y y 2,47.
=−=− =−=−
=− +=− =− =
=−= =−=
=− = =−=−
1
1
1 C 0 C1 0
1 C 0 C1 0
X X cos Y sin 5,53;
Y Y cos X sin 3,18.
= ⋅ α+ ⋅ α=−
= ⋅ α− ⋅ α=−
моментов инерции
1. Разбиваем сечение на простые фигуры, ГХС которых определены
таблично.
2. Вводим вспомогательные оси.
3. Определяем координаты центров тяжести простых фигур во вспо-
могательных осях.
4. Вычисляем положение центра тяжести сечения во вспомогательных
осях.
5. Вычисляем центральные моменты инерции сечения.
6. Вычисляем угол поворота до главных осей.
7. Вычисляем главные центральные моменты инерции.
Алгоритм определения координат опасных (угловых) точек
в главных осях
1. Находим координаты крайних точек сечения – точки 1, 2, 3, 4
(рис. 9) в центральных осях.
2. Находим координаты крайних точек сечения – точки 1, 2, 3, 4
(рис. 9) в главных центральных осях. Пользуемся формулами для поворота
осей. Поворот осуществляется на угол α0. Например, для точки 1:
.
27
3. Получаем
Точка
Xi Yi
1
–5,53
–3,18
2
–3,30
3,14
3
0,67
3,64
4
7,37
–1,56
Для закрепления материала рекомендуется определить координаты
опасных (угловых) точек в главных осях для различных сечений, используя варианты, представленные на с. 141–146.
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 2
1. У каких фигур положение главных центральных осей можно ука-
зать без вычислений?
2. Как рассчитать ГХС для прямоугольного треугольника?
3. Как рассчитать ГХС для равнобедренного треугольника?
4. Как рассчитать ГХС для квадрата?
5. Как рассчитать ГХС для прямоугольника?
6. Запишите формулы ГХС при параллельном переносе осей.
7. Запишите формулы определения координат центра тяжести сечения.
8. Запишите формулы ГХС при повороте осей.
9. Какие оси называются главными?
10. Какие моменты инерции называются главными?
11. Как изменяется осевой момент инерции при повороте осей?
12. От чего зависит знак центробежного момента инерции?
13. Как рассчитать ГХС сложных сечений?
14. Каков алгоритм определения главных центральных моментов
инерции?
28
Тема 3. МЕТОДЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ.
(5...7) %≈±
СХЕМАТИЗАЦИЯ ОБЪЕКТОВ И СВОЙСТВ МАТЕРИАЛА
ПРИБЛИЖЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Расчеты деталей на прочность и жесткость проводятся на базе мате-
матических моделей, описывающих:
− форму и размеры детали;
− физические свойства материала;
− нагруженность материала в точке и по объему детали;
− приложенные нагрузки и способ закрепления или взаимодействия
с сопряженными объектами.
Эти модели, как и вообще физические зависимости, приближенные,
и при их углублении математические модели становятся все сложнее.
В результате «полная» математическая модель – обычно система диффе-
ренциальных уравнений – получается достаточно сложной и часто не допускает аналитического решения.
Для создания практически приемлемых и оперативных приемов расчета широко используются упрощающие гипотезы и приближенные методы расчетов, применение которых не должно приводить к отклонениям,
превышающим естественный разброс механических свойств материала.
Для большинства современных материалов это
. Упрощающие
гипотезы – это предположения и допущения о характере нагрузок, деформаций, свойств материала.
Если модель не допускает аналитического решения, то извлечение
практической информации производится приближенно:
− численными методами;
− упрощением самой модели;
− выделением частных случаев, имеющих аналитическое решение,
и распространением их результатов на общее решение суммированием результатов простых воздействий.
После приближенного моделирования и приближенных расчетов
оценка напряженного (НС) и деформированного (ДС) состояний так же
приближена. Адекватность расчетов обеспечивается сравнением с резуль-
29
татами специальных экспериментов с некоторым запасом. Такой подход
x x xy xz
p( , , )στ τ
xx x
σ →σ
y yx y yz z zx zy z
p ( , , ), p ( , , )τ στ τ τ σ
хорошо разработан в курсе «Сопротивление материалов» и дает удовлетворительные результаты для типовых элементов. В других случаях после
расчета и проектирования необходимы длительные натурные испытания
и доводка опытных экземпляров машин и конструкций. Зачастую на это
уходит до 70 % расходов при внедрении.
Упрощающие гипотезы применяются на разных этапах моделирова-
ния и вместе представляют собой систему схематизации объекта и его
свойств.
Рассмотрим сначала основные этапы схематизации при моделирова-
нии НС и ДС, принятые в курсе сопротивления материалов.
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
Напряженное состояние в теле определяется как совокупность нор-
мальных и касательных напряжений во всех плоскостях и точках тела.
Рассмотрим численную оценку НС и предельные значения этой оценки
с точки зрения прочности.
Введем правую декартову систему координат, связанную с ненагру-
женным телом, и опишем в ней напряжения на бесконечно малой площадке в точке.
Сначала выберем площадку, перпендикулярную одной из координат-
ных осей, например ox (рис. 11). Касательное напряжение разложим по координатным осям. Составляющие полного напряжения обозначим
. Первый индекс всегда означает направление нормали к пло-
щадке, а второй – какой оси параллельна составляющая полного напряжения. При повторяющихся индексах второй опускается (
и т. д.).
При выборе площадок перпендикулярно другим координатным осям
получим соответственно
Покажем, что знания девяти чисел – проекций полных напряжений на
три взаимно перпендикулярные площадки – достаточно для вычисления
напряжений на любой (произвольной) площадке.
.
30